1、第8讲函数与方程一、知识梳理1函数的零点函数零点的概念对于函数yf(x)(xD),把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点方程的根与函数零点的关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点函数零点的存在性定理函数yf(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,若f(a)f(b)0,则yf(x)在(a,b)内存在零点注意函数的零点是实数,而不是点;零点一定在函数的定义域内2二次函数yax2bxc(a0)的图象与零点的关系000二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的交点(x1,0),(x2,0)(x1,0)无交点零点个数两个一个零个常用结
2、论有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点(2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号二、习题改编1(必修1P92A组T5改编)函数f(x)ln x的零点所在的大致范围是()A(1,2)B(2,3)C.和(3,4) D(4,)答案:B2(必修1P88例1改编)f(x)ex3x的零点个数是()A0 B1C2 D3答案:B3(必修1P92A组T4改编)函数f(x)x的零点个数为 答案:1一、思考辨析判断正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)函数的零点就是函数的图象
3、与x轴的交点()(2)函数yf(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则f(a)f(b)0.()(3)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点()(4)若函数f(x)在(a,b)上单调且f(a)f(b)0,得x2,所以函数f(x)的定义域为(2,),所以当f(x)0,即(x1)ln(x2)0时,解得x1(舍去)或x3.2已知函数f(x)2axa3,若x0(1,1),使得f(x0)0,则实数a的取值范围是 解析:依题意可得f(1)f(1)0,即(2aa3)(2aa3)0,解得a1.答案:(,3)(1,)函数零点所在区间的判断(师生共研) (一题多解)函数f(x)log3
4、xx2的零点所在的区间为()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)【解析】法一(定理法):函数f(x)log3xx2的定义域为(0,),并且f(x)在(0,)上单调递增,图象是一条连续曲线由题意知f(1)10,f(3)20,根据零点存在性定理可知,函数f(x)log3xx2有唯一零点,且零点在区间(1,2)内法二(图象法):函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)log3x,h(x)x2图象交点的横坐标所在的范围作出两个函数的图象如图所示,可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)故选B.【答案】B判断函数零点所在区间的方法方法解读适合题型定理法利用函数零点的存在性定理进行判
5、断能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负图象法画出函数图象,通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断容易画出函数的图象设f(x)3xx2,则在下列区间中,使函数f(x)有零点的区间是()A0,1 B1,2C2,1 D1,0解析:选D.因为f(x)3xx2,所以f(1)3110,所以f(1)f(0)0.函数零点个数的判断(师生共研) (一题多解)函数f(x)的零点个数为()A3 B2C1 D0【解析】法一(方程法):由f(x)0,得或解得x2或xe.因此函数f(x)共有2个零点法二(图形法):函数f(x)的图象如图所示,由图象知函数f(x)共有2个零点【答案】B判断函数零点个数的3种方法
6、(1)方程法:令f(x)0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点(2)定理法:利用定理不仅要求函数在区间a,b上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)1时,令f(x)ln(x1)0,得x2;当x1时,令f(x)2x110,得x1.故选C.函数零点的应用(师生共研) 设函数f(x)(1)若a1,则f(x)的最小值为 ;(2)若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是 【解析】(1)若a1,则f(x)作出函数f(x)的图象如图所示由图可得f(x)的最小值为1.(2)当a1时,要使f(x)恰有2个零点,需满足21a0,即a2,所以a2;当a1时,要使f(x)恰有2个零点,需满足解得a1.综上,实数a
7、的取值范围为2,)【答案】(1)1(2)2,)利用函数零点求参数取值范围的方法及步骤(1)常用方法(2)一般步骤1函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是()A(1,3) B(1,2)C(0,3) D(0,2)解析:选C.由题意,知函数f(x)在(1,2)上单调递增,又函数一个零点在区间(1,2)内,所以即解得0a3,故选C.2已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有3个零点,则实数m的取值范围是 解析:画出函数f(x)的图象,如图所示由于函数g(x)f(x)m有3个零点,结合图象得0m1,即m(0,1)答案:(0,1)3若函数f(x)4x2xa,x1,1有零点,
8、则实数a的取值范围是 解析:因为函数f(x)4x2xa,x1,1有零点,所以方程4x2xa0在1,1上有解,即方程a4x2x在1,1上有解方程a4x2x可变形为a,因为x1,1,所以2x,所以.所以实数a的取值范围是.答案:核心素养系列5直观想象用图形快速解决的常见几类题直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用空间形式特别是图形,理解和解决数学问题的素养主要包括:借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述分析数学问题,建立形与数的联系,构建数学问题的直观模型,探索解决问题的思路一、利用图形研究函数的性质 设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x
9、R恒有f(x1)f(x1),已知当x0,1时,f(x),则下列命题:2是函数f(x)的周期;函数f(x)在(1,2)上单调递减,在(2,3)上单调递增;函数f(x)的最大值是1,最小值是0;当x(3,4)时,f(x).其中正确命题的序号是 【解析】由已知条件得f(x2)f(x),则yf(x)是以2为周期的周期函数,正确;当1x0时,0x1,f(x)f(x),函数yf(x)的部分图象如图所示:由图象知正确,不正确;当3x4时,1x40,f(x)f(x4),因此正确,故正确命题的序号为.【答案】作出函数图象,由图象观察可得函数的定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、极值点等性质,并将这些性质用于转出
10、条件求得结论二、利用图形解不等式 使log2(x)x1成立的x的取值范围是 【解析】在同一直角坐标系内作出ylog2(x),yx1的图象,知满足条件的x(1,0)【答案】(1,0)f(x),g(x)之间大小不等关系表现为图象中的上下位置关系,画出两个函数的图象,根据函数图象的交点和图象的相对位置确定所求不等式的解集三、利用图形求解不等式中的参数范围 若不等式|x2a|xa1对xR恒成立,则a的取值范围是 【解析】作出y|x2a|和yxa1的简图,依题意知应有2a22a,故a.【答案】对含有参数的函数不等式问题,一般将不等式化简,整理、重组、构造两个函数,一个含有参数,一个不含参数,研究两个函数
11、的性质,画出两个函数的图象,观察参数的变化如何带动含参函数图象的变化,根据两函数图象的相对位置确定参数满足的不等式,解不等式得出参数a的取值范围四、利用图形研究零点问题 已知函数f(x)2xx,g(x)log3xx,h(x)x的零点依次为a,b,c,则()AabcBcbaCcab Dbac【解析】在同一直角坐标系下分别画出函数y2x,ylog3x,y的图象,如图,观察它们与yx的交点可知ab0),y2ln x(x0)的图象,如图所示由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.2已知函数f(x)若f(a2)f(2a),则实数a的取值范围是 解析:函数f(x)的图象如图所示,由图象知函数f(x)
12、在(,)上单调递增,所以a22a,解得2a1,故实数a的取值范围是(2,1)答案:(2,1)基础题组练1(2020福州期末)已知函数f(x)则函数yf(x)3x的零点个数是()A0B1C2 D3解析:选C.令f(x)3x0,则或解得x0或x1,所以函数yf(x)3x的零点个数是2.故选C.2下列函数中,在(1,1)内有零点且单调递增的是()Aylogx By2x1Cyx2 Dyx3解析:选B.函数ylogx在定义域上单调递减,yx2在(1,1)上不是单调函数,yx3在定义域上单调递减,均不符合要求对于y2x1,当x0(1,1)时,y0且y2x1在R上单调递增故选B.3(2020甘肃酒泉敦煌中学
13、一诊)方程log4xx7的解所在区间是()A(1,2) B(3,4)C(5,6) D(6,7)解析:选C.令函数f(x)log4xx7,则函数f(x)是(0,)上的单调递增函数,且是连续函数因为f(5)0,所以f(5)f(6)0或m1时,直线ym与函数yx22|x|的图象有两个交点,即函数f(x)x22|x|m有两个零点故选B.5已知函数f(x)xexax1,则关于f(x)的零点叙述正确的是()A当a0时,函数f(x)有两个零点B函数f(x)必有一个零点是正数C当a0时,函数f(x)只有一个零点解析:选B.f(x)0exa(x0),在同一直角坐标系中作出yex与y的图象,观察可知A,C,D选项
14、错误,选项B正确6已知函数f(x)a的零点为1,则实数a的值为 解析:由已知得f(1)0,即a0,解得a.答案:7(2020新疆第一次适应性检测)设aZ,函数f(x)exxa,若x(1,1)时,函数有零点,则a的取值个数为 解析:根据函数解析式得到函数f(x)是单调递增的由零点存在性定理知若x(1,1)时,函数有零点,需要满足1ae1,因为a是整数,故可得到a的可能取值为0,1,2,3.答案:48已知f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比1大,一个零点比1小,则实数a的取值范围是 解析:法一:设方程x2(a21)x(a2)0的两根分别为x1,x2(x1x2),则(x11)(x21)0,所
15、以x1x2(x1x2)10,由根与系数的关系,得(a2)(a21)10,即a2a20,所以2a1.故实数a的取值范围为(2,1)法二:函数f(x)的图象大致如图,则有f(1)0,即1(a21)a20,得a2a20,所以2a0恒成立,即对于任意bR,b24ab4a0恒成立,所以有(4a)24(4a)0a2a0,解得0a1,因此实数a的取值范围是(0,1)10已知函数f(x)ax2bxc(a0),满足f(0)2,f(x1)f(x)2x1.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若函数g(x)f(x)mx的两个零点分别在区间(1,2)和(2,4)内,求m的取值范围解:(1)由f(0)2得c2,又f(x1
16、)f(x)2x1,得2axab2x1,故解得a1,b2,所以f(x)x22x2.(2)g(x)x2(2m)x2,若g(x)的两个零点分别在区间(1,2)和(2,4)内,则满足解得1m.所以m的取值范围为.综合题组练1(一题多解)函数f(x)2x零点的个数为()A0 B1C2 D3解析:选B.法一:当x0恒成立,无零点;又易知f(x)2x在(0,)上单调递增,最多有一个零点又f20,所以有一个零点故选B.法二:在同一平面直角坐标系中,作出函数y2x和y的图象,如图所示函数f(x)2x的零点等价于2x的根等价于函数y2x和y的交点由图可知,有一个交点,所以有一个零点故选B.2已知命题p:“m2”是
17、“幂函数f(x)(m2m1)xm在区间(0,)上为增函数”的充要条件;命题q:已知函数f(x)ln x3x8的零点x0a,b,且ba1(a,bN*),则ab5.则下列命题为真命题的是()Apq B(p)qCq Dp(q)解析:选A.对于命题p,若幂函数f(x)(m2m1)xm在区间(0,)上为增函数,则解得m2,所以命题p是真命题,p是假命题对于命题q,函数f(x)ln x3x8在(0,)上单调递增,且f(2)ln 220,所以零点x0a,b,且ba1(a,bN*),则a2,b3,ab5,所以命题q为真命题,q为假命题所以pq是真命题,(p)q,q,p(q)都是假命题故选A.3设函数f(x)(
18、x0)(1)作出函数f(x)的图象;(2)当0ab,且f(a)f(b)时,求的值;(3)若方程f(x)m有两个不相等的正根,求m的取值范围解:(1)如图所示(2)因为f(x)故f(x)在(0,1上是减函数,而在(1,)上是增函数,由0ab且f(a)f(b),得0a1b,且11,所以2.(3)由(1)中函数f(x)的图象可知,当0m1时,方程f(x)m有两个不相等的正根所以m的取值范围是(0,1)4(创新型)已知函数f(x)x22x,g(x)(1)求g(f(1)的值;(2)若方程g(f(x)a0有4个实数根,求实数a的取值范围解:(1)利用解析式直接求解得g(f(1)g(3)312.(2)令f(x)t,则原方程化为g(t)a,易知方程f(x)t在t(,1)上有2个不同的解,则原方程有4个解等价于函数yg(t)(t1)与ya的图象有2个不同的交点,作出函数yg(t)(t1)的图象,如图,由图象可知,当1a时,函数yg(t)(t1)与ya有2个不同的交点,即所求a的取值范围是.