1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心素养测评 五十九圆锥曲线中的探究性问题(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知椭圆E:+=1,设直线l:y=kx+1交椭圆E所得的弦长为L.则下列直线中,交椭圆E所得的弦长不可能等于L的是()A.mx+y+m=0B.mx+y-m=0C.mx-y-1=0D.mx-y-2=0【解析】选D.当直线l过点,取m=-1,直线l和选项A中的直线重合,故排除A;当直线l过点,取m=-1,直线l和选项B中的直线关于y轴对称,被椭圆E截得的弦长相同,故排除B;当k=
2、0时,取m=0,直线l和选项C中的直线关于x轴对称,被椭圆E截得的弦长相同,故排除C;直线l的斜率为k,且过点,选项D中的直线的斜率为m,且过点,这两条直线不关于x轴、y轴和原点对称,故被椭圆E所截得的弦长不可能相等.2.(2020菏泽模拟)已知过抛物线C:y2=4x焦点的直线交抛物线C于P,Q两点,交圆x2+y2-2x=0于M,N两点,其中P, M位于第一象限,则+的值不可能为()A.3B.4C.5D.6【解析】选A.可以作出如图所示的图形,由图可得,设=m,=n,则=m-1,=n-1,因为y2=4x,所以p=2,根据抛物线的常用结论,有+=1,所以=1,则m+n=mn,所以+=+=4m+n
3、-5,又因为(4m+n)1=(4m+n)=4+15+2,当且仅当n=2m=3时取等号,得4m+n9,所以4m+n-54,则+的值不可能为3.3.(2019株洲模拟)点F为椭圆+=1(ab0)的一个焦点,若椭圆上存在点A使AOF(O为坐标原点)为正三角形,则椭圆的离心率为()A.B.-1C.D.-1【解析】选B.由题意,可设椭圆的焦点坐标为(c,0),因为AOF为正三角形,则点在椭圆上,代入得+=1,即e2+=4,得e2=4-2,解得e=-1.4.在正四面体ABCD中,P,Q分别是棱AB,CD的中点,E,F分别是直线AB,CD上的动点,M是EF的中点,则能使点M的轨迹是圆的条件是()A.PE+Q
4、F=2B.PEQF=2C.PE=2QFD.PE2+QF2=2【解析】选D.如图:取BC、BD、AC、AD的中点为G,H,K,L,因为P,Q是定点,所以PQ的中点O为定点,由对称性可知,PQ、EF的中点在中截面GHLK上运动,因为=+=+,所以=,又在正四面体中,对棱垂直,所以PEQF,所以|+|2=+,所以4=|+|2=+.若点M的轨迹是以O为圆心的圆,则+为定值,只有D符合题意.二、填空题(每小题5分,共20分)5.已知点M(-1,0),N(1,0),若直线上存在点P,使得+=4,则称该直线为“A型直线”,给出下列直线:y=x+3;x=-2;y=2;y=-2x+3,其中为“A型直线”的是_.
5、【解析】由题意可知,点P的轨迹是以M,N为焦点的椭圆,其方程是+=1,把y=x+3代入椭圆方程并整理得,7x2+24x+24=0,因为0,无解,所以y=x+3不是“A型直线”;把x=-2代入椭圆方程,得y=0,故P(-2,0)成立,所以x=-2是“A型直线”;把y=2代入椭圆方程,得x2=-0,有解,所以y=-2x+3是“A型直线”,故填.答案:6.(2020沈阳模拟)已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点M,设M的坐标为,若l1l2,则下列结论序号正确的有_.+1,+1.【解析】F1,F2,因为l1l2,=0,所以+=0,即+=1,M在圆x2+y
6、2=1上,它在椭圆的内部,故+1,O在直线+=1的下方,故圆x2+y2=1在其下方,即+=1,故成立.答案:7.(2020北京模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点O(0,0),M(-4,0),N(4,0),P(0,-2),Q(0,2),H(4,2).线段OM上的动点A满足=;线段HN上的动点B满足=.直线PA与直线QB交于点L,设直线PA的斜率记为k,直线QB的斜率记为k,则kk的值为_;当变化时,动点L一定在_(填“圆、椭圆、双曲线、抛物线”之中的一个)上.世纪金榜导学号【解析】因为=;所以A(-4,0),又P(0,-2),所以k=-=-;因为=.所以B(4,2-2),所以k=-,所
7、以kk=,设L(x,y),则k=,k=,所以kk=,所以=,即-=1,即动点L一定在双曲线上.答案:双曲线8.古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著圆锥曲线论中有一个著名的几何问题:在平面上给定两点A(-a,0),B(a,0),动点P满足=(其中a和是正常数,且1),则P的轨迹是一个圆,这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”,该圆的半径为_.世纪金榜导学号【解析】设P(x,y),由动点P满足=(其中a和是正常数,且1),所以=,化简得x2+x+a2+y2=0,即+y2=-a2,所以该圆半径r=,故该圆的半径为.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2019德州模拟)已知椭圆C:+=1(ab0)的左右
8、焦点分别为F1,F2,离心率为,P是椭圆C上的一个动点,且PF1F2面积的最大值为.世纪金榜导学号(1)求椭圆C的方程.(2)设直线PF2斜率为k(k0),且PF2与椭圆C的另一个交点为Q,是否存在点T(0,t),使得|TP|=|TQ|.若存在,求t的取值范围;若不存在,请说明理由.【解析】(1)当P为C的短轴顶点时,PF1F2的面积有最大值,所以 ,解得 ,故椭圆C的方程为:+=1.(2)设直线PQ的方程为y=k(x-1),将y=k(x-1)代入+=1,得x2-8k2x+4k2-12=0;设P,Q,线段PQ的中点为N,x0=,y0=k=,即N,因为|TPTQ|,所以直线TN为线段PQ的垂直平
9、分线,所以TNPQ,则kTNkPQ=-1,即k=-1,所以t=,当k0时,因为4k+4(当且仅当k=时取等号),所以t,当kb0)的右焦点与抛物线E:y2=2px(p0)的焦点F重合,且点F到E的准线的距离为2.世纪金榜导学号(1)求椭圆C的方程.(2)若直线l与C交于M,N两点,与E交于A,B两点,且=-4(O为坐标原点),求MNF面积的最大值.【解析】(1)因为点F到E的准线的距离为2,所以p=2,F(1,0),由 解得 所以椭圆C的方程为+=1.(2)由(1)知抛物线E的方程为y2=4x. 要使直线l与抛物线E交于两点,则直线l的斜率不为0,可设l的方程为x=my+n,由 得y2-4my-4n=0 所以=(-4m)2+16n0,得m2+n0.设A,B 则 所以x1x2=n2,因为=-4,所以x1x2+y1y2=-4,所以n2-4n=-4,所以n=2, 所以直线l的方程为x=my+2,所以直线l过椭圆C的右顶点(2,0),不妨设M(2,0),N(x3,y3),-y3,且y30, 所以SMNF=|MF|y3|,当且仅当y3=时,(SMNF)max=.关闭Word文档返回原板块