1、2021学年高三上学期月考数学试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.已知集合，若有2个子集，则不可能为（ ）A.0 B.1 C.2 D.42.已知实数，满足，且，则下列不等式中正确的是（ ）A. B. C. D.3.已知函数，则 的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 44.已知函数的图象与直线的相邻交点间的距离为，若定义，则函数，在区间内的图象是( )ABCD5.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t
2、)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为( )（参考数据 ln193）A60 B62 C66 D636.对于函数，把满足的实数叫做函数的不动点。设，若有两个不动点，则实数的取值范围是 A. B. C. D.7.若曲线的一条切线为，其中为正实数，则的取值范围是（ ）A B C. D8.奇函数定义域为，其导函数是.当时，有，则关于的不等式的解集为（ ）A B C D二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下列选下
3、选项中，值为的是（ ）Acos 72cos 36 B . Csinsin D；10某同学在研究函数时，给出下面几个结论中正确的有( )A的图象关于原点对称B若，则C的值域为D函数仅有一个零点11设，且，那么（ ）A有最小值B有最大值C有最大值D有最小值12.设函数，则下列说法正确的是( )A定义域是（0，+） B（0，1）时，图象位于轴下方C存在单调递增区间 D有且仅有一个极值点三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知 为自然常数，则函数的零点为 14.已知，则 15.已知函数，对于任意，都有，则实数的取值范围是 16.定义在上函数满足，且当时，.则使得在上恒成立的的最小值是 四
4、、 解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）在； 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足_，且，求的面积.18.（本小题满分12分）已知数列an的前n项和为Sn，满足：a11，Sn11Snan，数列bn为等比数列，满足b14b3，b2b1，nN*。(1)求数列an，bn的通项公式；(2)若数列的前n项和为Wn，数列bn的前n项和为Tn，试比较Wn与的大小。19（本小题满分12分）如图，正方体的棱长为2，P是BC的中点，点Q是棱上的动点（1）点Q在何位置时，直线
5、，DC，AP交于一点，并说明理由；（2）求三棱锥的体积；（3）棱上是否存在动点Q，使得与平面所成角的正弦值为，若存在指出点Q在棱上的位置，若不存在，请说明理由20（本小题满分12分）随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载每日健步走的步数，从而为科学健身提供了一定帮助.某企业为了解员工每日健步走的情况，从该企业正常上班的员工中随机抽取300名，统计他们的每日健步走的步数（均不低于4千步，不超过20千步）.按步数分组，得到频率分布直方图如图所示.（1）求这300名员工日行步数（单位：千步）的样本平均数（每组数据以该组区间的中点值为代表，结果保留整数）；（2）由直方图可以认
6、为该企业员工的日行步数（单位：千步）服从正态分布，其中为样本平均数，标准差的近似值为2，根据该正态分布估计该企业被抽取的300名员工中日行步数的人数；（3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该企业员工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：日行步数不超过8千步者为“不健康生活方式者”，给予精神鼓励，奖励金额为每人0元；日行步数为814千步者为“一般生活方式者”，奖励金额为每人100元；日行步数为14千步以上者为“超健康生活方式者”，奖励金额为每人200元.求工会慰问奖励金额（单位：元）的分布列和数学期望.附：若随机变量服从正态分布，则，.21（本小题满分12分） 已知椭圆
7、的左，右焦点分别为，该椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.（1）求椭圆的方程；（2）如图，若斜率为的直线与轴，椭圆顺次交于点在椭圆左顶点的左侧）且，22（本小题满分12分）已知函数 ()。(1)设函数，求函数的单调区间；(2)若，在上存在一点，使得成立，求的取值范围。1.【答案】C2.【解析】且，则，.所以.故选B.3. 【答案】C已知函数，则 的值为( C )4.【答案】A【解析】根据题意，的图象与直线的相邻交点间的距离为，所以 的周期为， 则， 所以，由正弦函数和正切函数图象可知正确.故选：A.5. 【答案】D【解析】，所以，所以，解得 故选：D6. 【答案】
8、B 7. 【答案】A【解析】设切点为，则有，故选A.8. 【答案】D【解析】令，则当时，所以当时，函数单调递减， 又为奇函数，所以函数为偶函数， 而当时，不等式等价于，即，所以，根据偶函数性质得到，故选D三 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.【答案】A，C【解析】对于A中cos 36cos 72.对于B中原式4.对于C中sin sin sin cos .对于D中=，故选A，C。.10【答案】ABCD【解析】函数的定义域为全体实数，所以是奇函数，图象关于原点对称，.选项A：由上分析函数
9、关于原点对称，本选项是正确的；选项B：当时，显然函数单调递增，此时；当时，显然函数单调递增，此时，因此函数在整个实数集上是单调递增的，因此若，则是正确的，本选项是正确的；选项C：由选项B的分析可以知道本选项是正确的；选项D：，只有一个零点，D正确，故选ABCD11 【答案】AD解：由题已知得：,故有,解得或（舍）,即（当且仅当时取等号）,A正确;因为,所以,又因为, 有最小值,D正确.故选：AD12.BCD【解析】由题意，函数满足，解得且，所以函数的定义域为，所以A不正确；由，当时，所以在上的图象都在轴的下方，所以B正确； ，所以在定义域上有解，所以函数存在单调递增区间，所以C是正确的；由，则
10、，所以，函数单调增，则函数只有一个根，使得，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以D正确；故选BCD三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 114.解析：由sin cos 1，cos sin 0，两式平方相加，得22sin cos 2cos sin 1，整理得sin().15. 【解析】根据函数对于任意，都有，可得函数在区间为单调递减函数，由，可得函数为偶函数，图象关于轴对称，所以函数在区间为单调递增函数，当时，函数，可得，根据函数在区间为单调递增函数，可得在上恒成立，即在上恒成立，可转化为在上恒成立，令，则，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，所
11、以当时，函数取得最小值，最小值为，所以，解得，即实数的取值范围是.16.【解析】根据题设可知，当时，故，同理可得：在区间上，所以当时，.作函数的图象，如图所示.在上，由，得.由图象可知当时，.五、 解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【答案】横线处任填一个都可以，面积为【解析1】（1)在横线上填写“”.解：由正弦定理，得.由，得.由，得.所以.又所以.又，得.由余弦定理及，得，即.将代入，解得.所以.【解析2】在横线上填写“”.解：由及正弦定理，得.又，所以有.因为，所以.从而有.又，所以由余弦定理及，得即.将代入，解得.所以.【解析3】在横线上填写
12、“”解：由正弦定理，得.由，得，所以由二倍角公式，得.由，得，所以.所以，即.由余弦定理及，得.即.将代入，解得.所以.18.【解】(1)由Sn11Snan，得Sn1Snan1，即an1an1，又a11，所以数列an是首项和公差均为1的等差数列，可得ann。因为数列bn为等比数列，满足b14b3，b2。当q时，b1，得b1，不满足b2b1，舍去，所以bn。(2)，Wn11，Tn1， 此时易知：当时，当时，即有19【解】（1）当Q是中点时,直线,DC,AP交于一点理由如下：延长AP交DC于M,连结交于点Q,Q是中点（2）V棱锥棱锥（3）以D为原点,DA,DC,所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建系
13、则,设面的法向量为,则取,即设与面所成角为则化简得解得或（舍去） 所以存在点Q,且点Q为的中点时可使得与平面所成角的正弦值为。20【解】（1） 由题意有 （千步）（2）由，由（1）得所以所以300名员工中日行步数的人数：.(3)由频率分布直方图可知：每人获得奖金额为0元的概率为：.每人获得奖金额为100元的概率为：每人获得奖金额为200元的概率为：的取值为0，100，200,300,400. 所以的分布列为：01002003004000.00040.03520.77840.1760.01 （元）21【解】 （1）椭圆的左，右焦点分别为，椭圆的离心率为，即有，即，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆方程为，直线与圆相切，则有，即有，则椭圆C的方程为；（2）证明：设，由，可得直线和关于x轴对称即有，即，即有，设直线，代入椭圆方程，可得，判别式，即为，代入可得，将代入，化简可得，则直线的方程为，即即有直线恒过定点将代入，可得，解得或则直线的斜率的取值范围是22.【解】(1)，定义域为，当，即时，令，；令，当，即时，恒成立，综上：当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，在上单调递增；(2)由题意可知在上存在一点，使得成立，即在上存在一点，使得，即函数在上的最小值，由第(1)问可知：当，即时，在上单调递减，又，当，即时，在上单调递增，当，即时，此时不存在使成立，综上可得所求的范围是：或。
