1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心素养测评 三十七等差数列及其前n项和(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.若等差数列an的公差为d,则数列是()A.公差为d的等差数列B.公差为2d的等差数列C.公差为nd的等差数列D.非等差数列【解析】选B.数列其实就是a1,a3,a5,a7,奇数项组成的数列,它们之间相差2d.2.在等差数列an中,已知a2=2,前7项和S7=56,则公差d=()A.2B.3C.-2D.-3【解析】选B.由题意可得即解得【一题多解】选B.由等差数列的性质S7=7a
2、4=56,所以a4=8,因此d=3.3.(2020贵阳模拟)设等差数列an的前n项和为Sn,若a6=2a3,则=()A.B.C.D.【解析】选D.=.4.(2020济南模拟)已知等差数列an的公差d为4,项数为偶数,所有奇数项的和为15,所有偶数项的和为55,则这个数列的项数为()A.10B.20C.30D.40【解析】选B.设等差数列an的项数为n,前n项和为Sn,则S偶-S奇=d=2n=40,n=20,即这个数列的项数为20.5.已知等差数列an的前n项和为Sn,若S130,则在数列中绝对值最小的项为()A.第5项B.第6项C.第7项D.第8项【解析】选C.根据等差数列an的前n项和公式S
3、n=,因为所以由得所以数列an中绝对值最小的项为第7项.【变式备选】 (2019北京高考)设等差数列an的前n项和为Sn,若a2=-3,S5=-10,则a5=_,Sn的最小值为_.【解析】设公差为d,a2=a1+d=-3,S5=5a1+d=-10,即a1+2d=-2,解得a1=-4,d=1,所以a5=a1+4d=0,Sn=na1+d=,当n=4或5时,Sn最小,为-10.答案:0-10二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知等差数列an的前n项和为Sn,且满足-=1,则数列an的公差是_.【解析】设等差数列an的公差为d,因为-=1,所以2-3=6,所以6a1+6d-6a1-3d=6,所以d
4、=2.答案:27.(2019全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和,a10,a2=3a1,则=_.世纪金榜导学号【解析】设该等差数列的公差为d,因为a2=3a1,所以a1+d=3a1,故d=2a1(a10,d0),所以=4.答案:48.已知an,bn都是等差数列,若a1+b10=9,a3+b8=15,则a5+b6=_.世纪金榜导学号【解析】因为an,bn都是等差数列,所以2a3=a1+a5,2b8=b10+b6,所以2(a3+b8)=(a1+b10)+(a5+b6),即215=9+(a5+b6),解得a5+b6=21.答案:21三、解答题(每小题10分,共20分)9.在等差数列an中,a1=1
5、,a3=-3.世纪金榜导学号(1)求数列an的通项公式;(2)若数列an的前k项和Sk=-35,求k的值.【解析】(1)设等差数列an的公差为d,则an=a1+(n-1)d.由a1=1,a3=-3可得1+2d=-3,解得d=-2,从而an=1+(n-1)(-2)=3-2n.(2)由(1)可知an=3-2n.所以Sn=2n-n2.由Sk=-35可得2k-k2=-35,即k2-2k-35=0,解得k=7或k=-5.又kN*,故k=7.10.设an为等差数列,Sn为数列an的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列的前n项和,求Tn.世纪金榜导学号【解析】设等差数列an的公差为d,则Sn=n
6、a1+n(n-1)d.因为S7=7,S15=75,所以即解得a1=-2,d=1.所以=a1+(n-1)d=-2+(n-1),因为-=,所以数列是等差数列,其首项为-2,公差为,所以Tn=n2-n.(15分钟35分)1.(5分)现给出以下几个数列:2,4,6,8,2(n-1),2n;1,1,2,3,n;常数列a,a,a,a;在数列an中,已知a2-a1=2,a3-a2=2.其中一定是等差数列的个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由4-2=6-4=2n-2(n-1)=2得数列2,4,6,8,2(n-1),2n为等差数列;因为1-1=02-1=1,所以数列1,1,2,3,n不是等差数列;
7、常数列a,a,a,a为等差数列;当数列an仅有3项时,数列an是等差数列,当数列an的项数超过3项时,数列an不一定是等差数列,故一定是等差数列的个数为2.2.(5分)(2020潍坊模拟)已知数列是等差数列,Sn是其前n项的和,则下列命题中真命题是()A.若a5a3,则a80B.若a5a3,则S80C.若S5S3,则S80D.若S5S3,则a80【解析】选C.令等差数列的公差d=1,a1=-12,对A选项,a5=-8a3=-10,而a8=-50,故A错误;对B选项,因为a1=-120,a8=-50,所以S8=0,a8=-20,所以S8=0.【变式备选】 已知等差数列an的前9项和为27,a10
8、=8,则a100=()A.100B.99C.98D.97【解析】选C.设an的公差为d,由等差数列前n项和公式及通项公式,得解得an=a1+(n-1)d=n-2,所以a100=100-2=98.3.(5分)(2020佛山模拟)在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a,b,c成等差数列,则角B的取值范围是_.【解析】由a,b,c成等差数列,可得2b=a+c,又余弦定理cos B=cos,因为B(0,),且余弦函数在(0,)上为减函数,所以B.答案:【变式备选】 已知数列an中,a2=,a5=,且是等差数列,则a7=()A.B.C.D.【解析】选D.设等差数列的公差为d,则=+3d,
9、即=+3d,解得d=2,所以=+5d=12,解得a7=.4.(10分)已知数列an满足a1=2,n(an+1-n-1)=(n+1)(an+n)(nN*).世纪金榜导学号(1)求证数列是等差数列,并求其通项公式.(2)设bn=-15,求数列|bn|的前n项和Tn.【解析】(1)因为n(an+1-n-1)=(n+1)(an+n)(nN*).所以nan+1-(n+1)an=2n(n+1).所以-=2,所以数列是等差数列,其公差为2,首项为2,所以=2+2(n-1)=2n.(2)由(1)知an=2n2,所以bn=-15=2n-15,则数列bn的前n项和Sn=n2-14n.令bn=2n-150,解得n7
10、.5.所以当n7时,数列|bn|的前n项和Tn=-b1-b2-bn=-Sn=-n2+14n;当n8时,数列|bn|的前n项和Tn=-b1-b2-b7+b8+bn=-2S7+Sn=-2(72-147)+n2-14n=n2-14n+98.所以Tn=5.(10分)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an0,anan+1=Sn-1,其中为常数.世纪金榜导学号(1)求证:-an=.(2)是否存在,使得an为等差数列?并说明理由.【解析】(1)由题设,anan+1=Sn-1,知an+1=Sn+1-1.两式相减得,an+1(-an)=an+1.由于an+10,所以-an=.(2)存在.由a1=1,a1a
11、2=a1-1,可得a2=-1.由(1)知,a3=+1.令2a2=a1+a3,解得=4.故-an=4,由此可得,是首项为1,公差为4的等差数列,=1+(n-1)4=4n-3=2(2n-1)-1;是首项为3,公差为4的等差数列,=3+(n-1)4=4n-1=2(2n)-1.所以an=2n-1,an+1-an=2.所以数列an是首项为1,公差为2的等差数列.因此存在=4,使得an为等差数列.【拓广探索练】1.设Sn是等差数列an的前n项和,若=,则等于世纪金榜导学号()A.B.C. D.【解析】选A.据等差数列前n项和性质可知:S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9仍成等差数列.设S3=k(k0
12、),则S6=3k,S6-S3=2k,所以S9-S6=3k,S12-S9=4k,所以S9=S6+3k=6k,S12=S9+4k=10k,所以=.2.项数为n的数列a1,a2,a3,an的前k项和为Sk(k=1,2,3,n),定义为该项数列的“凯森和”,如果项数为99项的数列a1,a2,a3,a99的“凯森和”为1 000,那么项数为100的数列100,a1,a2,a3,a99的“凯森和”为世纪金榜导学号()A.991B.1 001C.1 090D.1 100【解析】选C.项数为99项的数列a1,a2,a3,a99的“凯森和”为1 000,所以=1 000,又100,a1,a2,a3,a99的“凯森和”为=100+=100+990=1 090.关闭Word文档返回原板块