1、四川省广安市2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题 理（含解析）一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分）.1已知ab且a，bR，下列不等式正确的是（）ABba0CDa+b02在等差数列an中，若a45，则数列an的前7项和S7（）A15B20C35D453已知，则（）ABCD4设m，n表示不同直线，表示不同平面，下列叙述正确的是（）A若m，mn，则nB若mn，m，n，则C若，则D若m，n，则mn5在正项等比数列an中，a1和a19为方程x210x+160的两根，则a8a10a12等于（）A16B32C64D2566某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积是，则a（）AB3C
2、D27已知实数a0，b0，是4a与2b的等比中项，则的最小值是（）ABC8D48在ABC中，已知a2bcosC，且sin2Asin2B+sin2C，则ABC的形状是（）A等腰三角形B等腰直角三角形C直角三角形D等边三角形9在九章算术中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”如图，四棱锥PABCD为阳马，侧棱PA底面ABCD，PAABAD，E为棱PA的中点，则直线CE与平面PAD所成角的正弦值为（）ABCD10已知数列an满足an+1，a11，数列bn满足b11，bnbn1（n2），则b8（）A64B81C80D8211在正三棱锥PABC中，PAPBPC，ABACBC，则三棱锥P
3、ABC外接球的表面积是（）A9BC4D12已知a、b、c为ABC的三个内角A、B、C的对边，c2b，ABC的面积为2，则a的最小值为（）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13sin74cos14cos74sin14的值为 14若，则目标函数zxy的取值范围是 15在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M分别为CD，DD1，AD的中点，则异面直线A1M与EF所成角的余弦值为 16已知函数f（x），各项均为正数的数列an满足a12，an+2f（an），若a2020a2022，则a7+a8的值为 三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
4、.17已知关于x的不等式2kx2+kx0，k0（1）若k，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为R，求k的取值范围18已知等比数列an的公比为q（q1），前n项和为Sn，S314，且3a2是2a3与4a1的等差中项（1）求an的通项公式；（2）设b，求bn的前n项和为Tn19在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asinBcosC+csinBcosAb，且ab（1）求角B的值；（2）若A，且ABC的面积为4，求BC边上的中线AM的长20如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，AA1平面ABCD，ADBD3，AB3，E是CD1的中点（1）证明：AD1平面B
5、DE；（2）若AA14，求三棱锥D1BDE的体积21某呼吸机生产企业计划投资固定成本500万元引进先进设备，用于生产救治新冠患者的无创呼吸机，需要投入成本f（x）（单位：万元）与年产量x（单位：百台）的函数关系式为f（x），据以往出口市场价格，每台呼吸机的售价为3万元，且依据国外疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完（1）求年利润g（x）（单位：万元）关于年产量x的函数解析式（利润销售额投入成本固定成本）；（2）当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大年利润参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知ab且a，bR，下
6、列不等式正确的是（）ABba0CDa+b0解：对于A，当ab0时，故A错误；对于B，因为ab，所以ba0，故B正确；对于C，当a0b时，0，故C错误；对于D，取a1，b2，则a+b10，故D错误故选：B2在等差数列an中，若a45，则数列an的前7项和S7（）A15B20C35D45解：因为a45，所以S7（a1+a7）7a435故选：C3已知，则（）ABCD解：cos2（+）1212故选：D4设m，n表示不同直线，表示不同平面，下列叙述正确的是（）A若m，mn，则nB若mn，m，n，则C若，则D若m，n，则mn解：选项A中若m，mn，则n，还有直线n在平面内的情况，故A不正确，选项B中若mn
7、，m，n，则，有可能两个平面相交，故B不正确，选项C中若，则，还有两个平面相交的可能，故C不正确选项D，若m，n，则mn，满足直线与平面垂直的性质，所以D 正确；故选：D5在正项等比数列an中，a1和a19为方程x210x+160的两根，则a8a10a12等于（）A16B32C64D256解：因为a1和a19为方程x210x+160的两根，所以a1a19a10216，又此等比数列为正项数列，解得：a104，则a8a10a12（a8a12）a10a1034364故选：C6某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积是，则a（）AB3CD2解：根据几何体的三视图转换为直观图为，该几何体为三棱锥体AB
8、CD；如图所示：所以，解得a3故选：B7已知实数a0，b0，是4a与2b的等比中项，则的最小值是（）ABC8D4解：实数a0，b0，是4a与2b的等比中项，24a2b，2a+b1则（2a+b）4+4+28，当且仅当b2a时取等号其最小值是8故选：C8在ABC中，已知a2bcosC，且sin2Asin2B+sin2C，则ABC的形状是（）A等腰三角形B等腰直角三角形C直角三角形D等边三角形解：由于在ABC中，已知a2bcosC，利用余弦定理：a2b，整理得：bc，由于sin2Asin2B+sin2C，所以a2b2+c2，故A，所以ABC为等腰直角三角形故选：B9在九章算术中，将底面为矩形且有一条
9、侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”如图，四棱锥PABCD为阳马，侧棱PA底面ABCD，PAABAD，E为棱PA的中点，则直线CE与平面PAD所成角的正弦值为（）ABCD解：如图，侧棱PA底面ABCD，PA平面PAD，则平面PAD平面ABCD，底面ABCD为矩形，CDAD，而平面PAD平面ABCDAD，CD平面PAD连接ED，则ED为CE在平面PAD上的射影，则CED为CE与底面PAD所成角，设PAABAD2a，则AEa，ED，ECsin即直线CE与平面PAD所成角的正弦值为故选：A10已知数列an满足an+1，a11，数列bn满足b11，bnbn1（n2），则b8（）A64B81C80D82解
10、：数列an满足an+1，可得2，所以数列是等差数列，首项为：1，公差为2，所以1+（n1）22n1，数列bn满足b11，bnbn12n1（n2），b2b1221，b3b2231，b8b7281则b81+2（2+3+4+5+6+7+8）72664故选：A11在正三棱锥PABC中，PAPBPC，ABACBC，则三棱锥PABC外接球的表面积是（）A9BC4D解：如图，设正三棱锥PABC的底面中心为G，连接PG，则PG平面ABC，再设正三棱锥PABC的外接球的球心为O，则O在PG上，ABACBC，AG，又PA，PG设球O的半径为R，在RtOGA中，有AG2+OG2OA2，即12+（2R）2R2，解得R
11、三棱锥PABC外接球的表面积是4故选：D12已知a、b、c为ABC的三个内角A、B、C的对边，c2b，ABC的面积为2，则a的最小值为（）ABCD解：ABC中，c2b，又ABC的面积为SABCbcsinAb2bsinA2，b2，a2b2+c22bccosAb2+4b22b2bcosAb2（54cosA）（54cosA），设t，t0，可得5tsinA+4cosAsin（A+），可得t3，即有a26，即a，可得a的最小值为故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13sin74cos14cos74sin14的值为 解：sin74cos14cos74sin14sin（7414）sin6
12、0故答案为：14若，则目标函数zxy的取值范围是 2，2解：作出不等式组对应的平面区域如图：由zxy，得yxz表示，斜率为1纵截距为z的一组平行直线，平移直线yxz，当直线yxz经过点C时，直线yxz的截距最小，此时z最大，当直线经过点B时，此时直线yxz截距最大，z最小由，解得，即C（2，0），此时zmax2由，解得，即B（0，2），此时zmin0222z2，故答案为：2，215在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M分别为CD，DD1，AD的中点，则异面直线A1M与EF所成角的余弦值为 解：连接BM，A1B，D1C，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M分别为CD，DD1，A
13、D的中点，EFD1C，D1CA1B，EFA1B，BA1M是异面直线A1M与EF所成角（或所成角的补角），设正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为2，则A1MBM，A1B2，异面直线A1M与EF所成角的余弦值为：cosBA1M故答案为：16已知函数f（x），各项均为正数的数列an满足a12，an+2f（an），若a2020a2022，则a7+a8的值为 解：根据题意可得an+2f（an），又a12，所以a3，a5，a7，由于数列an的各项均为正数，所以设a2020a2022m0，则m，解得m1或m2（舍去），所以a2020a20221，根据an+2可知a2022a2020a2018a21，所以a
14、81，所以a7+a8故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知关于x的不等式2kx2+kx0，k0（1）若k，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为R，求k的取值范围解：（1）因为，关于x的不等化为，即2x2+x30，解集为，（2）关于x的不等式的解集为R分情况讨论，当2k0，即k0时，原不等式为，恒成立，当2k0，即k0时，解得3k0，综上，故k的取值范围为（3，018已知等比数列an的公比为q（q1），前n项和为Sn，S314，且3a2是2a3与4a1的等差中项（1）求an的通项公式；（2）设b，求bn的前n项和为Tn解：（1）由3a2
15、是2a3与4a1的等差中项，得6a22a3+4a1，即，又a10，可得q23q+20，由于q1，解得q2由，解得a12，因此；（2）由（1）得，所以，所以19在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asinBcosC+csinBcosAb，且ab（1）求角B的值；（2）若A，且ABC的面积为4，求BC边上的中线AM的长解：（1）因为asinBcosC+csinBcosAb，由正弦定理得sinAsinBcosC+sinCsinBcosAsinB，整理得sinAcosC+sinCcosA，即sin（A+C），得sinB又ab，所以0，可得B（2）由（1）知B，若A，则SABCabsinC
16、4，所以a4，a4（舍）又在AMC中，AM2AC2+MC22ACMCcos，所以AM2AC2+（AC）22ACACcos42+22228，所以AM220如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，AA1平面ABCD，ADBD3，AB3，E是CD1的中点（1）证明：AD1平面BDE；（2）若AA14，求三棱锥D1BDE的体积解：（1）证明连结AC，交BD于点O，连结OE，底面ABCD是平行四边形，O是AC中点，E是CD1的中点，OEAD1，AD1平面BDE，OE平面BDE，AD1平面BDE（2）解：过B作BHCD于H，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，D1DA1A，AA
17、1平面 ABCD，DD1平面ABCD，BH平面ABCD，BHDD1，BHCD，DD1CDH，DD1面D1DCC1，CD面D1DCC1，BH平面DD1E，在平行四边形ABCD中，ADBCBD，DADB3，AB3，ADBD，CBBD，BH，3，三棱锥D1BDE的体积为：321某呼吸机生产企业计划投资固定成本500万元引进先进设备，用于生产救治新冠患者的无创呼吸机，需要投入成本f（x）（单位：万元）与年产量x（单位：百台）的函数关系式为f（x），据以往出口市场价格，每台呼吸机的售价为3万元，且依据国外疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完（1）求年利润g（x）（单位：万元）关于年产量x的函数解析式（利润销售额投入成本固定成本）；（2）当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大年利润解：（1）当0x20时，g（x）300x（5x2+150x）5005x2+150x500，当x20时，g（x），g（x）（2）当0x20时，g（x）5x2+150x5005（x15）2+625，当x15时，g（x）取得最大值g（15）625，当x20时， ，当且仅当，即x80时，等号成立，当x80时，g（x）取得最大值g（80）1040，综上所述，当年产量为8000台时，年利润最大，且最大年利润为1040万元