1、陕西省汉中市2019-2020学年高二数学上学期期中试题 文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求集合，然后求.【详解】因为，所以，选B.【点睛】本题考查了集合的交集.2.命题“存在，的否定是（ ）A. 不存在，B. 存，C. 对任意的，D. 对任意的，【答案】D【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题的有关知识，选出正确选项.【详解】原命题是特称命题，其否定是全称命题，主要到要否定结论，故只有D选项符合.故选：D.【点睛】本小题主要考查全
2、称命题与特称命题，考查特称命题的否定，属于基础题.3.小明出国旅游，当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是()A. B. C. -D. -【答案】B【解析】【分析】由于是晚一个小时，所以是逆时针方向旋转，时针旋转过程中形成的角的弧度数为【详解】由题意小明需要把表调慢一个小时，所以时针逆时针旋转弧度.故选B.【点睛】本题考查了弧度数的方向与计算，属于基础题4.平面向量与的夹角为60，且，则（ ）A. B. C. 19D. 【答案】B【解析】【分析】利用平方再开方的方法化简所求表达式，结合向量数量积的运算求得所求表达式的值.【详解】依题意.故选：B.【点睛】本小题
3、主要考查平面向量模的求法，考查平面向量数量积的运算，属于基础题.5.已知，则，的大小关系为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据的单调性判断的大小关系，由判断出三者的大小关系.【详解】由，则.故选C.【点睛】本小题主要考查对数运算，考查对数函数的单调性，考查对数式比较大小，属于基础题.6.函数零点所在区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用零点存在性定理计算，由此求得函数零点所在区间.【详解】依题意可知在上为增函数，且，所以函数零点在区间.故选：C.【点睛】本小题主要考查零点存在性定理的运用，属于基础题.7.甲、乙两班在我校举行“勿忘国耻，振兴中华
4、”合唱比赛中，7位评委的评分情况如茎叶图所示，其中甲班成绩的中位数是81，乙班成绩的平均数是86，若正实数a、b满足：a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则的最小值为（ ）A. B. 2C. 8D. 【答案】D【解析】【分析】根据题目所给中位数和平均数，求得的值，根据等差中项和等比中项的性质求得的关系式，进而利用基本不等式求得所求表达式的最小值.【详解】由于甲班成绩的中位数是，乙班成绩的平均数是，结合茎叶图可知，解得.由于正实数a、b满足：a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，所以，即.所以.故选：D.【点睛】本小题主要考查茎叶图的识别，考查平均数、中位数的概念，考查等差中项、等
5、比中项的性质，考查利用基本不等式求最值的方法，属于中档题.8.函数图像的大致形状是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，然后利用特殊点的函数值对图像进行排除，由此得出正确选项.【详解】由于函数的定义域为，所以函数为偶函数，图像关于轴对称，故排除D选项.而，排除C选项，由于，所以，而，由此排除A选项.故选：B.【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性，属于基础题.9.设椭圆的上焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出抛物线的焦点得到椭圆中的c2，再根据离心率为，求出a4，进
6、而得到b的值即可得到结论【详解】因为抛物线4x2y，即x2y，的焦点为：（0，），由题得：椭圆的上焦点为（0，），即c又因为离心率为，所以：a，b椭圆方程为故选：D【点睛】本题主要考查椭圆和抛物线的基本性质，注意抛物线的方程的标准形式及焦点位置，避免错选A10.2021年某省新高考将实行“”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件：“他选择政治和地理”，事件：“他选择化学和地理”，则事件与事件（ ）A. 是互斥事件，不是对立事件B. 是对立事件，不是互斥事件C. 既是互斥事件，也是对立事件D. 既不是互斥事件也不
7、是对立事件【答案】A【解析】【分析】事件与事件不能同时发生，是互斥事件，他还可以选择化学和政治，不是对立事件，得到答案.【详解】事件与事件不能同时发生，是互斥事件他还可以选择化学和政治，不是对立事件故答案选A【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件，意在考查学生对于互斥事件和对立事件的理解.11.圆柱的侧面展开图是一个面积为的正方形，该圆柱内有一个体积为V的球，则V的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据正方形的面积计算出圆柱的底面直径和高，由此求得圆柱内最大球的半径，进而求得体积.【详解】设圆柱的底面直径为，高为，则，解得.故圆柱的底面直径为，高为，所以圆柱内最大球
8、的直径为，半径为，其体积为.故选A.【点睛】本小题主要考查圆柱侧面展开图有关计算，考查圆柱内的最大球的体积的求法，属于基础题.12.已知锐角的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，三角形ABC的面积，则的取值范围为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】因为三角形为锐角三角形，所以过C做于D，D在边AB上，根据面积算出，再根据勾股定理表示出，由二次函数知识可求得【详解】因为三角形为锐角三角形，所以过C作于D，D在边AB上，如图：因为：，所以，在三角形ADC中，在三角形BDC中，设 结合二次函数的性质得到：故选：D【点睛】本题考查了三角函数的应用以及二次函数的值域，最值问题；题目难度
9、中等.这个题目考查了二元问题的应用，一般采用的是二元化一元.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13.不等式的解集为_.【答案】【解析】【分析】将不等式右边化为零，然后利用分式不等式的解法，求得不等式的解集.【详解】由得，即，解得.故答案为：.【点睛】本小题主要考查分式不等式的解法，属于基础题.14.已知数列中，则数列的通项公式是_.【答案】【解析】【分析】利用累积法求得数列的通项公式，【详解】依题意，当时，所以，当时上式也符合，故数列的通项公式是.故答案为：.【点睛】本小题主要考查累加法求数列通项公式，考查等差数列前项和公式，属于基础题.15.已知一组数1，2，m，6，7的平均
10、数为4，则这组数的方差为_.【答案】【解析】【分析】先根据平均数计算出的值，再根据方差的计算公式计算出这组数的方差.【详解】依题意.所以方差为.故答案为：.【点睛】本小题主要考查平均数和方差的有关计算，考查运算求解能力，属于基础题.16.已知函数，若存在实数，当时，则的取值范围是_【答案】【解析】所以，得则，令，得，又，则的取值范围为。点睛：分段函数及根的个数问题采用图象辅助解题是常用手段，通过画出函数图象，得到，则所求式子即关于的函数求值域问题，根据复合函数求值域的方法求出值域即可。三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知函数（I）求函数的最小正周期和对称中心坐标
11、；（II）讨论在区间上的单调性【答案】（），对称中心为；（）增区间；减区间【解析】分析】（）化简函数的解析式，利用三角函数的图象与性质，即可求解.（）由（1）可知，根据和三角函数的图象与性质，即可求解.【详解】（）由题意，函数，所以函数的最小正周期，令，即，即，解得所以函数的对称中心为.（）由（1）可知，令，解得，令，解得，又因为，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，以及三家函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数恒等变换的公式，以及三角函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18.已知是公差不为零的
12、等差数列，且，成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）设数列求数列的前n项和.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）根据等比中项的性质列方程，然后转化为的的形式，解方程求得的值，进而求得数列的通项公式.（2）利用裂项求和法、分组求和法求得数列的前n项和.【详解】（1）已知是公差不为零的等差数列，且，成等比数列所以，整理得，解得.故.（2）由于，所以，所以.【点睛】本小题主要考查等差数列基本量的计算，考查裂项求和法、分组求和法，考查运算求解能力，属于中档题.19.某大型企业为鼓励员工利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐为了解员工手机流量使用情况，通过抽样，得到100位员工每人手机月
13、平均使用流量L（单位：M)的数据，其频率分布直方图如图（1）从该企业的100位员工中随机抽取1人，求手机月平均使用流量不超过900M的概率；（2）据了解，某网络运营商推出两款流量套餐，详情如下：套餐名称月套餐费（单位：元）月套餐流量（单位：M）A20700B301000流量套餐的规则是：每月1日收取套餐费如果手机实际使用流量超出套餐流量，则需要购买流量叠加包，每一个叠加包（包含200M的流量）需要10元，可以多次购买，如果当月流量有剩余，将会被清零该企业准备订购其中一款流量套餐，每月为员工支付套餐费，以及购买流量叠加包所需月费用若以平均费用为决策依据，该企业订购哪一款套餐更经济？【答案】(1)
14、0.9；(2) 企业选择A套餐更经济【解析】分析】（1）首先根据频率分布直方图小长方形的面积和也即频率之和为列方程，由此求得的值.然后计算出流量不超过的概率.（2）分别计算选择套餐和套餐，每月使用流量的平均费用，由此确定该企业选择套餐更经济.【详解】（1）由题意知所以100位员工每人手机月平均使用流量不超过900M的概率为.（2）若该企业选择A套餐，则100位员工每人所需费用可能为20元，30元，40元，每月使用流量的平均费用为，若该企业选择B套餐，则100位员工每人所需费用可能为30元，40元，每月使用流量的平均费用为，所以该企业选择A套餐更经济【点睛】本小题主要考查频率分布直方图的知识运用
15、，考查利用频率分布直方图求解实际生活中的应用问题，属于基础题.20.如图，在四棱锥E-ABCD中，平面ABCD，（1）求证：平面BDE；（2）当几何体ABCE的体积等于时，求四棱锥E-ABCD的侧面积【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】【分析】（1）取的中点，连接，证得，结合平面，证得，由此证得平面.（2）首先根据三棱锥的体积公式结合等体积法，利用几何体的体积为列方程，解方程求得的长，进而计算的的长，证得三角形为直角三角形，由此计算出四棱锥的侧面积.【详解】（1）证明：取的中点，连接，四边形为矩形，则直角梯形中，即，又平面，平面，又平面,（2）由于平面，平面，所以平面平面，而，所以平面，
16、所以，解得，又，又，；而，所以，故三角形为直角三角形.所以四棱锥E-ABCD的侧面积为.【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积有关计算，考查四棱锥侧面积有关计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.21.已知，若动点满足，设线段的中点为（1）求点的轨迹方程；（2）设直线与点的轨迹交于不同的两点，且满足，求直线的方程.【答案】(1) ;(2) 或.【解析】试题分析：利用代入法求出点的轨迹方程；（2）联立直线与圆方程求得再根据题目条件联立即可求得直线方程。解析：(1)因为，且所以，化简得，即 设，由中点坐标公式得，即 将代入得：所以点的轨迹方程为. （2）由消去得整理得所以
17、由已知得所以即，即所以所以直线的方程为或即或. 点睛：遇到这样的条件时，要想到阿波罗尼斯圆，计算得到点的轨迹方程是圆，联立直线与圆的方程，然后求得两根之和与两根之积，来表示两根之差，从而计算出结果。22.已知函数，（1）若，判断在上的单调性，并用定义证明；（2）已知，存在，对任意，都有成立，求的取值范围【答案】(1) 减函数，证明见解析；(2) 【解析】【分析】（1）先求得的解析式，然后判断函数在递减，并利用单调性的定义，证明结论成立.（2）将原不等式等价转化为存在，使得，求得的取值范围，首先证得恒成立，然后对分成和两种情况分类讨论，结合求得的取值范围.【详解】（1），且，在上为减函数证明：任取、，且，即在上为减函数.（2），对任意，存在，使得成立，即存，使得，当，为增函数或常函数，此时，则有恒成立当时，当时，.故实数的取值范围是.【点睛】本小题主要考查利用单调性的定义证明函数的单调性，考查存在性问题和恒成立问题组合而成的不等式的求解策略，考查分类讨论的数学思想方法，综合性很强，属于难题.
