1、专题 08 圆中证明及计算问题 【例 1】（2019叶县一模）如图，O 是ABC 的外接圆，点 O 在 BC 边上，BAC 的平分线交O 于点D，连接 BD、CD，过点 D 作 BC 的平行线与 AC 的延长线相交于点 P（1）求证：PD 是O 的切线；（2）求证：ABCPBDCD；（3）当 AB5 cm，AC12 cm 时，求线段 PC 的长 【答案】见解析.【解析】（1）证明：连接 OD BADCAD，弧 BD=弧 CD，BODCOD90，BCPA，ODPBOD90，即 ODPA，PD 是O 的切线（2）证明：BCPD，PDCBCD BCDBAD，BADPDC，ABD+ACD180，ACD
2、+PCD180，ABDPCD，BADCDP，ABBDCDCP，ABCPBDCD（3）BC 是直径，BACBDC90，AB5，AC12，由勾股定理得：BC13，由（1）知，BCD 是等腰直角三角形，BDCD13 22，ABCPBDCD PC16910【变式 1-1】（2018焦作一模）如图，ABC 内接于O，且 AB=AC，延长 BC 到点 D，使 CD=CA，连接AD 交O 于点 E（1）求证：ABECDE；（2）填空：当ABC 的度数为 时，四边形 AOCE 是菱形；若 AE=6，BE=8，则 EF 的长为 【答案】（1）见解析；（2）60；92.【解析】（1）证明：连接 CE，AB=AC，
3、CD=CA，ABC=ACB，AB=CD，四边形 ABCE 是圆内接四边形，ECD+BCE=BAE+BCE=180，ECD=BAE，同理，CED=ABC，ABC=ACB=AEB，CED=AEB，ABECDE；（2）60；连接 AO、OC，四边形 ABCE 是圆内接四边形，ABC+AEC=180，ABC=60，AEC=AOC=120，OA=OC，OAC=OCA=30，AB=AC，ABC 是等边三角形，ACB=60，ACB=CAD+D，AC=CD，CAD=D=30，ACE=30，OAE=OCE=60，即四边形 AOCE 是平行四边形，OA=OC，四边形 AOCE 是菱形；由（1）得：ABECDE，B
4、E=DE=8，AE=CE=6，D=EBC，由CED=ABC=ACB，得ECDCFB，CECFDEBC=68，AFE=BFC，AEB=FCB，AEFBCF，EFCFAEBC，即668EF，EF=92【例 2】（2019省实验一模）如图，AB 为O 的直径，点 C 为 AB 上方的圆上一动点，过点 C 作O 的切线 l，过点 A 作直线 l 的垂线 AD，交O 于点 D，连接 OC，CD，BC，BD，且 BD 与 OC 交于点 E（1）求证：CDECBE；（2）若 AB4，填空：当弧 CD 的长度是 时，OBE 是等腰三角形；当 BC 时，四边形 OADC 为菱形 【答案】（1）见解析；（2）2；
5、2【解析】（1）证明：延长 AD 交直线 l 于点 F，AD 垂直于直线 l，AFC90，直线 l 为O 切线，OCF90，AFCOCF90，ADOC，AB 为O 直径，ADB90，OEB90，OCDB，DEBE，DECBEC90，CECE，CDECBE；（2）如图 2，连接 OD，由（1）知OEB90，当OBE 是等腰三角形时，则OEB 为等腰直角三角形，BOEOBE=45，ODOB，OEBD，DOCBOE45，AB4，OD2，弧 CD 的长=452180=2；当四边形 OADC 为菱形时，则 ADDCOCAO2，由（1）知，BCDC，BC2.【变式 2-1】（2019河南南阳一模）如图，四
6、边形 ABCD 是O 的内接四边形，O 的半径为 2，B=135，则弧 AC 的长为（）A.2 B.C.2 D.3 【分析】根据弧长公式180n rl，需先确定弧 AC 所对的圆心角AOC 的度数，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的 2 倍得到AOC=2D，根据圆内接四边形对角互补，求出D=180B=45，再代入弧长公式求解即可.【解析】解：四边形 ABCD 是O 的内接四边形，D=180B=45，弧 AC 所对圆心角的度数为：245=90，O 的半径为 2，弧 AC 的长为：90 2180180n rl=，故选 B.1.（2018洛阳三模）如图，在 RtABC 中，ACB=90，以 AC 为直
7、径的O，与斜边 AB 交于点 D，E为 BC 边的中点，连接 DE.（1）求证：DE 是O 的切线；（2）填空：若B=30，AC=2 3，则 BD=当B=时，以 O、D、E、C 为顶点的四边形是正方形.【答案】见解析.【解析】解：（1）连接 OD，AC 为直径，ADC=90，CDB=90，E 是 BC 的中点，DE=CE=BE，DCE=EDC，OD=OC，OCD=ODC，ODC+CDE=OCD+DCE=90，即ODE=90，DE 是O 的切线；（2）3；45，理由如下：B=30，AC=2 3，BCA=90，BC=ACtan30=6，DE=3，由B=A=45，OA=OD，得ADO=AOD=45，
8、AOD=90，DOC=90，又ODE=90，四边形 ODEC 是矩形，OD=OC，四边形 ODEC 是正方形.2.（2018河南第一次大联考）已知ABC 内接于以 AB 为直径的O，过点 C 作O 的切线交 BA 的延长线于点 D，且 DAAB=12（1）求CDB 的度数；（2）在切线 DC 上截取 CE=CD，连接 EB，判断直线 EB 与O 的位置关系，并证明 【答案】见解析.【解析】解：（1）如图，连接 OC，CD 是O 的切线，OCD=90 DA：AB=1：2，DA=OC，DO=2OC 在 RtDOC 中，sinCDO=12，CDO=30，即CDB=30（2）直线 EB 与O 相切 证
9、明：连接 OC，由（1）可知CDO=30，COD=60，OC=OB，OBC=OCB=30，CBD=CDB，CD=CB，CD 是O 的切线，OCE=90，ECB=60，又CD=CE，CB=CE，CBE 为等边三角形，EBA=EBC+CBD=90，EB 是O 的切线 3.（2019偃师一模）如图，在 RtABC 中，ACB=90，以 AC 为直径的O 与斜边 AB 交于点 D，E为 BC 边上一点，且 DE 是O 的切线（1）求证：BE=EC；（2）填空：若B=30，AC=2 3 则 DE=；当B=时，以 O，D，E，C 为顶点的四边形是正方形 【答案】（1）见解析；（2）3；45.【解析】解：（
10、1）证明：如图，连接 OD，ACB=90，AC 为O 的直径，EC 为O 的切线，DE 为O 的切线，EC=ED，EDO=90，BDE+ADO=90，OD=OA，ADO=A，BDE+A=90，A+B=90，BDE=B，BE=EC；（2）3；45，理由如下：在 RtABC 中，B=30，AC=2 3，BC=6，由（1）知，E 是 BC 中点，DE=12BC=3；ODEC 为正方形，DEC=90，DE=CE=BE，B=45，故答案为：3；45.4.如图，AB 为O 的直径，C 为半圆上一动点，过点 C 作O 的切线 l 的垂线 BD，垂足为 D，BD 与O交于点 E，连接 OC，CE，AE，AE
11、交 OC 于点 F（1）求证：CDEEFC；（2）若 AB=4，连接 AC 当 AC=时，四边形 OBEC 为菱形；当 AC=时，四边形 EDCF 为正方形 【答案】见解析【解析】（1）证明：如图，BDCD，CDE=90，AB 是直径，AEB=90，CD 是切线，FCD=90，四边形 CFED 矩形，CF=DE，EF=CD，CE=CE，CDEEFC（2）解：当 AC=2 时，四边形 OCEB 是菱形 理由：连接 OE AC=OA=OC=2，ACO 是等边三角形，CAO=AOC=60，AFO=90，EAB=30，AEB=90，B=60，OE=OB，OEB 是等边三角形，EOB=60，COE=18
12、06060=60，CO=OE，COE 是等边三角形，CE=CO=OB=EB，四边形 OCEB 是菱形 故答案为 2 当四边形 DEFC 是正方形时，CF=FE，CEF=FCE=45，OCAE，弧 AC=弧 CE，CAE=CEA=45，ACE=90，AE 是O 的直径，AOC 是等腰直角三角形，AC=2 2 AC=2 2 时，四边形 DEFC 是正方形 故答案为 2 2 5.（2019三门峡二模）如图，AB 是半圆 O 的直径，D 为半圆上的一个动点（不与点 A，B 重合），连接 AD，过点 O 作 AD 的垂线，交半圆 O 的切线 AC 于点 C，交半圆 O 于点 E连接 BE，DE（1）求证
13、：BEDC（2）连接 BD，OD，CD 填空：当ACO 的度数为 时，四边形 OBDE 为菱形；当ACO 的度数为 时，四边形 AODC 为正方形 【答案】（1）见解析；（2）30；45【解析】解：（1）证明：设 AD，OC 交于点 P，OCAD，APC90 C+CAP90 AC 是半圆 O 的切线，CAOCAP+BAD90，BADC，BEDBAD，BEDC；（2）30，理由如下：连接 BD，如图：AB 是半圆 O 的直径，ADB90，DABACO30，DBA60，OEAD，弧 AE=弧 AD，DBEABE30 DEBDAB30，DEBABE，DEAB ADB90，即 BDAD，OEAD，OE
14、BD，四边形 OBDE 是平行四边形 OBOE 四边形 OBDE 是菱形；故答案为 30；45，理由如下：连接 CD、OD，BEDACO45，BOD2BED90，AOD90，OCAD，OC 垂直平分 AD，OCDOCA45，ACD90，ACO90，四边形 AODC 是矩形，OAOD，四边形 AODC 是正方形，故答案为 45 6.（2019开封模拟）如图，CD 是O 的直径，且 CD2cm，点 P 为 CD 的延长线上一点，过点 P 作O的切线 PA、PB，切点分别为 A、B（1）连接 AC，若APO30，试证明ACP 是等腰三角形；（2）填空：当弧 AB 的长为 cm 时，四边形 AOBD
15、是菱形；当 DP cm 时，四边形 AOBP 是正方形 【答案】（1）见解析；（2）23；21.【解析】解：（1）连接 AO，PA 是O 的切线，PAO90，APO30，AOP60，OAOC，CCAO30，CAPO=30，ACP 是等腰三角形；（2）若四边形 AOBD 是菱形，则 AOAD，AOOD，AOD 是等边三角形，AOD60，AOB120，CD=2，圆 O 的半径为 1，弧 AB 的长为：21201180=23.若四边形 AOBP 为正方形时，则 PAAO1，则 OP=2，OD=1，PD=2 1，所以答案为：2 1 7.（2019西华县一模）如图，AB 为O 的直径，F 为弦 AC 的
16、中点，连接 OF 并延长交弧 AC 于点 D，过点 D 作O 的切线，交 BA 的延长线于点 E（1）求证：ACDE；（2）连接 CD，若 OA=AE=2 时，求出四边形 ACDE 的面积 【答案】见解析【解析】证明：（1）F 为弦 AC（不是直径）的中点，AF=CF，ODAC，DE 是O 的切线，ODDE，ACDE （2）连接 CD，ACDE，OA=AE=2，OF=FD，AF=CF，AFO=CFD，AFOCFD，SAFO=SCFD，S 四边形 ACDE=SODE OD=OA=AE=2，OE=4，由勾股定理得：DE=2 3，S 四边形 ACDE=SODE=12ODOE=1222 3 =2 3
17、8.（2019郑州联考）已知：如图，ABC 内接于O，AB 为直径，CBA 的平分线交 AC 于点 F，交O 于点 D，DEAB 于点 E，且交 AC 于点 P，连结 AD（1）求证：DACDBA；（2）求证：P 是线段 AF 的中点；（3）连接 CD，若 CD3，BD4，求O 的半径和 DE 的长 【答案】见解析【解析】（1）证明：BD 平分CBA，CBDDBA，DAC 与CBD 是弧 CD 所对的圆周角，DACCBD，DACDBA；（2）证明：AB 为直径，ADB90，DEAB 于 E，DEB90，ADE+BDEDBE+BDE90，ADEDBEDAC，PDPA，DFA+DAFADE+BDE
18、90，PDFPFD，PDPF，PAPF，即 P 是线段 AF 的中点；（3）解：CBDDBA，CD3，CDAD3，由勾股定理得：AB5，即O 的半径为 2.5，由 DEABADBD，即：5DE34，DE2.4 即 DE 的长为 2.4 9.（2019安阳二模）如图，在矩形 ABCD 中，点 O 在对角线 AC 上，以 OA 的长为半径的圆 O 与 AD，AC分别交于点 E，F，且ACBDCE（1）判断直线 CE 与O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若 tanACB 12，BC4，求O 的半径 【答案】见解析【解析】（1）直线 CE 与O 相切，证明：连接 OE，OAOE，EAOAEO，AC
19、BDCE，AEOACBDCE，四边形 ABCD 是矩形，BCAD，ACBDAC，ACBDCE，DACDCE，由D90，得：DCE+DEC90，AEO+DEC90，OEC90，即 OEEC，OE 为半径，直线 CE 与O 相切；（2）解：在 RtACB 中，ABtanACBBC=1242，由勾股定理得：AC2 5，ACBDCE，tanDCEtanACB 12，在 RtDCE 中，CDAB2，DEDCtanDCE2 121，由勾股定理得：CE 5，在 RtCOE 中，CO2CE2+OE2，OE=OA，（2 5 OA）2OA2+（5）2，解得：OA 3 54，即O 的半径是 3 54 10.（201
20、9平顶山三模）如图，在ABC 中，ACBC，AB 是C 的切线，切点为点 D，直线 AC 交C于点 E、F，且 CF=12AC，（1）求证：ABF 是直角三角形；（2）若 AC6，则直接回答 BF 的长是多少 【答案】见解析.【解析】（1）证明：连接 CD，则 CFCD，AB 是C 的切线 CDAB，ADCBDC90，在 RtACD 中，CF=12AC，CDCF=12AC，A30 ACBC，ABCA30，ACB120，BCDBCF60，BCBC，BCDBCF，BFCBDC90，ABF 是直角三角形（2）解：由（1）知：ACBC，CDAB，ADBDBF，在 RtACD 中，A30，AC6，CD3，AD=3 CD3 3 BF3 3.