1、第5讲函数yAsin(x)的图象及三角函数模型的简单应用一、知识梳理1yAsin(x)的有关概念yAsin(x)(A0，0)，x0，)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相ATfx2.用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：xx02yAsin(x)0A0A03.三角函数图象变换的两种方法(0)常用结论1由ysin x到ysin(x)(0，0)的变换：向左平移个单位长度而非个单位长度2函数yAsin(x)的对称轴由xk(kZ)确定；对称中心由xk(kZ)确定其横坐标二、习题改编1(必修4P55练习T2改编)为了得到函数y2
2、sin的图象，可以将函数y2sin 2x的图象()A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度答案：A2(必修4P62例4改编)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现下表是今年前四个月的统计情况：月份x1234收购价格y(元/斤)6765选用一个函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为 解析：设yAsin(x)B(A0，0)，由题意得A1，B6，T4，因为T，所以，所以ysin6.因为当x1时，y6，所以6sin6，结合表中数据得2k，kZ，可取，所以ysin66cos x.答案：y6cos x一、思考辨析判
3、断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)把ysin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为ysin x.()(2)将ysin 2x的图象向右平移个单位长度，得到ysin的图象()(3)函数f(x)Asin(x)(A0)的最大值为A，最小值为A.()(4)如果yAcos(x)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.()(5)若函数yAsin(x)为偶函数，则2k(kZ)()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、易错纠偏(1)搞不清的值对图象变换的影响；(2)确定不了函数解析式中的值1若将函数y2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则
4、得到的图象对应的函数表达式为f(x) 解析：函数y2sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为f(x)2sin 2sin.答案：2sin2(2020济南市模拟考试)已知函数f(x)2sin(x)的部分图象如图所示，则f(x) 解析：设f(x)的最小正周期为T，根据题图可知，所以T，故2，根据2sin0(增区间上的零点)可知，2k，kZ，即2k，kZ，又|，故.所以f(x)2sin.答案：2sin五点法作图及图象变换(典例迁移) 已知函数f(x)sin 2x2cos2xa，其最大值为2.(1)求a的值及f(x)的最小正周期；(2)画出f(x)在0，上的图象【解】(1)f(
5、x)sin 2x2cos2xasin 2xcos 2x1a2sin1a的最大值为2，所以a1，最小正周期T.(2)由(1)知f(x)2sin，列表：x02x2f(x)2sin120201画图如下：【迁移探究1】(变结论)在本例条件下，函数y2cos 2x的图象向右平移 个单位得到yf(x)的图象解析：将函数y2cos 2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y2sin 2x的图象，再将y2sin 2x的图象向左平移个单位长度，可得函数y2sin(2x)的图象，综上可得，函数y2sin的图象可以由函数y2cos 2x的图象向右平移个单位长度得到答案：【迁移探究2】(变问法)在本例条件下，若将函数f
6、(x)的图象向右平移m(m0)个单位长度后得到函数yg(x)的图象，且yg(x)是偶函数，求m的最小值解：由已知得yg(x)f(xm)2sin2(xm)2sin是偶函数，所以2m(2k1)，kZ，m，kZ，又因为m0，所以m的最小值为.函数yAsin(x)(A0，0)的图象的两种作法五点法设zx，由z取0，2来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象图象变换法由函数ysin x的图象通过变换得到yAsin(x)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”注意平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是x加减多少值1(2020广州市调研测试)由y2si
7、n的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，所得图象对应的函数解析式为()Ay2sinBy2sinCy2sin Dy2sin解析：选A.由y2sin的图象向左平移个单位长度，可得y2sin2sin2sin的图象，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y2sin的图象，故所得图象对应的函数解析式为y2sin，选A.2(2020湖南模拟改编)已知函数f(x)sin 2xcos 2x，将yf(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数yg(x)的图象，则所得函数的最小正周期为 ，g的值为 解析：由题知函数f(x)sin 2xcos 2x2s
8、in，将yf(x)的图象向左平移个单位长度，可得y2sin2sin 2x的图象，再向上平移1个单位长度得到函数yg(x)2sin 2x1的图象，则T，g2sin13.答案：3由图象确定yAsin(x)的解析式(师生共研) (2020蓉城名校第一次联考)若将函数g(x)图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数f(x)的图象，已知函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示，则()Ag(x)sin Bg(x)sinCg(x)sin 2x Dg(x)sin【解析】根据题图有A1，TT2(T为f(x)的最小正周期)，所以f(x)sin(2x)，由fsin1sin12k，kZ2k，kZ.因为|，所以，所
9、以f(x)sin，将f(x)sin的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则g(x)fsinsin 2x.故选C.【答案】C确定yAsin(x)b(A0，0)的步骤和方法(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A，b.(2)求，确定函数的最小正周期T，则可得.(3)求，常用的方法有：代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，b已知)或代入图象与直线yb的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)；特殊点法：确定值时，往往以寻找“最值点”为突破口具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时x 2k(kZ)；“最小值点”(即图象的“谷点”)时x2k(kZ)1已知函数f(
10、x)Asin(x)的最小正周期是，且当x时，f(x)取得最大值2，则f(x) 解析：因为函数f(x)的最小正周期是，所以2.又因为x时，f(x)取得最大值2.所以A2，同时22k，kZ，2k，kZ，因为0，0，0)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1) 解析：由题意得，A，T4，.又因为f(x)Acos(x)为奇函数，所以k，kZ，由0，取k0，则，所以f(x)cos，所以f(1).答案：三角函数模型的简单应用(师生共研) (2020山东省八所重点中学4月联考)如图，点A，B分别是圆心在坐标原点，半径为1和2的圆上的动点动点A从初始位
11、置A0开始，按逆时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动，同时点B从初始位置B0(2，0)开始，按顺时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动记t时刻，点A，B的纵坐标分别为y1，y2.(1)求t时，A，B两点间的距离；(2)若yy1y2，求y关于时间t(t0)的函数关系式，并求当t时，y的取值范围【解】(1)连接AB，OA，OB，当t时，xOA，xOB，所以AOB.又OA1，OB2，所以AB21222212cos7，即A，B两点间的距离为.(2)依题意，y1sin，y22sin 2t，所以ysin2sin 2tcos 2tsin 2tcos，即函数关系式为ycos(t0)，当t时，2t，所以c
12、os，故当t时，y.三角函数模型在实际应用中体现的两个方面(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与因变量之间的对应法则；(2)需要建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题，尤其是利用已知数据建立拟合函数解决实际问题，此类问题体现了数学建模核心素养，考查应用意识某实验室一天的温度(单位：)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)10costsin t，t0，24)，则实验室这一天的最大温差为 .解析：因为f(t)102102sin，又0t24，所以t0)的图象的相邻两支截直线y2所得线段长为，则f的值是()AB.C1 D解析：选D.由题
13、意可知该函数的周期为，所以，2，f(x)tan 2x，所以ftan.3已知函数f(x)Asin x(A0，0)与g(x)cos x的部分图象如图所示，则()AA1 BA3C D解析：选C.由题图可得过点(0，1)的图象对应的函数解析式为g(x)cos x，即1，A2.过原点的图象对应函数f(x)Asin x.由f(x)的图象可知，T1.54，可得.4(2020福建五校第二次联考)为得到函数ycos的图象，只需将函数ysin 2x的图象()A向右平移个单位长度B向左平移个单位长度C向右平移个单位长度D向左平移个单位长度解析：选B.因为ysin 2xcoscos，ycoscos，所以将函数ysin
14、 2x的图象向左平移个单位长度可得到函数ycos的图象故选B.5(2019高考天津卷)已知函数f(x)Asin(x)(A0，0，|0，0，|)是奇函数，且其最小正周期为，所以0，2，f(x)Asin 2x，得g(x)Asin x又gAsin ，所以A2，故f(x)2sin 2x，f2sin ，故选C.6将函数ysin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是 解析：ysin xysinysin.答案：ysin7已知函数f(x)2sin的部分图象如图所示，则 ，函数f(x)的单调递增区间为 解析：由图象知，则周期T，即，则2
15、，f(x)2sin(2x)由五点对应法得22k，又|，所以，则f(x)2sin.令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，即函数f(x)的单调递增区间为，kZ.答案：2(kZ)8已知f(x)sin(0)，ff，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则 解析：依题意，当x时，f(x)有最小值，所以sin1，所以2k(kZ)所以8k(kZ)，因为f(x)在区间上有最小值，无最大值，所以，即12，令k0，得.答案：9如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数yAsin x(A0，0)，x0，4的部分图象，且图象的最高点为S(3，2)；赛道的后
16、一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定MNP120.求A，的值和M，P两点间的距离解：连接MP(图略)依题意，有A2，3，又T，所以，所以y2sinx.当x4时，y2sin3，所以M(4，3)又P(8，0)，所以|MP|5.即M，P两点相距5 km.10(2020合肥市第一次质量检测)将函数f(x)sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，设函数h(x)f(x)g(x)(1)求函数h(x)的单调递增区间；(2)若g，求h()的值解：(1)由已知可得g(x)sin，则h(x)sin 2xsinsin.令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以函数h(x)的单调递增
17、区间为，kZ.(2)由g得sinsin，所以sin，即h().综合题组练1(2020长沙市统一模拟考试)已知P(1，2)是函数f(x)Asin(x)(A0，0)图象的一个最高点，B，C是与P相邻的两个最低点设BPC，若tan，则f(x)图象的对称中心可以是()A(0，0) B(1，0)C. D解析：选D.如图，连接BC，设BC的中点为D，E，F为与点P最近的函数f(x)的图象与x轴的交点，即函数f(x)图象的两个对称中心，连接PD，则由题意知|PD|4，BPDCPD，PDBC，所以tanBPDtan，所以|BD|3.由函数f(x)图象的对称性知xE1，xF1，所以E，F，所以函数f(x)图象的
18、对称中心可以是，故选D.2(2020沈阳市质量监测(一)设函数f(x)sin，则下列结论正确的是 (写出所有正确结论的序号)函数yf(x)的减区间为(kZ)；函数yf(x)的图象可由ysin 2x的图象向左平移个单位长度得到；函数yf(x)的图象的一条对称轴方程为x；若x，则f(x)的取值范围是.解析：对于，令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，正确；对于，ysin 2x的图象向左平移个单位长度后是ysinsin的图象，错误；对于，令2xk，kZ，得x，kZ，当k1时，x，当k0时，x，错误；对于，若x，则2x，故f(x)，正确答案：3设函数f(x)sinsin，其中03.已知f0.(1)求；
19、(2)将函数yf(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数yg(x)的图象，求g(x)在上的最小值解：(1)因为f(x)sinsin，所以f(x)sin xcos xcos xsin xcos xsin.由题设知f0，所以k，kZ.故6k2，kZ，又03，所以2.(2)由(1)得f(x)sin，所以g(x)sinsin.因为x，所以x，当x，即x时，g(x)取得最小值.4已知函数f(x)sin(x)的图象关于直线x对称，且图象上相邻最高点的距离为.(1)求f的值；(2)将函数yf(x)的图象向右平移个单位后，得到yg(x)的图象，求g(x)的单调递减区间解：(1)因为f(x)的图象上相邻最高点的距离为，所以f(x)的最小正周期T，从而2.又f(x)的图象关于直线x对称，所以2k(kZ)，因为，所以k0，所以，所以f(x)sin，则fsinsin.(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f的图象，所以g(x)fsinsin.当2k2x2k(kZ)，即kxk(kZ)时，g(x)单调递减因此g(x)的单调递减区间为(kZ)