1、高二本部实验班第二次检测一、单选题1.给出下列说法：命题“若 ，则 ”的否命题是假命题；命题 ，使 ，则 ；“ ”是“函数 为偶函数”的充要条件；命题 “ ，使 ”，命题 “在 中，若 ，则 ”，那么命题 为真命题.其中正确的个数是（ ）A、B、C、D、答案C解析项，命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”因为 ，所以否命题是假命题，项正确；项，命题 ，使 ，含有一个量词的否定在否定结论的同时，要改变量词的属性，存在量词改为全称量词，则 ，项正确；项，充分性：当 时，函数 为偶函数，充分性成立；必要性：若函数 为偶函数，可得 ，必要性不成立，项错误；项，命题 “ ，使 ”，因为 ，所以当 时
2、，即命题 为假命题；命题 “在 中，若 ，则 ”，根据正弦定理可知 ，则 ，即 ，所以 为真命题，则命题 为真命题，项正确.2.用数学归纳法证明“ 能被 整除”的第二步中，当 时，为了使用假设，应将 变形为（ ）A、B、C、D、答案B解析假设 时命题成立，即： 被 整除，当 时， 为： 故答案选B.3.若直线 的参数方程为 （ 为参数），则直线 倾斜角的余弦值为（ ）A、B、C、D、答案B解析把直线 的参数方程为化成普通方程为 ，所以直线 的倾斜角正切为 ，其余弦值为 ，应选B.4.在极坐标系中，曲线 与极轴交于 两点，则 两点间的距离等于（ ）A、B、C、D、答案B解析化极坐标方程为直角坐标
3、方程得 ，易知此曲线是圆心坐标为 ，半径为 的圆，计算可得 5.方程 的曲线不经过极点，则 的取值范围是（ ）A、B、C、D、答案C解析当 时， ，若此方程无解，由 ，所以当 时，方程无解.6.已知抛物线 上的点 到焦点 的距离为 ，则 的面积为（ ）A、B、C、D、答案B解析由 ，可得 ，焦点 ，因点 到焦点 的距离为 ，故 点的纵坐标为 ，可知 点的坐标为 或 ，所以 .7.设 分别是椭圆 ： 的左右焦点，点 在椭圆 上，线段 的中点在 轴上，若 ，则椭圆的离心率为（ ）A、B、C、D、答案A解析因为点 在椭圆 上，线段 的中点在 轴上，所以 ，因为 ，所以 ，因为 ，所以 .8.直线 绕
4、原点逆时针方向旋转 后与双曲线 ： 的一条渐近线重合，则双曲线 的离心率为（ ）A、B、C、D、答案C解析直线 绕原点逆时针方向旋转 后得直线 ，所以 ，双曲线 的离心率 .9.函数 ，则 的最大值是（ ）A、B、C、D、答案A解析因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号.10.已知 ，则 的正负情况是（ ）A、大于零B、大于等于零C、小于零D、小于等于零答案B解析设 ，所以 ，根据排序不等式，又 ，又 ， ，所以 .所以 ，即 .11.过双曲线 的右焦点 作其渐近线 的垂线，垂足为点 若 （ 为坐标原点），则该双曲线的标准方程为（ ）A、B、C、D、答案C解析由题意，得 解得所以双曲线 的标准方程
5、为 .12.曲线 上的一点 到直线 的距离的取值范围为（ ）A、B、C、D、答案D解析由 ，得 ，可知曲线 为椭圆在 轴上方的部分（包括左、右顶点），作出曲线 的大致图象如图所示，当点 取左顶点时，所求距离最大，且最大距离为 ，当直线 平移至与半椭圆相切时，切点 到直线 的距离最小，设切线方程为 ，联立方程得 ，消去 ，得 ，由 ，得 ，所以 ，由图可知 ，所以最小值为 ，故所求的取值范围为 .13.在平面直角坐标系中， 为原点， ， ， ，动点 满足 ，则 的取值范围是（ ）A、B、C、D、答案D解析设 ，因为 ，即 两点间的距离为 ，又 ，利用两点间的距离公式可得 ，即 在以 为圆心， 为
6、半径的圆上，可设圆的参数方程为 ， ，所以 ， ；因为 ，所以原式 ，所以 的取值范围是 .14.已知双曲线 的焦点在 轴上，离心率为，点 是抛物线 上的动点， 到双曲线 的上焦点 的距离与到直线 的距离之和的最小值为 ，则该双曲线的方程为（ ）A、B、C、D、答案B解析设 为抛物线 的焦点，则 ，抛物线 准线方程为 ，因此 到双曲线 上的焦点 的距离与到直线 的距离之和等于 ，因为 ，所以 ，即 ， ，又， ， ，即双曲线的方程为 .15.已知定义在 上的函数 满足 ，且 时， 上恒成立，则不等式 的解集为（ ）A、B、C、D、答案B解析由题得 ，令 ，则 为偶函数， 时， ，则 ，则 递增
7、，由 得： ，即 ，则 ，所以 .16.若函数 恰有两个极值点，则实数 的取值范围为（ ）A、B、C、D、答案D解析由题意，函数的定义域为 ， 在 上有两个不相等的实数根，所以 在 上有两个不相等的实数根，令 ，则 ，所以函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，其图象如图所示，要是 在 上有两个不相等的实数根，则 ，即 ， ，所以实数 的取值范围是 .二、填空题17.平面直角坐标系中，若点 经过伸缩变换 后的点为 ，则极坐标系中，极坐标为 的点到极轴所在直线的距离等于 答案解析点 经过伸缩变换 后的点为 ，极坐标系中，极坐标为 的点到极轴所在直线的距离等于 18.已知函数 ，若对任意的 ，
8、都成立，则 的取值范围为 .答案解析函数 ，函数 的最小值为 . 都成立，根据绝对值的几何意义得出 ，即 .19.平面直角坐标系 中，点 在曲线 ： （ 为参数， ）上，以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，若点 的极坐标分别为 ， ，且点 都在曲线 上，则 .答案解析曲线 ： （ 为参数， ）的普通方程为 ，由点 在曲线 上，得 ，所以 ，由 ， ，得到椭圆的极坐标方程为 ，即 ，得 ，依题意，得 .20.已知正实数 满足 ， ，则实数 的取值范围是 .答案解析解法一：由 得 ，由 得 ，即 ，由均值不等式 ，所以 ，即 .解法二：由 ，可将 视为方程 的两个正根，故 ，解得 .解法
9、三：由 ，且 ，设 ， ，所以 ，所以 .三、解答题21.在平面直角坐标系中，已知曲线 ： （ 为参数）和定点 ， 是曲线 的左、右焦点，以原点 为极点，以 轴的非负半轴为极轴且取相同单位长度建立极坐标系.(1)求直线 的极坐标方程；答案曲线 ： （ 为参数），可化为 ，焦点为 和 经过 和 的直线方程为 ，即 又 ， ，所以直线 的极坐标方程为 ，即 .解析无(2)经过点 且与直线 垂直的直线 交曲线 于 两点，求 的值.答案由小问1知，直线 的斜率为 ，因为 ，所以直线 的斜率为 ，即倾斜角为 ，所以直线 的参数方程为 （ 为参数），代入曲线 的方程，得 ，即 ， 因为点 在点 的两侧，所
10、以 .解析无22.已知函数 .(1)当 ， 时，求不等式 的解集；答案不等式 等价于 ，则当 时， ，解得 ；当 时， ，即 ，不等式无解；当 时， ，解得 ，综上所述，不等式 的解集为 .解析无(2)若 ， 的最小值为 ，求证： .答案因为 ，所以 ，所以 ， ，则 ，因为 ，所以 ，当且仅当 时等号成立.解析无23.已知函数 .(1)解不等式 ；答案当 时， ，即 ，无解；当 时， ，即 ，得 ；当 时， ，即 ，得 .故所求不等式的解集为 .解析无(2)若函数 最小值为 ，且 ，求 的最小值.答案因为 ，所以 ，则 ， .当且仅当 ，即 时取等号，故 的最小值为 .解析无24.已知函数 .(1)讨论 的单调性；答案函数 的定义域为 ， .在 上， ，在 上， . 在 上单调递增，在 上单调递减.解析无(2)证明： （ ，且 ）.答案由小问1知 ， ，即 ，当且仅当 时取等号.从而 ， ， ， ， ， ， .解析无