1、3三个正数的算术几何平均不等式考纲定位重难突破1.理解定理3、定理4，会用两个定理解决函数的最值或值域问题2.能运用三个正数的算术几何平均不等式解决简单的实际问题.重点：1.了解三个正数的算术几何平均不等式2.会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值难点：会用不等式解决实际中的应用问题.授课提示：对应学生用书第6页自主梳理一、三个正数的算术几何平均不等式1如果a，b，cR，那么a3b3c33abc，当且仅当abc时，等号成立2定理3：如果a，b，cR，那么，当且仅当abc时，等号成立即：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均二、基本不等式的推广对于n个正数a1，a2，an，它们的算术平均不小
2、于它们的几何平均，即，当且仅当a1a2an时，等号成立双基自测1已知a，b，c为正数，则有()A最小值3B最大值3C最小值2 D最大值2解析：a，b，cR，33，故选A.答案：A2已知a，b，c0，则()()_.解析：()()3369.当且仅当abc时取等号答案：93函数yx(x0)的最小值为_解析：x0，yx3，函数yx的最小值为.答案：授课提示：对应学生用书第6页探究一用平均不等式证明不等式例1设a，b，cR，求证：(abc).证明a，b，cR，(ab)(bc)(ca)30， 3 0，(abc).当且仅当abc时，等号成立三个正数的算术几何平均不等式定理，是根据不等式的意义、性质和比较法证
3、出的，因此，凡是可以利用该定理证明的不等式，一般都可以直接应用比较法证明，只是在具备条件时，直接应用该定理会更简便若不直接具备“一正、二定、三相等”的条件，要注意经过适当的恒等变形后再使用定理证明连续多次使用平均不等式定理时要注意前后等号成立的条件是否保持一致 1已知a，b，cR，证明：(abc)227.证明：因为a，b，cR，所以abc30.所以(abc)29.又30，所以(abc)23927.当且仅当abc时，等号成立所以(abc)227.探究二用平均不等式求最值例2(1)求函数y(x1)2(32x)(1x1)的最小值解析(1)1x0，x10，y(x1)2(32x)(x1)(x1)(32x
4、)()3()3，当且仅当x1x132x等号成立，即x(1，)时，ymax.(2)x1，x10，yx(x1)(x1)1314，当且仅当(x1)(x1)，即x3时等号成立，即ymin4.用平均不等式求最值的条件(1)利用三个正数的算术几何平均不等式求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”(2)应用平均不等式，要注意三个条件即“一正、二定、三相等”同时具备时，方可取得最值其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等(3)当不具备使用平均不等式的条件时，求函数的最值可考虑利用函数的单调性2已知x，yR且x2y4，试求xy的最小值及达到最小值
5、时x、y的值解析：x，yR且x2y4，xyxxy333，当且仅当y时等号成立又x2y4.当x2，y1时，xy取最小值3.探究三平均不等式的实际应用例3如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的由物理学可知，桌子边缘一点处的亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r的平方成反比，即Ek，这里k是一个和灯光强度有关的常数那么究竟应该怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮？解析r，Ek(0)，E2sin2 cos4 (2sin2 )cos2 cos2 3，当且仅当2si
6、n2 cos2 时取等号，即tan2 ，tan ，h2tan ，即h时，E最大灯的高度h为时，才能使桌子边缘处最亮1实际问题，应找到各变量之间的关系，建立适当的函数关系式，且根据题意注明自变量的取值范围如本例得到的关系式及范围2把问题转化为求函数的最值问题根据函数关系式的特点配凑成可以用平均不等式的形式如本例通过平方凑成和为定值3若符合条件“一正、二定、三相等”即可直接求解如本例三个条件均满足，故可求出灯的高度 3已知圆锥的底面半径为R，高为H，求圆锥的内接圆柱体的高h为何值时，圆柱的体积最大？并求出这个最大的体积解析：设圆柱体的底面半径为r，如图，由相似三角形的性质可得，r(Hh)V圆柱r2
7、h(Hh)2h(0h0时，求yx2的最小值解析x0，yx2x23 3 .当且仅当x2，即x时，ymin3.规律探究应用均值不等式求最值时，往往需要通过拆分构造定值条件，这时若需把其中一项拆分成两项时，需平均拆分，只有确定拆分的两项相等，才有可能使最后的等号成立，最值才能取到.随堂训练对应学生用书第8页1函数f(x)3x(x0)的最小值为()A8B9C10 D11解析：x0，f(x)xx3 9.当且仅当x，即x2时，f(x)min9.答案：B2已知x2y3z6，则2x4y8z的最小值为()A3 B2C12 D12解析：x2y3z6，2x4y8z33312，当且仅当x2y3z，即x2，y1，z时，等号成立答案：C3若ab0，则a的最小值为_解析：ab0，ab0.a(ab)b3 3，当且仅当，即时等号成立，当a2，b1时原式有最小值3.答案：34设三角形三边长为3,4,5，P是三角形内的一点，则P到这三角形三边距离乘积的最大值是_解析：设P到长度为3,4,5的三角形三边的距离分别是x，y，z，三角形的面积为S.则S(3x4y5z)，又324252，这个直角三角形的面积S346.3x4y5z2612.3 3x4y5z12.(xyz)max.当且仅当x，y1，z时等号成立答案：