1、第9章 第6节一、选择题1(2010湖南文)设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A4 B6C8 D12答案B解析本题考查抛物线的定义由抛物线的定义可知，点P到抛物线焦点的距离是426.2(2010陕西理)已知抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x70相切，则p的值为()A. B1C2 D4答案C解析抛物线y22px(p0)的准线方程为x.又圆x2y26x70，即(x3)2y216.则1，p2.3过抛物线y24x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A有且仅有一条 B有且仅有两条C有无穷多条 D不存在答案B
2、解析设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB与x轴垂直时，x1x22，与y轴垂直时，只一个交点，故AB不与两轴垂直，设过焦点F(1,0)的直线l：yk(x1)，则k0.由消去y得，k2x2(2k24)xk20，x1x25，解得k.4(2009天津理)设抛物线y22x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|2，则BCF与ACF的面积之比()A. B.C. D.答案A解析本小题主要考查抛物线的定义，直线与抛物线的关系等设A(x1，y1)，B(x2，y2)，|BF|2，x22，x2，B(，)，(取y20)又AB过M(，0)点，AB所在直线方程为y2
3、(2)(x)代入y22x得x12，又C点横坐标为.故选A.5(2009全国理)已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A、B两点，F为C的焦点若|FA|2|FB|，则k()A. B.C. D.答案D解析本题考查抛物线的定义，以及分析问题解决问题的能力、运算能力设A、B两点坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，由，消去y得k2x24x(k22)4k20，x1x2，x1x24.由抛物线定义得|AF|x12，|BF|x22，又|AF|2|BF|，x122x24，x12x22代入x1x24，得x22x220，x21或2(舍去)，x14，5，k2，k0，k.6(2008宁夏、海南)已知
4、点P在抛物线y24x上，那么点P到点Q(2，1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为()A. B.C(1,2) D(1，2)答案A解析如图，求|PQ|PF|的最小值即求|PA|PQ|的最小值(PAl)，当A、P、Q三点共线时，|PA|PQ|最小，此时P，故选A.7抛物线y24x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是()A4 B3C4 D8答案C解析如图所示，抛物线方程为y24x，F(1,0)，F1(1,0)，根据抛物线的定义，AKAF，又AFx60，AKF是等边三角形，由F作FMAK于M，则有MK2，
5、等边三角形边长为4，SAKF424.8对于任意nN*，抛物线y(n2n)x2(2n1)x1与x轴交于An、Bn两点，以|AnBn|表示该两点的距离，则|A1B1|A2B2|A2012B2012|的值是()A. B.C. D.答案C解析设An(xn,0)，Bn(xn,0)，则xnxn，xnxn，|AnBn|xnxn|，|A1B1|A2B2|AnBn|1，当n2012时，结果为.点评由条件知An、Bn的横坐标x1、x2是方程(n2n)x2(2n1)x10的两根，x1，x2，|x1x2|.二、填空题9(2010重庆理)已知以F为焦点的抛物线y24x上的两点A、B满足3，则弦AB的中点到准线的距离为_
6、答案解析如右图，设|m，|n，由得1，即1，n，AB中点到准线的距离d.10已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米，当水面升高1米后，水面宽度是_米答案4解析设抛物线拱桥的方程为x22py，当顶点距水面2米时，量得水面宽8米，即抛物线过点(4，2)代入方程得164pp4，则抛物线方程是x28y，水面升高1米时，即y1时，x2则水面宽为4米11设P是抛物线yx2上的点，若P点到直线2xy40的距离最小，则P点的坐标为_答案(1,1)解析解法1设P点坐标为(x0，x02)，由点到直线的距离公式得d|x022x04|(x01)23|.由上式可知当x01时，dmin.点P的坐标为(1,1
7、)解法2如图，平移2xy40这条直线至过点P与抛物线相切，则P点到直线的距离最短设P(x0，y0)，y2x.过P点的切线斜率ky|xx02x02.x01，y0x021，故P点坐标为(1,1)三、解答题12(2011东北三校调研)点M(5,3)到抛物线yax2的准线的距离为6，试求抛物线的方程解析当抛物线开口向上时，准线为y，点M到它的距离为36，a，抛物线的方程为yx2.当抛物线开口向下时，准线为y，M到它的距离为36，a，抛物线的方程为yx2.综上可知抛物线的方程为yx2或yx2.13P是抛物线y24x上的一个动点(1)求点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值；(2)若
8、B(3,2)，求|PB|PF|的最小值解析(1)抛物线焦点为F(1,0)，准线方程为x1.P点到准线x1的距离等于P到F(1,0)的距离，问题转化为：在曲线上求一点P，使P到A(1,1)的距离与P到F(1,0)的距离之和最小显然P是AF的连线与抛物线的交点，最小值为|AF|.即：所求距离的最小值为.(2)|PF|与P点到准线的距离相等，如图，过B作BQ准线于Q点，交抛物线于P1点|P1Q|P1F|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4.|PB|PF|的最小值为4.14(2010福建文)已知抛物线C：y22px(p0)过点A(1，2)(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA
9、(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由解析本小题主要考查直线，抛物线等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查函数与方程思想，数形结合思想，化归与转化思想、分类与整合思想(1)将(1，2)代入y22px，得(2)22p1，所以p2.故所求的抛物线C的方程为y24x，其准线方程为x1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y2xt由得y22y2t0因为直线l与抛物线C有公共点，所以48t0，解得t.另一方面，由直线OA与l的距离d，可得，解得t1.综上知：t1.所以符合题意的直线l存在，其方程为2xy
10、10.15设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且2，.(1)当点P在y轴上运动时，求N点的轨迹C的方程；(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)是曲线C上的三点，且|、|、|成等差数列，当AD的垂直平分线与x轴交于E(3,0)时，求B点的坐标解析(1)2，故P为MN中点又，P在y轴上，F为(1,0)，故M在x轴的负半轴上，设N(x，y)，则M(x,0)，P，(x0)，又，x0，y24x(x0)是轨迹C的方程(2)抛物线C的准线方程是x1，由抛物线定义知|x11，|x21，|x31|、|、|成等差数列，x11x312(x21)，x1x32x2又y124x1，y224x2，y324x3，故y12y32(y1y3)(y1y3)4(x1x3)，kAD，AD的中垂线为y(x3)AD中点在其中垂线上，.x21.由y224x2.y22.B点的坐标为(1,2)或(1，2)