1、高考资源网（） 您身边的高考专家2.3函数的单调性知识梳理1.增函数、减函数的定义一般地，对于给定区间上的函数f（x），如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有f（x1）f（x2）或都有f（x1）f（x2），那么就说f（x）在这个区间上是增函数（或减函数）.如果函数y=f（x）在某个区间上是增函数（或减函数），就说f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做f（x）的单调区间.如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间.2.函数单调性可以从三个方面理解（1）图形刻画：对于给定区间上的函数f（x），函数图象如从左向右连续上升，则称函数在
2、该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减.（2）定性刻画：对于给定区间上的函数f（x），如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减.（3）定量刻画，即定义.上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径.点击双基1.下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是A.y=x+1 B.y=C.y=x24x+5D.y= 答案：B2.函数y=loga（x22x3），当x=2时，y0，则此函数的单调递减区间是A.（，3） B.（1，）C.（，1）D.（1，）解析：当x=2时，y=loga50，a1.由x22x3
3、0x3或x1，易见函数tx22x3在（，3）上递减，故函数y=loga（x22x3）（其中a1）也在（，3）上递减.答案：A3.函数y=log|x3|的单调递减区间是_.解析：令u=|x3|，则在（，3）上u为x的减函数，在（3，+）上u为x的增函数.又01，在区间（3，）上，y为x的减函数.答案：（3，+）4.有下列几个命题：函数y=2x2+x+1在（0，）上不是增函数；函数y=在（，1）（1，）上是减函数；函数y=的单调区间是2，+）；已知f（x）在R上是增函数，若a+b0，则有f（a）+f（b）f（a）+f（b）.其中正确命题的序号是_.解析：函数y=2x2+x+1在（0，+）上是增函数
4、，错；虽然（，1）、（1，）都是y=的单调减区间，但求并集以后就不再符合减函数定义，错；要研究函数y=的单调区间，首先被开方数5+4xx20，解得1x5，由于2，+）不是上述区间的子区间，错；f（x）在R上是增函数，且ab，ba，f（a）f（b），f（b）f（a），f（a）+f（b）f（a）+f（b），因此是正确的.答案：典例剖析【例1】 如果二次函数f（x）=x2（a1）x+5在区间（，1）上是增函数，求f（2）的取值范围.剖析：由于f（2）=22（a1）2+5=2a+11，求f（2）的取值范围就是求一次函数y=2a+11的值域，当然就应先求其定义域.解：二次函数f（x）在区间（，1）上是增
5、函数，由于其图象（抛物线）开口向上，故其对称轴x=或与直线x=重合或位于直线x=的左侧，于是，解之得a2，故f（2）22+11=7，即f（2）7.【例2】 讨论函数f（x）=（a0）在x（1，1）上的单调性.解：设1x1x21，则f（x1）f（x2）=.1x1x21，x2x10，x1x2+10，（x121）（x221）0.又a0，f（x1）f（x2）0，函数f（x）在（1，1）上为减函数.【例3】 求函数y=x+的单调区间.剖析：求函数的单调区间（亦即判断函数的单调性），一般有三种方法：（1）图象法；（2）定义法；（3）利用已知函数的单调性.但本题图象不易作，利用y=x与y=的单调性（一增一减
6、）也难以确定，故只有用单调性定义来确定，即判断f（x2）f（x1）的正负.解：首先确定定义域：x|x0，在（，0）和（0，+）两个区间上分别讨论.任取x1、x2（0，+）且x1x2，则f（x2）f（x1）=x2+x1=（x2x1）+=（x2x1）（1），要确定此式的正负只要确定1的正负即可.这样，又需要判断大于1，还是小于1.由于x1、x2的任意性，考虑到要将（0，+）分为（0，1）与（1，+）（这是本题的关键）.（1）当x1、x2（0，1）时，10，f（x2）f（x1）0，为减函数.（2）当x1、x2（1，+）时，10，f（x2）f（x1）0，为增函数.同理可求（3）当x1、x2（1，0）时
7、，为减函数；（4）当x1、x2（，1）时，为增函数.评述：解答本题易出现以下错误结论：f（x）在（1，0）（0，1）上是减函数，在（，1）（1，+）上是增函数，或说f（x）在（，0）（0，+）上是单调函数.排除障碍的关键是要正确理解函数的单调性概念：函数的单调性是对某个区间而言的，而不是两个或两个以上不相交区间的并.深化拓展求函数y=x+（a0）的单调区间.提示：函数定义域x0，可先考虑在（0，+）上函数的单调性，再根据奇偶性与单调性的关系得到在（，0）上的单调性.答案：在（，（，+）上是增函数，在（0，（，0）上是减函数.【例4】 定义在R上的函数y=f（x），f（0）0，当x0时，f（x）
8、1，且对任意的a、bR，有f（a+b）=f（a）f（b）.（1）求证：f（0）=1；（2）求证：对任意的xR，恒有f（x）0；（3）求证：f（x）是R上的增函数；（4）若f（x）f（2xx2）1，求x的取值范围.（1）证明：令a=b=0，则f（0）=f 2（0）.又f（0）0，f（0）=1.（2）证明：当x0时，x0，f（0）=f（x）f（x）=1.f（x）=0.又x0时f（x）10，xR时，恒有f（x）0.（3）证明：设x1x2，则x2x10.f（x2）=f（x2x1+x1）=f（x2x1）f（x1）.x2x10，f（x2x1）1.又f（x1）0，f（x2x1）f（x1）f（x1）.f（x2
9、）f（x1）.f（x）是R上的增函数.（4）解：由f（x）f（2xx2）1，f（0）=1得f（3xx2）f（0）.又f（x）是R上的增函数，3xx20.0x3.评述：解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是（3）中“f（x2）=f（x2x1）+x1”是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略.闯关训练夯实基础1.函数f（x）=ax+loga（x+1）在0，1上的最大值与最小值的和为a，则a的值为A. B. C.2 D.4解析：f（x）是0，1上的增函数或减函数，故f（0）+f（1）=a，即1+a+loga2=aloga2=1，2=a1a=.答案：B2.设函数f（x）=loga|x|在（，0）
10、上单调递增，则f（a+1）与f（2）的大小关系是A.f（a+1）=f（2） B.f（a+1）f（2）C.f（a+1）f（2）D.不能确定解析：由f（x）=且f（x）在（，0）上单调递增，易得0a1.1a+12.又f（x）是偶函数，f（x）在（0，+）上单调递减.f（a+1）f（2）.答案：B3.函数y=loga（2ax）在0，1上是减函数，则a的取值范围是A.（0，1） B.（0，2）C.（1，2） D.（2，+）解析：题中隐含a0，2ax在0，1上是减函数.y=logau应为增函数，且u= 2ax在0，1上应恒大于零.1a2.答案：C4.（文）如果函数f（x）=x2+2（a1）x+2在区间（
11、，4上是减函数，那么实数a的取值范围是_.解析：对称轴x=1a，由1a4，得a3.答案：a3（理）（2003年湖北省荆州市高中毕业班质量检查题）函数y=f（x）的图象与y=2x的图象关于直线y=x对称，则函数y=f（4xx2）的递增区间是_.解析：先求y=2x的反函数，为y=log2x，f（x）=log2x，f（4xx2）=log2（4xx2）.令u=4xx2，则u0，即4xx20.x（0，4）.又u=x2+4x的对称轴为x=2，且对数的底为21，y=f（4xx2）的递增区间为（0，2）.答案：（0，2）5.讨论函数f（x）=（a）在（2，+）上的单调性.解：设x1、x2为区间（2，+）上的任
12、意两个值，且x1x2，则f（x1）f（x2）=.x1（2，+），x2（2，+）且x1x2，x2x10，x1+20，x2+20.当12a0，即a时，f（x1）f（x2），该函数为减函数；当12a0，即a时，f（x1）f（x2），该函数为增函数.培养能力6.已知函数f（x）=m（x+）的图象与函数h（x）=（x+）+2的图象关于点A（0，1）对称.（1）求m的值；（2）若g（x）=f（x）+在区间（0，2上为减函数，求实数a的取值范围.解：（1）设P（x，y）为函数h（x）图象上一点，点P关于A的对称点为Q（x，y），则有x=x，且y=2y.点Q（x，y）在f（x）=m（x+）上，y=m（x+）.
13、将x、y代入，得2y=m（x）.整理，得y=m（x+）+2.m=.（2）g（x）=（x+），设x1、x2（0，2，且x1x2，则g（x1）g（x2）=（x1x2）0对一切x1、x2（0，2恒成立.x1x2（1+a）0对一切x1、x2（0，2恒成立.由1+ax1x24，得a3.7.已知函数f（x）=|xa|，g（x）=x2+2ax+1（a为正常数），且函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等.（1）求a的值；（2）求函数f（x）+g（x）的单调递增区间；（3）若n为正整数，证明10f（n）（）g（n）4.（1）解：由题意，f（0）=g（0），|a|=1，又a0，所以a=1.（2）解：f（x
14、）+g（x）=|x1|+x2+2x+1.当x1时，f（x）+g（x）=x2+3x，它在1，+）上单调递增；当x1时，f（x）+g（x）=x2+x+2，它在，1）上单调递增.（3）证明：设cn=10f（n）（）g（n），考查数列cn的变化规律：解不等式1，由cn0，上式化为10（）2n+31，解得n3.7.因nN*，得n4，于是c1c2c3c4.而c4c5c6，所以10f（n）（）g（n）10f（4）（）g（4）=103（）254.探究创新8.设aR，函数f（x）=（ax2+a+1），其中e是自然对数的底数.（1）判断f（x）在R上的单调性；（2）当1a0时，求f（x）在1，2上的最小值.解：（
15、1）由已知（x）=ex（ax2+a+1）+ex2ax=ex（ax2+2axa1）.因为ex0，以下讨论函数g（x）=ax2+2axa1值的情况：当a=0时，g（x）=10，即（x）0，所以f（x）在R上是减函数.当a0时，g（x）=0的判别式=4a24（a2+a）=4a0，所以g（x）0，即（x）0，所以f（x）在R上是减函数.当a0时，g（x）=0有两个根x1，2=，并且，所以在区间（，）上，g（x）0，即（x）0，f（x）在此区间上是增函数；在区间（，）上，g（x）0，即（x）0，f（x）在此区间上是减函数.在区间（，+）上，g（x）0，即（x）0，f（x）在此区间上是增函数.综上，当a0
16、时，f（x）在R上是减函数；当a0时，f（x）在（，）上单调递增，在（，）上单调递减，在（，+）上单调递增.（2）当1a0时，=1+1，=1+2，所以在区间1，2上，函数f（x）单调递减.所以函数f（x）在区间1，2上的最小值为f（2）=.评述：函数的最值和函数的单调性有紧密联系.判断较复杂函数的单调性，利用导函数的符号是基本方法.思悟小结1.函数的单调性是对于函数定义域内的某个子区间而言的.有些函数在整个定义域内是单调的，如一次函数；而有些函数在定义域内的部分区间上是增函数而在另一部分区间上可能是减函数，如二次函数；还有的函数是非单调的，如y=2.函数单调性定义中的x1、x2有三个特征：一是
17、同属一个单调区间；二是任意性，即x1、x2是给定区间上的任意两个值，“任意”二字绝不能丢掉，更不可随意以两个特殊值替换；三是有大小，通常规定x1x2.三者缺一不可.3.在解决与函数单调性有关的问题时，通常有定义法、图象法、复合函数判断法，但最基本的方法是定义法，几乎所有的与单调性有关的问题都可用定义法来解决.4.讨论函数的单调性必须在定义域内进行.教师下载中心教学点睛1.本节的重点是函数单调性的有关概念，难点是利用概念证明或判断函数的单调性.复习本节时，老师最好引导学生总结出证明函数单调性的一般步骤：1设值；2作差；3变形；4定号；5结论.2.教学过程中应要求学生准确理解、把握单调性定义中“任
18、意”的含意，函数单调性的重要作用在于化归，要重视运用函数的单调性将问题化归转化，培养化归意识.3.讨论复合函数单调性的根据：设y=f（u），u=g（x），xa，b，um，n都是单调函数，则y=fg（x）在a，b上也是单调函数.（1）若y=f（u）是m，n上的增函数，则y=fg（x）与u=g（x）的增减性相同；（2）若y=f（u）是m，n上的减函数，则y=fg（x）的增减性与u=g（x）的增减性相反.拓展题例【例1】 设函数f（x）（ab0），求f（x）的单调区间，并证明f（x）在其单调区间上的单调性.解：函数f（x）的定义域为（，b）（b，），任取x1、x2（，b）且x1x2，则f（x1）f（
19、x2）.ab0，x2x10，（x1b）（x2b）0，f（x1）f（x2）0，即f（x）在（，b）上是减函数.同理可证f（x）在（b，）上也是减函数.函数f（x）=在（，b）与（b，）上均为减函数.【例2】 已知f（x）是定义在1，1上的奇函数，且f（1）=1，若a、b1，1，a+b0时，有0.判断函数f（x）在1，1上是增函数还是减函数，并证明你的结论.解：任取x1、x21，1，且x1x2，则x21，1.又f（x）是奇函数，于是f（x1）f（x2）=f（x1）+f（x2）=（x1x2）.据已知0，x1x20，f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2）.f（x）在1，1上是增函数.- 8 - 版权所有高考资源网