1、数学试题（文）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由题意，得,所以.考点：几何的运算.2.复数的共轭复数所在的象限为( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】由题意结合复数的除法运算法则得，再由共轭复数的概念和复数的几何意义即可得解.【详解】由题意，所以复数共轭复数，所以复数在复平面内对应的点为，在第四象限.故选：D.【点睛】本题考查了复数的运算、共轭复数的概念、复数的几何意义，考查了运算求解能力，属于基础题.3.函数
2、的零点个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】在同一坐标系中作出函数与函数的图象，观察图象，确定两个函数的交点个数即可得出结论.【详解】函数的零点个数等价于函数与函数的图象的交点个数.在同一坐标系下作出函数与的图象，如下图：因为，曲线在点处的切线的斜率为：，所以曲线在点处的切线方程为，所以可知两函数图象有一个交点，故函数的零点个数为1.故选：B.【点睛】本题考查函数零点个数的判断，考查数形结合思想，考查转化思想，属于常考题.4.已知中，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】由题易得A为钝角，由，联立解方程组即可得解【详解】，A为钝角，且，联立解得
3、.故选：D.【点睛】本题考查同角三角函数间的基本关系的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.5.下列关于函数的单调性及奇偶性表述正确的是( )A. 该函数是减函数，并且是奇函数B. 该函数是增函数，并且是偶函数C. 该函数是减函数，并且是偶函数D. 该函数的单调性及奇偶性均无法确定.【答案】A【解析】【分析】先由，得为奇函数，设，由在上单调递减，又在上单调递增，由复合函数的单调性结论可得出答案.【详解】设，则的定义域满足，得所以的定义域为，所以为奇函数.设，其图象是由的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到的.由函数在上单调递减,所以在上单调递减.又在上单调递增，由复合函数的
4、单调性结论可得在单调递减故选：A.【点睛】本题考查函数奇偶性的判断和单调性的判断，注意复合函数性的结论的应用，属于中档题.6.已知向量，,则( )A. B. C. 5D. 25【答案】C【解析】【详解】将平方得，选C.7.设则A. B. C. D. 【答案】B【解析】：因为，所以，那么，所以.8.若函数的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由三角函数的图象变换，求得，再根据与函数的图象重合，得到，即可求解.【详解】由题意，函数的图象向右平移个单位长度后，可得，又由与函数的图象重合，可得，解得.故选：B.【点睛】本题主要考查
5、了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的应用，着重考查推理与运算能力，属于基础题.9.双曲线的渐近线与圆(x3)2y2r2(r0)相切，则r等于()A. B. 2C. 3D. 6【答案】A【解析】【分析】由圆心到渐近线的距离等于半径列方程求解即可.【详解】双曲线的渐近线方程为yx，圆心坐标为(3,0)由题意知，圆心到渐近线的距离等于圆的半径r，即r.答案：A【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程及直线与圆的位置关系，属于基础题.10.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 22B. 42C. 2D. 4【答案】C【解析】【详解】试题分析：由三视图知几何体是一个简单的
6、组合体，上面是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个正方形，对角线长是，侧棱长，高是，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是，高是，所以组合体的体积是，故选C.考点：几何体的三视图及体积的计算.【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图及其体积的计算，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中根据三视图得出上面一个四棱锥、下面是一个圆柱组成的组合体，得到几何体的数量关系是解答的关键，属于基础题.11.已知不等式sincoscos2m0对任意的x恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A. ，)B. (
7、，C. ，)D. (，【答案】A【解析】【分析】首先将函数解析式进行化简，之后将恒成立问题转化为最值问题来处理，结合正弦函数的性质，求得其在给定区间上的最值，从而求得参数的取值范围.【详解】令，当时，所以，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关恒成立问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有正弦函数的倍角公式，余弦函数的倍角公式，辅助角公式，正弦函数在给定区间上的最值，正确应用公式是解题的关键.12.已知直线与抛物线相交于A、B两点，F为C的焦点，若,则k=( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】将y=k(x+2)代入y2=8x,得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0.设交点的横坐标分别
8、为xA,xB,则xA+xB=-4,xAxB=4.又|FA|=xA+2,|FB|=xB+2,|FA|=2|FB|,2xB+4=xA+2.xA=2xB+2.将代入得xB=-2,xA=-4+2=-2.故xAxB=4.解之得k2=.而k0,k=,满足0.故选D.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分.13.若数列的前4项为1、3、7、15，则依此归纳的通项公式为_.【答案】【解析】分析】根据底数为2的正整数幂的运算特征写出前4项的特征，最后归纳出的通项公式即可.【详解】因为，所以可以归纳的通项公式为；.故答案为：【点睛】本题考查了归纳推理的应用，属于基础题.14. 一个单位共有职工200人，其中不超过
9、45岁的有120人，超过45岁的有80人为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工_人【答案】10【解析】试题分析：因为超过岁的职工为人，占比例为，所以抽取的人中超过岁的职工为人.考点：分层抽样的方法与运算.15.设等比数列的前项和为，若，则_.【答案】3【解析】【分析】首先根据，求出，再计算即可.【详解】当时，舍去.当时，即，整理得到，.所以.故答案为：【点睛】本题主要考查等比数列的前项和的计算，熟练掌握公式为解题的关键，属于简单题.16.设OA是球O的半径,M是OA的中点,过M且与OA成角的平面截球O的表面得到圆C.若圆C的面积等于
10、,则球O的表面积等于 .【答案】8【解析】试题分析：设球半径为R，圆C的半径为r，由，得因为由,得故球的表面积等于8考点：球的体积和表面积点评：本题考查学生的空间想象能力，以及球的面积体积公式的应用，是基础题.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(一)必考题：共60分.17.递增等差数列中，.（1）求数列的通项公式及前n项和；（2）求数列前n项和.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）设公差为，由条件可得，联立方程结合条件等差数列递增可得，从而可得，由公式可求得.（2）设，利用分组结合等差、等比数列的前项和的公式，从而得出答案.【详解】（1）等差数列中，设公差为， ，可
11、得，即，代入将代入得，解得又等差数列递增，所以，则所以（2）设则【点睛】本题考查求等差数列的通项公式和前项，利用分组求和法和公式法求和，属于中档题.18.设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，.（1）求B；（2）若b=3，求ABC的面积.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可转换条件为，利用正弦定理可得，求出后即可得解；（2）由三角形面积公式即可得解.【详解】（1），又，即或，又，；（2）由（1）知，又因为，ABC面积.【点睛】本题考查了正弦定理、三角形面积公式的应用，考查了利用余弦定理结合基本不等式求三角形面积的最大值，属于中档题.19.如图，已知空
12、间四边形中，是的中点.（1）求证：平面平面；（2）若，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由题意结合平面几何的知识可得，由线面垂直的判定可得平面，再由面面垂直的判定即可得证；（2）由题意结合平面几何知识可得，由余弦定理、同角三角函数的平方关系可得，进而可得，再利用即可得解.【详解】（1）证明：，是的中点，又，、平面，平面，又平面，平面平面；（2），是的中点，为等边三角形，又，中，又由（1）知，平面三棱锥的体积.【点睛】本题考查了面面垂直的判定及棱锥体积的求解，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.20.设函数,其中常数()讨论的单调性;()若当x0时
13、，0恒成立，求的取值范围.【答案】（I）当时，在区间和是增函数，在区间是减函数.（II）取值范围是（1，6）【解析】【详解】：因为第()题中要求函数的单调区间,利用导数的正负即可求出,所以首先要求出函数的导数,然后解不等式和即可. 第()小题是一个恒成立问题,转化为求函数的最值解决,所以要求出函数在x0时的最小值.（I）由知，当时，故在区间是增函数；当时，故在区间是减函数；当时，故在区间是增函数.综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数.（II）由（I）知，当时，在或处取得最小值.由假设知即解得故的取值范围是（1，6）21.已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线L与C相交于A、B两点，当L的
14、斜率为1时，坐标原点O到L的距离为.（1）求椭圆的标准方程；（2）在C上是否存在点P，使得当L绕F转到某一位置时，有成立?若存在，求出所有的P的坐标与L的方程；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在，详见解析.【解析】【分析】（1）设，可得直线L方程为，利用点到直线距离公式即可得，利用离心率即可得，再利用求得后即可得解；（2）设，则，按照直线L的斜率是否为0分类，当直线L斜率不为0时，设直线L的方程为，联立方程组结合韦达定理即可得、，将点P坐标代入椭圆方程求得后即可得解.【详解】（1） 设，当L的斜率为1时，其方程为，则原点O到直线L的距离为，解得，由椭圆的离心率，可得，所以椭圆方程为
15、；（2）假设C上存在点P，使得当L绕F转到某一位置时，有成立.设，则，由（1）知，椭圆C的方程为，当直线L斜率为0时，点，不合题意；当直线L斜率不为0时，设直线L的方程为，由，消去x化简得，所以，所以，所以点，又因为点在椭圆上，所以，化简得，解得或（舍去），当时，点，直线L的方程为即；当时，点，直线L的方程为即.综上，椭圆C上存在点，使得当L绕F转到某一位置时，有成立，此时直线方程为.【点睛】本题考查了椭圆性质的应用及标准方程的求解，考查了直线与椭圆的综合应用和运算求解能力，属于中档题.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐
16、标系与参数方程22.在直角坐标系中，直线，圆,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求，的极坐标方程；（2）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求的面积【答案】(1),；(2)【解析】试题分析：（1）将代入的直角坐标方程，化简得，；（2）将代入，得得， 所以，进而求得面积为.试题解析：（1）因为，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为（2）将代入得得， 所以因为的半径为1，则的面积为考点：坐标系与参数方程.选修4-5：不等式选讲23.设函数（1）画出函数的图象；（2）若不等式的解集非空，求的取值范围【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）先讨论的范围，将函数写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；（II）根据函数与函数的图象可知先寻找满足的零界情况，从而求出的范围【详解】（1）由于，则的图象如图所示：（2）由函数与函数的图象可知，当且仅当或时，函数与函数的图象有交点，故不等式的解集非空时，的取值范围是【点睛】本题考查了函数图象及利用图像解决不等式恒成立问题，属于中档题.解题的关键是要作出函数的图象，观察过定点的动直线何时与相交，找出其斜率的变化范围，从而得参数的取值范围.