1、第2讲两直线的位置关系一、知识梳理1两直线的平行、垂直与其斜率的关系条件两直线位置关系斜率的关系两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2平行k1k2k1与k2都不存在垂直k1k21k1与k2一个为零、另一个不存在2.两条直线的交点3三种距离点点距点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|点线距点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d线线距两条平行线AxByC10与AxByC20间的距离d常用结论1会用两个充要条件(1)两直线平行或重合的充要条件直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20平行或重合的充要条件是A1B2A2B10.(2)两直线垂
2、直的充要条件直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20垂直的充要条件是A1A2B1B20.2直线系方程(1)与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBym0(mR且mC)(2)与直线AxByC0垂直的直线系方程是BxAyn0(nR)(3)过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2.3六种常用对称关系(1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(x，y)(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，y)，关于y轴的对称点为(x，y)(3)点(x，y)关于直线yx的对称点为(y，x)，关于直线
3、yx的对称点为(y，x)(4)点(x，y)关于直线xa的对称点为(2ax，y)，关于直线yb的对称点为(x，2by)(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2ax，2by)(6)点(x，y)关于直线xyk的对称点为(ky，kx)，关于直线xyk的对称点为(ky，xk)二、习题改编1(必修2P110B组T1改编)两直线4x3y10与2xy10的交点坐标为 答案：(4，2)2(必修2P110B组T2改编)已知点(a，2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a等于 答案：13(必修2P114A组T5改编)已知直线l1：ax3y10，l2：2x(a1)y10互相平行，则实数a的值是 解析：由
4、直线l1与l2平行，可得解得a3.答案：3一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交()(4)已知直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1l2，则A1A2B1B20.()(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、易错纠偏(1)求平行线间距离忽视x，y的系数相同；(2)判断两
5、条直线的位置关系忽视斜率不存在的情况1两条平行直线3x4y120与6x8y110之间的距离为()A.B.C7 D解析：选D.直线3x4y120可化为6x8y240，所以两平行直线之间的距离为.2已知直线l1：axy40和l2：2xay10若l1l2，则a 答案：0两条直线平行与垂直(师生共研) (一题多解)已知直线l1：ax2y60和直线l2：x(a1)ya210.(1)当l1l2时，求a的值；(2)当l1l2时，求a的值【解】(1)法一：当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1不平行于l2；当a0时，l1：y3，l2：xy10，l1不平行于l2；当a1且a0时，两直线方程可化为l1：yx
6、3，l2：yx(a1)，由l1l2可得解得a1.综上可知，a1.法二：由l1l2知即a1.(2)法一：当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1与l2不垂直，故a1不符合；当a1时，l1：yx3，l2：yx(a1)，由l1l2，得1a.法二：因为l1l2，所以A1A2B1B20，即a2(a1)0，得a.(1)两直线平行、垂直的判断方法若已知两直线的斜率存在两直线平行两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等两直线垂直两直线的斜率之积等于1.提醒判断两条直线位置关系应注意：1注意斜率不存在的特殊情况2注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件(2)由两条直线平行与垂直求参数的值的解题策略在解这类问题
7、时，一定要“前思后想”“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解1已知直线4xmy60与直线5x2yn0垂直，垂足为(t，1)，则n的值为()A7 B9 C11 D7解析：选A.由直线4xmy60与直线5x2yn0垂直得，202m0，m10.直线4x10y60过点(t，1)，所以4t1060，t1.点(1，1)又在直线5x2yn0上，所以52n0，n7.2求满足下列条件的直线方程(1)过点P(1，3)且平行于直线x2y30；(2)已知A(1，2)，B(3，1)，线段AB的垂直平分线解：(1)设直线方程为x2yc0
8、，把P(1，3)代入直线方程得c7，所以直线方程为x2y70.(2)AB的中点为，即，直线AB的斜率kAB，故线段AB垂直平分线的斜率k2，所以其方程为y2(x2)，即4x2y50.两条直线的交点与距离问题(多维探究)角度一两直线的交点与直线过定点 (1)对于任给的实数m，直线(m1)x(2m1)ym5都通过一定点，则该定点的坐标为()A(9，4) B(9，4) C(9，4) D(9，4)(2)经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程为 【解析】(1)(m1)x(2m1)ym5即为m(x2y1)(xy5)0，故此直线过直线x2y10和xy
9、50的交点由得定点的坐标为(9，4)故选A.(2)由方程组得即P(0，2)因为ll3，所以直线l的斜率k，所以直线l的方程为y2x，即4x3y60.【答案】(1)A(2)4x3y60角度二三种距离问题 (1)已知点P(1，1)，A(1，0)，B(0，1)，则ABP的面积为 (2)若两平行直线l1：x2ym0(m0)与l2：2xny60之间的距离是，则mn 【解析】(1)因为A(1，0)，B(0，1)，所以|AB|，直线AB的方程为xy10，则点P(1，1)到直线AB的距离d，所以ABP的面积为.(2)因为l1，l2平行，所以1n2(2)，1(6)2m，解得n4，m3，所以直线l2：x2y30.
10、又l1，l2之间的距离是，所以，得m2或m8(舍去)，所以mn2.【答案】(1)(2)2两种距离的求解思路(1)点到直线的距离的求法可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式(2)两平行直线间的距离的求法利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；利用两平行线间的距离公式(利用公式前需把两平行线方程中x，y的系数化为相同的形式)1与直线l1：3x2y60和直线l2：6x4y30等距离的直线方程是 解析：l2：6x4y30化为3x2y0，所以l1与l2平行，设与l1，l2等距离的直线l的方程为3x2yc0，则|c6|c|，解得c，所以l的
11、方程为12x8y150.答案：12x8y1502l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是 解析：当两条平行直线与A，B两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大又kAB2，所以两条平行直线的斜率为k，所以直线l1的方程是y1(x1)，即x2y30.答案：x2y30对称问题(典例迁移) 已知直线l：2x3y10，点A(1，2)求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程【解】(1)设A(x，y)，由已知得解得所以A.(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线
12、l的对称点M必在直线m上设M(a，b)，则解得M.设直线m与直线l的交点为N，则由得N(4，3)又因为m经过点N(4，3)，所以由两点式得直线m的方程为9x46y1020.【迁移探究】(变问法)在本例条件下，求直线l关于点A(1，2) 对称的直线l的方程解：设P(x，y)为l上任意一点，则P(x，y)关于点A(1，2)的对称点为P(2x，4y)，因为P在直线l上，所以2(2x)3(4y)10，即2x3y90.1与直线3x4y50关于x轴对称的直线方程为 解析：设A(x，y)为所求直线上的任意一点，则A(x，y)在直线3x4y50上，即3x4(y)50，故所求直线方程为3x4y50.答案：3x4
13、y502已知点A(1，3)关于直线ykxb对称的点是B(2，1)，则直线ykxb在x轴上的截距是 解析：由题意得线段AB的中点在直线ykxb上，故解得k，b，所以直线方程为yx.令y0，即x0，解得x，故直线ykxb在x轴上的截距为.答案：思想方法系列13妙用直线系求直线方程一、平行直线系由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系 求与直线3x4y10平行且过点(1，2)的直线l的方程【解】依题意，设所求直线方程为3x4yC10(C11)，因为直线过点(1，2)，所以3142C10，解得C111.因此，所求直线方程为3x4y110
14、.先设与直线AxByC0平行的直线系方程为AxByC10(C1C)，再由其他条件求C1.二、垂直直线系由于直线A1xB1yC10与A2xB2yC20垂直的充要条件为A1A2B1B20，因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系，可以考虑用直线系方程求解 求经过A(2，1)，且与直线2xy100垂直的直线l的方程【解】因为所求直线与直线2xy100垂直，所以设该直线方程为x2yC10，又直线过点(2，1)，所以有221C10，解得C10，所以所求直线方程为x2y0.先设与直线AxByC0垂直的直线系方程为BxAyC10，再由其他条件求出C1.三、过直线交点的直线系 求经过直线l1：3x2
15、y10和l2：5x2y10的交点，且垂直于直线l3：3x5y60的直线l的方程【解】法一：将直线l1，l2的方程联立，得解得即直线l1，l2的交点为(1，2)由题意得直线l3的斜率为，又直线ll3，所以直线l的斜率为，则直线l的方程是y2(x1)，即5x3y10.法二：由于ll3，所以可设直线l的方程是5x3yC0，将直线l1，l2的方程联立，得解得即直线l1，l2的交点为(1，2)，则点(1，2)在直线l上，所以5(1)32C0，解得C1，所以直线l的方程为5x3y10.法三：设直线l的方程为3x2y1(5x2y1)0，整理得(35)x(22)y(1)0.由于ll3，所以3(35)5(22)
16、0，解得，所以直线l的方程为5x3y10.本题中的解法二、解法三均是利用直线系设出直线l的方程，而解法三是利用相交直线系设出方程，避免了求直线l1与l2的交点坐标，方便简捷，是最优解法直线l1：xy40与l2：xy20的交点为P，直线l：2xy10.(1)过P与l平行的直线方程为 ；(2)过P与l垂直的直线方程为 解析：由得所以l1与l2的交点为(1，3)(1)设直线方程为2xyc0，则23c0，所以c1，所以所求直线方程为2xy10.(2)设与直线2xy10垂直的直线方程为x2yc0，则123c0，所以c7，所以所求直线方程为x2y70.答案：(1)2xy10(2)x2y70基础题组练1已知
17、直线ax2y20与3xy20平行，则系数a()A3 B6 C D解析：选B.由直线ax2y20与直线3xy20平行知，3，a6.2已知点A(5，1)，B(m，m)，C(2，3)，若ABC为直角三角形且AC边最长，则整数m的值为()A4 B3 C2 D1解析：选D.由题意得B90，即ABBC，kABkBC1，所以1.解得m1或m，故整数m的值为1，故选D.3(2020安庆模拟)若直线l1：x3ym0(m0)与直线l2：2x6y30的距离为，则m()A7 B. C14 D17解析：选B.直线l1：x3ym0(m0)，即2x6y2m0，因为它与直线l2：2x6y30的距离为，所以，求得m.4已知点P
18、(4，a)到直线4x3y10的距离不大于3，则a的取值范围是()A10，10 B10，5C5，5 D0，10解析：选D.由题意得，点P到直线的距离为.又3，即|153a|15，解得0a10，所以a的取值范围是0，105已知坐标原点关于直线l1：xy10的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为()A2x3y50 B3x2y50C3x2y50 D2x3y50解析：选B.设A(x0，y0)，依题意可得解得即A(1，1)设点B(2，1)到直线l2的距离为d，当d|AB|时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB，又，所以直线l2的方程为y1(x1)，即
19、3x2y50.6过两直线l1：x3y40和l2：2xy50的交点和原点的直线方程为 解析：过两直线交点的直线系方程为x3y4(2xy5)0，代入原点坐标，求得，故所求直线方程为x3y4(2xy5)0，即3x19y0.答案：3x19y07已知点A(3，2)和B(1，4)到直线axy10的距离相等，则a的值为 解析：由点到直线的距离公式可得，解得a或a4.答案：或48已知点A(1，3)，B(5，2)，在x轴上有一点P，若|AP|BP|最大，则P点坐标为 解析：作出A点关于x轴的对称点A(1，3)，则AB所在直线方程为x4y130.令y0得x13，所以点P的坐标为(13，0)答案：(13，0)9已知
20、两直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a，b的值(1)l1l2，且直线l1过点(3，1)；(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等解：(1)因为l1l2，所以a(a1)b0.又因为直线l1过点(3，1)，所以3ab40.故a2，b2.(2)因为直线l2的斜率存在，l1l2，所以直线l1的斜率存在所以1a.又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，所以l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即b.联立可得a2，b2或a，b2.10已知ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线的方程为2xy50，AC边上的高BH所在直线的方程为x2y50，求直线BC的方程解：
21、依题意知kAC2，A(5，1)，所以直线AC的方程为2xy110，联立直线AC和直线CM的方程，得所以C(4，3)设B(x0，y0)，AB的中点M为，代入2xy50，得2x0y010，所以所以B(1，3)，所以kBC，所以BC的方程为y3(x4)，即6x5y90.综合题组练1已知直线l1：xy10，动直线l2：(k1)xkyk0(kR)，则下列结论中正确的是()存在k，使得l2的倾斜角为90对任意的k，l1与l2都有公共点对任意的k，l1与l2都不重合对任意的k，l1与l2都不垂直A B C D解析：选A.对于动直线l2：(k1)xkyk0(kR)，当k0时，斜率不存在，倾斜角为90，故正确；
22、由方程组可得(2k1)x0，对任意的k，此方程有解，可得l1与l2有交点，故正确；因为当k时，成立，此时l1与l2重合，故错误；由于直线l1：xy10的斜率为1，动直线l2的斜率为11，故对任意的k，l1与l2都不垂直，故正确2设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是 解析：易知定点A(0，0)，B(1，3)，且无论m取何值，两直线垂直所以无论P与A，B重合与否，均有|PA|2|PB|2|AB|210(P在以AB为直径的圆上)所以|PA|PB|(|PA|2|PB|2)5.当且仅当|PA|PB|时等号成立答案：53已知直线l：x
23、y30.(1)求点A(2，1)关于直线l：xy30的对称点A；(2)求直线l1：x2y60关于直线l的对称直线l2的方程解：(1)设点A(x，y)，由题知解得所以A(2，5)(2)在直线l1上取一点，如M(6，0)，则M(6，0)关于直线l的对称点M必在l2上设对称点为M(a，b)，则解得M(3，9)设l1与l的交点为N，则由得N(12，9)又因为l2经过点N(12，9)，所以直线l2的方程为y9(x3)，即2xy150.4已知方程(2)x(1)y2(32)0与点P(2，2)(1)证明对任意的实数，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4.解：(1)显然2与(1)不可能同时为零，故对任意的实数，该方程都表示直线因为方程可变形为2xy6(xy4)0，所以解得故直线经过的定点为M(2，2)(2)证明：过点P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|PM|，此时对应的直线方程是y2x2，即xy40.但直线系方程唯独不能表示直线xy40，所以M与Q不可能重合，即|PM|4，所以|PQ|4，故所证成立