1、2.1.4函数的奇偶性2.1.5用计算机作函数的图象(选学)课时过关能力提升1下列函数是奇函数的是()A.y=B.y=-3x2C.y=-|x|D.y=x3-x解析先判断函数的定义域是否关于原点对称,再确定f(-x)与f(x)的关系.选项A中函数的定义域为(-,1)(1,+),不关于原点对称,所以排除A;选项B,C中函数的定义域均是R,且函数均是偶函数;选项D中函数的定义域是R,且f(-x)=-f(x),则此函数是奇函数.答案D2设函数f(x)=+1,则f(x)()A.是奇函数B.是偶函数C.是非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数解析由得-1x1,即函数定义域为-1,1,关于原点对称.又因为f(
2、-x)=+1=f(x),所以f(x)是偶函数.答案B3若函数f(x)=是定义域为R的奇函数,则实数b的值为()A.1B.-1C.0D.1或-1解析由已知得f(0)=0,即=0,故b=0,且此时f(x)=,f(-x)=-=-f(x),即f(x)是奇函数.答案C4已知偶函数y=f(x)在区间(-,0上是增函数,则下列不等式一定成立的是()A.f(3)f(-2)B.f(-)f(3)C.f(1)f(a2+2a+3)D.f(a2+2)f(a2+1)解析因为y=f(x)在区间(-,0上是增函数,且f(x)为偶函数,所以y=f(x)在区间0,+)内是减函数.因为a2+2a+3=(a+1)2+21,所以f(a
3、2+2a+3)0的解集为()A.x|x4B.x|x4C.x|x6D.x|x2解析当x0时,令f(x)=2x-40,得x2.又因为函数f(x)为偶函数,所以函数f(x)0的解集为x|x2.故f(x-2)0的解集为x|x4.答案B7若函数f(x)(xR)为奇函数,f(1)=,f(x+2)=f(x)+f(2),则f(5)等于 ()A.0B.1C.D.5解析在f(x+2)=f(x)+f(2)中,令x=-1得f(1)=f(-1)+ f(2).因为f(1)=,f(x)是奇函数,所以f(-1)=-,f(2)=1,所以f(x+2)=f(x)+1,故f(5)=f(3)+1=f(1)+1+1=+2=.答案C8设函
4、数f(x)=为奇函数,则实数a=.解析因为f(x)是奇函数,所以f(-1)=0=-f(1)=-=-2(1+a).所以a=-1.当a=-1时,f(x)=x-(x0),f(x)为奇函数,故a=-1.答案-19已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2+4x+m,则当x0时,f(x)=.解析因为f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=0,即02+40+m=0,解得m=0,当x0时,f(x)=x2+4x.设x0,故f(-x)=(-x)2+4(-x)=x2-4x.又因为f(-x)=-f(x),所以当x0,求实数a的取值范围.解f(1-a)+f(1-2a)0,f(1-a)-f(1-2a
5、).f(x)是奇函数,-f(1-2a)=f(2a-1),即f(1-a)f(2a-1).又f(x)在(-1,1)内是减函数,a0时,函数的解析式为f(x)= -1.(1)求f(-1)的值;(2)求当x0时函数的解析式;(3)用定义证明f(x)在(0,+)内是减函数.(1)解因为f(x)是偶函数,所以f(-1)=f(1)=2-1=1.(2)解当x0,故f(-x)=-1.因为f(x)为偶函数,所以当x0时,f(x)=f(-x)=-1=-1.(3)证明设x1,x2是(0, +)内的任意两个不相等的实数,且0x10,y=f(x2)-f(x1)=-1-.因为x1-x20, 所以y0.故f(x)=-1在(0
6、,+)内是减函数.13(1)已知函数f(x),xR,若对于任意实数a,b,都有f(a+b)=f(a)+f(b),求证:f(x)为奇函数;(2)已知函数f(x),xR,若对于任意实数x1,x2,都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)f(x2),求证: f(x)是偶函数;(3)设函数f(x)定义在(-l,l)内,求证:f(x)+f(-x)是偶函数, f(x)-f(-x)是奇函数.证明(1)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.设a=0,则f(b)=f(0)+f(b),故f(0)=0.设a=-x,b=x,则f(0)=f(-x)+f(x),即f(-x)=-f(x).因此,f(x)是奇函
7、数.(2)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.设x1=0,x2=x,得f(x)+f(-x)=2f(0)f(x).设x1=x,x2=0,得f(x)+f(x)=2f(0)f(x).由,得f(-x)=f(x).故f(x)是偶函数.(3)由于对任意的x(-l,l),也必有-x(-l,l),可见,f(-x)的定义域也是(-l,l).若设F (x)=f(x)+f(-x),G(x)=f(x)-f(-x),则F(x)与G(x)的定义域也是(-l,l),显然是关于原点对称的区间.F(-x)=f(-x)+f-(-x)=f(x)+f(-x)=F(x),G(-x)=f(-x)-f-(-x)=f(-x)-f(x)=-f(x)-f(-x)=-G(x),F(x)是偶函数,G(x)是奇函数,即f(x)+f(-x)是偶函数,f(x)-f(-x)是奇函数.