1、高考资源网（） 您身边的高考专家第3课时 角度的测量一、课前准备（一）课时目标 1.能够运用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些有关角度的实际问题.2.了解常用的测量相关术语。3.通过例题讲解和实践提高分析问题、解决问题的能力。（二）基础预探 1.正弦定理(用数学式子表示): .2.正弦定理的变形 ， . , . , , . ： ： .(为的外接圆半径)余弦定理: ; ; .4.余弦定理的推论:= ; = ; = .二、基本知识习题化1.在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，如果ca，B30，那么角C等于 ( )A120 B105 C90 D752已知两座灯塔A和B与海洋观测站C
2、的距离相等,灯塔A在观测站C的北偏东,灯塔B在观测站C的南偏东,则灯塔A在灯塔B的( )A北偏东 B北偏西 C南偏东 D南偏西3. 在某次测量中,在A处测得同一方向的B点的仰角为,C点的俯角为,则( )A B C D4甲船在A处观察到乙船在它的北偏东方向的B处,两船相距a海里,乙船向正北方向行驶,若甲船的速度是乙船速度的倍,则甲船应沿 方向前进才能尽快追上乙船.三、学习引领1、实际应用题中的有关名词术语要理解清楚2、与解斜三角形有关的公式（1）正弦定理和余弦定理 (2)两角和与差的正弦余弦正切公式,二倍角公式等.(3) 在中，A+B+C=, ,.3、解斜三角形应用题的步骤(1)准确理解题意,分
3、清已知和所求,准确理解应用题中的有关术语,如坡度,仰角,俯角,视角,象限角,方位角,方向角等;(2)根据题意画出示意图;(3)将要求解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理的运用正弦定理余弦定理等有关知识建立数学模型,然后正确求解.四、典例导析例1某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？思路导析:根据条件和图形可以知道一角和一边,而其它边可以用x来表示,那么就可以利用余弦定理得出关于x的方程进行求解.解:如图，设该巡
4、逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x, AB=14x,AC=9,ACB=75+45=120,则由余弦定理，可得(14x)2=92+(10x)2-2910xcos120,化简得32x2-30x-27=0，即x=或x=- (舍去). 所以BC = 10x =15,AB =14x =21.又因为sinBAC =,BAC=3813,或BAC=14147（钝角不合题意，舍去）.3813+45=8313.答：巡逻艇应该沿北偏东8313方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.规律总结：通过此例题可使学生明确，利用余弦定理求解时要知道两种类型:三边求角和已知两边和一角求其它量. 例2如
5、图，海中小岛A周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30，航行30海里到C处，在C处测得小岛A在船的南偏东45，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？思路导析:船有无触礁危险的关键是判断点A到直线BC的距离与38的大小关系.在ABC中,由条件可以明确已知量即三个角的大小和一边BC的长,利用正弦定理即可求出AC边的长,进而求出点A到直线BC的距离.解：在ABC中，BC=30，B=30，ACB=180-45=135,A=15.由正弦定理知,.A到BC所在直线的距离为ACsin45=（15+15）=15（+1）40.9838（海里），不改变航向，继续向南航行，无
6、触礁的危险答：不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险规律总结：根据题中所给信息，明确三角形中知道哪些量，要求的是那个量,利用正弦定理从而使得问题得以求解。五、随堂练习1. 三角形的三边之比为,则其最大角为( )A B C D2.在ABC中，A60，a4，b4，则B等于 ()A45或135 B135 C45 D以上答案都不对3. 在中,已知,则内角C等于( )A B C D4. 在ABC中，b=4asinB,则A=_ . 5. 在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2c2b2)tanBac，则角B的值为 .6. 如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘
7、渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，设乙船按方位角为的方向沿直线前往B处救援，求sin 的值六、课后作业1在中，若，则等于（ ）A. B. C. D. 2.在静水中划船的速度是每分钟40m,水流的速度是每分钟20m,如果船从岸边A处出发,沿着与水流垂直的航线到达对岸,那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为( )A B C D3. 在锐角中，则的值等于_ ，的取值范围为_。 4.太阳光斜照地面,光线与水平面所成的角为,一根定长为l的杆与地面所成的角为 时,其影子最长.5. 在ABC中，已知AB，cos B，AC上的中线
8、BD，求sin A的值6. 已知在中，解此三角形.第3课时答案：一、1 = 2 3;4.; .二、1. A 解析：ca，sinCsinAsin(18030C)sin(30C)(sinCcosC)，即sinCcosC.tanC.又C(0,180)，C120.2. B 解析:画出图形即可得到结果.3. D 解析:画出图像即可得出结果.4. 北偏东 解析:设两船在C处相遇,并设,由正弦定理,得,.五、1. B 解析:设a=3k,b=5k,c=7k,由余弦定理得.2. C 解析：由正弦定理得，sin Bb，且ba，B45.3. C 解析:由余弦定理变形可得.4. 或 解析：b=4asinB, sinB
9、 =4sinA sinB, sinA =,在ABC中,0A， sinA =，A=或.5. 或 解析:(a2c2b2)tanBac，tanB，即cosBtanBsinB.0B，角B的值为或.6. 解:在ABC中，AB=20，AC=10，BAC=120，由余弦定理知：BC2=AB2+AC2-2ABACcos 120=202+10222010=700.BC=10.由正弦定理得，sinACB=sinBAC=sin 120=,.cosACB=.sin =sin(ACB+30)=sinACBcos 30+cosACBsin 30=+=.六、1. D 解析：或 2. B 解析:设角为,则,3. 解析:设则，。由正弦定理得由锐角得，又，故，4. 解析:设杆与地面成角,影子长为x,则由正弦定理得:,当时,x取最大值,此时.5. 解:设E为BC的中点连接DE，则DEAB，且DEAB，设BEx.在BDE中利用余弦定理可得：BD2BE2ED22BEEDcosBED，5x22x，解得x1，x(舍去)故BC2，从而AC2AB2BC22ABBCcos B，即AC.又sin B，故，sin A.6. 解：由正弦定理得 ， 有两解，即或或由 得或 ，或，- 7 - 版权所有高考资源网
