1、第1讲等差数列与等比数列做真题题型一等差数列1(2019高考全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和已知S40，a55，则()Aan2n5Ban3n10CSn2n28nDSnn22n解析：选A.法一：设等差数列an的公差为d，因为所以解得所以ana1(n1)d32(n1)2n5，Snna1dn24n.故选A.法二：设等差数列an的公差为d，因为所以解得选项A，a12153；选项B，a131107，排除B；选项C，S1286，排除C；选项D，S12，排除D.故选A.2(2018高考全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若3S3S2S4，a12，则a5()A12B10C10D12解析：选B.设等差数
2、列an的公差为d，因为3S3S2S4，所以3(3a1d)2a1d4a1d，解得da1，因为a12，所以d3，所以a5a14d24(3)10.故选B.3(2017高考全国卷)等差数列an的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则an前6项的和为()A24B3C3D8解析：选A.设等差数列an的公差为d，因为a2，a3，a6成等比数列，所以a2a6a，即(a1d)(a15d)(a12d)2，又a11，所以d22d0，又d0，则d2，所以a6a15d9，所以an前6项的和S6624，故选A.4(2019高考全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若a10，a23a1，则_解析：设等差数列
3、an的公差为d，由a23a1，即a1d3a1，得d2a1，所以4.答案：4题型二等比数列1(2019高考全国卷)已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15，且a53a34a1，则a3()A16B8C4D2解析：选C.设等比数列an的公比为q，由a53a34a1得q43q24，得q24，因为数列an的各项均为正数，所以q2，又a1a2a3a4a1(1qq2q3)a1(1248)15，所以a11，所以a3a1q24.2(2017高考全国卷)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的
4、下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A1盏B3盏C5盏D9盏解析：选B.每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为an，则前7项的和S7381，公比q2，依题意，得S7381，解得a13，故选B.3(2019高考全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和若a1，aa6，则S5_解析：通解：设等比数列an的公比为q，因为aa6，所以(a1q3)2a1q5，所以a1q1，又a1，所以q3，所以S5.优解：设等比数列an的公比为q，因为aa6，所以a2a6a6，所以a21，又a1，所以q3，所以S5.答案：4(2018高考全国卷)等比数列an中，a11，a54a3.(1)求an的通项公式；
5、(2)记Sn为an的前n项和若Sm63，求m.解：(1)设an的公比为q，由题设得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)，q2或q2.故an(2)n1或an2n1.(2)若an(2)n1，则Sn.由Sm63得(2)m188，此方程没有正整数解若an2n1，则Sn2n1.由Sm63得2m64，解得m6.综上，m6.题型三等差、等比数列的判定与证明(2019高考全国卷)已知数列an和bn满足a11，b10，4an13anbn4，4bn13bnan4.(1)证明：anbn是等比数列，anbn是等差数列；(2)求an和bn的通项公式解：(1)证明：由题设得4(an1bn1)2(anbn)，即
6、an1bn1(anbn)又因为a1b11，所以anbn是首项为1，公比为的等比数列由题设得4(an1bn1)4(anbn)8，即an1bn1anbn2.又因为a1b11，所以anbn是首项为1，公差为2的等差数列(2)由(1)知，anbn，anbn2n1.所以an(anbn)(anbn)n，bn(anbn)(anbn)n.山东省学习指导意见1数列的概念和简单表示法了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊函数2等差数列、等比数列(1)理解等差数列、等比数列的概念(2)掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式等差、等比数列的基本运算典型例题 (1)已知
7、等比数列an的前n项和为Sn，若a11，则数列an的公比q为()A4B2CD(2)(2019开封模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn，等比数列bn的前n项和为Tn，a11，b11，a2b23.若a3b37，求bn的通项公式；若T313，求Sn.【解】(1)选C.因为2，所以q1.所以1q5，所以1q5，所以q.(2)设数列an的公差为d，数列bn的公比为q，则an1(n1)d，bnqn1.由a2b23，得dq4，(*)由a3b37，得2dq28，(*)联立(*)(*)，解得q2或q0(舍去)，因此数列bn的通项公式为bn2n1.因为T31qq2，所以1qq213，解得q3或q4，由a2b23
8、，得d4q，所以d1或d8.由Snna1n(n1)d，得Snn2n或Sn4n25n.等差、等比数列问题的求解策略(1)抓住基本量，首项a1、公差d或公比q； (2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Snan2bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为anpqn1(p，q0)的形式的数列为等比数列；(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常采用两式相除(即比值的方式)进行相关计算对点训练1(多选)已知数列an的前n项和为Sn，a11，a22，且对于任意n1，nN*，满足Sn1Sn12(Sn1)，则()Aa917Ba1018CS981DS1091解析：选BD.因为
9、对于任意n1，nN*，满足Sn1Sn12(Sn1)，所以Sn1SnSnSn12，所以an1an2.所以数列an在n2时是等差数列，公差为2，又a11，a22，则a927216，a1028218，S9182273，S10192291.故选BD.2(一题多题)(2019福州市质量检测)等比数列an的各项均为正实数，其前n项和为Sn.若a34，a2a664，则S5()A32B31C64D63解析：选B.通解：设首项为a1，公比为q，因为an0，所以q0，由条件得，解得，所以S531，故选B.优解：设首项为a1，公比为q，因为an0，所以q0，由a2a6a64，a34，得q2，a11，所以S531，故
10、选B.3(2019武昌区调研考试)设an是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，已知S1，S2，S4成等比数列，且a35，则数列an的通项公式为_解析：设数列an的公差为d(d0)，因为an是等差数列，S1，S2，S4成等比数列，所以(a1a2)2a1(a1a2a3a4)，因为a35，所以(52d5d)2(52d)(52d15)，解得d2或d0(舍去)，所以5a1(31)2，即a11，所以an2n1.答案：an2n1等差(比)数列的性质典型例题 (1)在等比数列an中，a3，a15是方程x26x20的根，则的值为()ABCD或(2)(2019长春质量检测)设Sn是等差数列an的前n项和，若S
11、40，且S83S4，S12S8，则()ABC2D3(3)(2019福建漳州质检改编)若Sn是等差数列an的前n项和，且a2a9a196，则a10_，S19_【解析】(1)设等比数列an的公比为q，因为a3，a15是方程x26x20的根，所以a3a15a2，a3a156，所以a30，a150，a9an1，则实数的取值范围是_解析：法一：因为anan1，所以数列an是递减数列，所以解得an1恒成立，所以01.若0，则当nan1；若1，则当nan1，所以a6a5，即51，解得，所以0)，则由(a14d)(a16d)(a15d)20，得(a15d)(a15d2)0，所以a15d0或a15d2，又a10
12、，所以a15d0，则a15d2，则S1111a1d11(a15d)11222，故选D.优解：因为an为正项等差数列，所以由等差数列的性质，并结合a5a7a0，得2a6a0，a62，则S1111a622，故选D.5等差数列an中，已知|a6|a11|，且公差d0，则其前n项和取最小值时n的值为()A6B7C8D9解析：选C.由d0可得等差数列an是递增数列，又|a6|a11|，所以a6a11，即a15da110d，所以a1，则a80，所以前8项和为前n项和的最小值，故选C.6(多选)已知数列an是等比数列，则下列命题正确的是()A数列|an|是等比数列B数列anan1是等比数列C数列是等比数列D
13、数列lg a是等比数列解析：选ABC.因为数列an是等比数列，所以q.对于A，|q|，所以数列|an|是等比数列，A正确；对于B，q2，所以数列anan1是等比数列，B正确；对于C，所以数列是等比数列，C正确；对于D，不一定是常数，所以D错误二、填空题7(2019贵阳市第一学期监测)已知数列an中，a13，a27.当nN*时，an2是乘积anan1的个位数，则a2 019_解析：a13，a27，a1a221，a31，a2a37，a47，a3a47，a57，a4a549，a69，a5a663，a73，a6a727，a87，a7a821，a91，a8a97，所以数列an是周期为6的数列，又2 01
14、963363，所以a2 019a31.答案：18在数列an中，nN*，若k(k为常数)，则称an为“等差比数列”，下列是对“等差比数列”的判断：k不可能为0；等差数列一定是“等差比数列”；等比数列一定是“等差比数列”；“等差比数列”中可以有无数项为0.其中所有正确判断的序号是_解析：由等差比数列的定义可知，k不为0，所以正确，当等差数列的公差为0，即等差数列为常数列时，等差数列不是等差比数列，所以错误；当an是等比数列，且公比q1时，an不是等差比数列，所以错误；数列0，1，0，1，是等差比数列，该数列中有无数多个0，所以正确答案：9(2019洛阳尖子生第二次联考)已知函数f(x)，g(x)f
15、(x1)1，则g(x)的图象关于_对称，若angggg(nN*)，则数列an的通项公式为_解析：因为f(x)，所以f(x)f(x)，所以函数f(x)为奇函数因为g(x)f(x1)1，所以g(x)的图象关于点(1，1)对称，若x1x22，则有g(x1)g(x2)2，所以angggg2(n1)g(1)2n2f(0)12n1，即an2n1，故数列an的通项公式为an2n1.答案：(1，1)an2n1三、解答题10(2019昆明市诊断测试)已知数列an是等比数列，公比q2 018成立的最小正整数n的值解：(1)令n1得，a12a2a30，解得a25.又由an2an1an20知，an2an1an1ana2a12，故数列an是首项a13，公差d2的等差数列，于是an2n1，bna2n12n1.(2)由(1)知，bn2n1.于是b1b2bn(21222n)nn2n1n2.令f(n)2n1n2，易知f(n)是关于n的单调递增函数，又f(9)210921 031，f(10)2111022 056，故使b1b2bn2 018成立的最小正整数n的值是10.