1、高考资源网（） 您身边的高考专家8.4空间点、直线、平面之间的位置关系8.4.1平面学 习 目 标核 心 素 养1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法(难点)2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系(重点)3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用(难点、易错点)1.通过对平面有关概念的学习，培养直观想象的数学素养.2.通过平面基本性质的应用，培养逻辑推理、直观想象的数学素养.宁静的湖面、海面，生活中的课桌面、黑板面，一望无垠的草原给你什么样的感觉？问题：(1)生活中的平面有大小之分吗？(2)几何中的“平面”是怎样的？1平面的概念几何里所说的“平面
2、”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等一些物体中抽象出来的几何里的平面是无限延展的思考1：一个平面能否把空间分成两部分？提示因为平面是无限延展的，所以一个平面能把空间分成两部分2平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45角，且横边长等于其邻边长的2倍如图.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来如图.3平面的表示法上图的平面可表示为平面、平面ABCD、平面AC或平面BD4平面的基本性质基本事实内容图形符号基本事实1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线存在唯一的平面使A，B，C基本事实2如果一条直线
3、上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内Al，Bl，且A，Bl基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P，Pl且Pl思考2：经过空间任意三点能确定一个平面吗？提示不一定，只有经过空间不共线的三点才能确定一个平面5推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)平面是处处平的面()(2)平面是无限延展的()(3)平面的形状是平行四边形()(4)一个平面的厚度可以是0.001 cm.()答案(1)(2)(3)(4
4、)2用符号表示“点A在直线l上，l在平面外”，正确的是()AAl，lBAl，lCAl，lDAl，l答案B3如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为()A平面MNB平面NQPC平面D平面MNPQA表示平面不能用一条线段的两个端点表示，但可以表示为平面MP，选A4任意三点可确定平面的个数是()A0B1 C2D1或无数个D当这三点共线时，可确定无数个平面；当这三点不共线时，可确定一个平面立体几何三种语言的相互转化【例1】用符号表示下列语句，并画出图形(1)平面与相交于直线l，直线a与，分别相交于点A，B；(2)点A，B在平面内，直线a与平面交于点C，点C不在直线AB上解(1)用符号表示：l，a
5、A，aB，如图(2)用符号表示：A，B，aC，CAB，如图三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.(2)要注意符号语言的意义. 如点与直线的位置关系只能用“”或“”，直线与平面的位置关系只能用“”或“”.(3)由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.1用符号语言表示下列语句，并画出图形：(1)三个平面，相交于一点P，且平面与平面相交于PA，平面与平面相交于PB，平面与平面相交于PC；(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC解
6、(1)符号语言表示：P，PA，PB，PC，图形表示：如图.(2)符号语言表示：平面ABD平面BDCBD，平面ABC平面ADCAC，图形表示：如图.点线共面问题【例2】如图，已知：a，b，abA，Pb，PQa，求证：PQ.证明PQa，PQ 与 a 确定一个平面.直线a，点 P.Pb，b，P.又a，与重合PQ.解决点线共面问题的基本方法2求证：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内解已知：ABACA，ABBCB，ACBCC求证：直线AB，BC，AC共面证明：法一：因为ACABA，所以直线AB，AC可确定一个平面. 因为BAB，CAC，所以B，C，故BC.因此直线AB，BC，AC都在平面内，
7、所以直线AB，BC，AC共面法二：因为A不在直线BC上，所以点A和直线BC可确定一个平面.因为BBC，所以B，又A，所以AB.同理AC，故直线AB，BC，AC共面法三：因为A，B，C三点不在同一条直线上，所以A，B，C三点可以确定一个平面.因为A，B，所以AB，同理BC，AC，故直线AB，BC，AC共面.点共线、线共点问题探究问题1如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设A1C平面ABC1D1E.能否判断点E在平面A1BCD1内？提示如图，连接BD1，A1C平面ABC1D1E，EA1C，E平面ABC1D1.A1C平面A1BCD1，E平面A1BCD1.2上述问题中，你能证明B，E，D1三点共
8、线吗？提示由于平面A1BCD1与平面ABC1D1交于直线BD1，又EBD1，根据基本事实3可知B，E，D1三点共线【例3】如图，已知平面， ， 且l. 设梯形ABCD中，ADBC，且AB，CD. 求证：AB，CD，l共点(相交于一点). 思路探究证明因为梯形ABCD中，ADBC，所以AB，CD是梯形ABCD的两腰所以AB，CD必定相交于一点. 设ABCDM. 又因为AB，CD，所以M，M. 所以M.又因为l，所以Ml.即AB，CD，l共点(相交于一点). 本例变为：如图所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，求证：点P在直线BD上证明若
9、EF、GH交于一点P，则E，F，G，H四点共面，又因为EF平面ABD，GH平面CBD，平面ABD平面CBDBD，所以P平面ABD，且P平面CBD，由基本事实3可得PBD所以点P在直线BD上1证明三点共线的方法(1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3可知，这些点都在两个平面的交线上(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上2证明三线共点的步骤(1)首先说明两条直线共面且交于一点(2)说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交(3)得到交线也过此点，从而得到三线共点一、知识必备1立体几何的三种语言图形语言、符号语言、文字语言是立体几何的三大语言
10、，要准确实现这三种语言的相互转换2三个基本事实的作用基本事实1判定点共面、线共面的依据；基本事实2判定直线在平面内的依据；基本事实3判定点共线、线共点的依据二、方法必备证明几点共线的方法：首先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点. 或先由某两点作一条直线，再证明其他点也在这条直线上1下列空间图形画法错误的是()AB CDD遮挡部分应画成虚线或不画故D错，选D2如果点A在直线a上，而直线a在平面内，点B在平面内，则可以表示为()AAa，a，BBAa，a，BCAa，a，BDAa，a，BB点A在直线a上，而直线a在平面内，点B在平面内，表示为Aa，a，B.3下列说法正确的是()A镜
11、面是一个平面B一个平面长10 m，宽5 mC一个平面的面积是另一个平面面积的2倍D所有的平面都是无限延展的D镜面可以抽象成平面，但不是平面，所以选项A不正确；平面没有大小，所以选项B和选项C都不正确，故选D4不重合的三条直线，若相交于一点，最多能确定_个平面3三条直线相交于一点，最多可确定3个平面，如图所示，直线a，b，c相交于点A，直线a，b确定平面，直线b，c确定平面，直线a，c确定平面，共3个平面5如图，已知D，E是ABC的边AC，BC上的点，平面经过D，E两点，若直线AB与平面的交点是P，求证：点P在直线DE上证明因为PAB，AB平面ABC，所以P平面ABC又P，平面ABC平面DE，所以P直线DE.所以点P在直线DE上- 9 - 版权所有高考资源网