1、湖南省新化一中2014-2015学年高二第四次阶段性测试试题理科数学命题：伍震斌 审题：卿梁松满分：150分 时量：120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的。请将你认为正确的选项填在答题卡的相应的位置上。）1、设集合，集合B是的定义域，则=（ ）DA. B. C. D. 【解析】，=。2、设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）BA. 2 B. 3 C. 4 D. 5【解析】画出可行域，如图所示解方程组得即点A(1，1)当目标函数线过可行域内A点时，目标函数有最小值，即zmin11213。3、如图，在平行六面
2、体中，为与的交点。若，则下列向量中与相等的向量是（ ）CA. B. C. D. 4、已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）AA. 3 B. 2 C. 1 D. 【解析】（）；令，解得。（另一根舍去） 5、设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且，则“”是“”的（ ）AA. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件6、为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）CA向右平移个单位 B向左平移个单位C向右平移个单位 D向左平移个单位【解析】 ，所以将函数的图像向右平移个单位可以得到函数ysin 3xcos 3x的图像，故选C。7、从
3、正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于（ ）DA B C D【解析】通过画树状图可知从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，以它们作为顶点的四边形共有15个，其中能构成矩形3个，所以是矩形的概率为。故选D。8、已知点P是双曲线（， ）的右支上一点，F1、F2为双曲线的左、右焦点，若（O为坐标原点），且PF1F2的面积为2ac（c为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为（ ）CD1ABCDA1C1B1PAB C D9、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（
4、 ）DA直线 B圆 C双曲线 D抛物线10、设S是整数集Z的非空子集，如果，有，则称S关于数的乘法是封闭的。若T,V是Z的两个不相交的非空子集，且，有；，有。则下列结论恒成立的是（ ）BA，中至多有一个关于乘法是封闭的B，中至少有一个关于乘法是封闭的C，中有且只有一个关于乘法是封闭的D，中每一个关于乘法都是封闭的【解析】举例以说明： ，符合条件，这种情况下，都关于乘法封闭； ，符合条件，这种情况下，关于乘法是封闭的，但关于数的乘法不封闭。由此可知，应选正确答案B。二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。）11、已知i为虚数单位，则复数的虚部为 。
5、【解析】因为，所以其虚部为。12、若执行如图所示的框图，输入，则输出的数等于 。【解析】由框图的算法功能可知，输出的数为三个数的方差，则。13、若的图象关于原点对称，则a= 。【解析】由的图象关于原点对称，知函数为奇函数，又因为，所以。14、已知抛物线上一点（）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A。若双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数等于 。【解析】，所以抛物线方程为，M的坐标为；又双曲线的左顶点为，渐近线为，ABCMP所以，由题设可得，解得。15、如图，在三棱锥P-ABC中，PA、PB、PC两两互相垂直，且，设M是底面ABC内一点，定义，其中分别是三棱锥M-PAB、三棱锥M-PBC、三棱
6、锥M-PCA的体积，若，且恒成立，则正实数的最小值为 。1【解析】首先，由题设可知；于是依的意义可得，即有；从而； （其中等号当且仅当即时成立。）因此由恒成立得，解之得。三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。16、（本题满分12分） 已知命题：关于的不等式对于一切恒成立，命题：函数是增函数。若为真，且为假，求实数的取值范围。【解析】设，由命题p为真，可知函数的图象开口向上且与轴没有公共点，故，解得； 3分若命题q为真，则有，即；5分由题设“为真，且为假”可知，命题p与命题q必定一真一假；7分（）若p为真q为假，则有，所以有； 9分（）若p为假q为真
7、，则有，所以有； 11分综上所述，所求实数a的取值范围为。 12分17、（本小题满分12分）已知函数=+（），且函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为。（1）求的值及的单调递增区间；（2）在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若，求角C。【解析】（1）首先，函数解析式可化为； 2分然后，由题设函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为可知函数的周期，而由函数解析式可得，所以； 4分因此，；由（）解得（），于是函数的单调递增区间为（）。 6分（2）由（1）的结果及题设，可得；而由是ABC的内角，可知，因此或； 8分1若，即，则由正弦定理得； 所以B=或B=； 当B=时，；当B=时，； 10分
8、2若，即，则由正弦定理得； 这显然与不符，舍去； 11分综上所述，所求角C的大小为或。 12分ADCBPE18、（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PC底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，AB=2AD=2CD=2，E是PB的中点。（1）求证：平面EAC平面PBC；（2）若二面角P-AC-E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值。【解析】（1）取AB中点F，连结CF.则由题设可知CFCD，又PC底面ABCD，ADCBPEFyxz所以，可以以C点为坐标原点，CF、CD、CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示。依题设，C(0,0,
9、0)， A(1,1,0)，B(1,-1,0)，若设CP=h，则P(0,0,h)，E；于是，由于，所以，；又，所以平面PBC；而平面EAC，故平面EAC平面PBC。 5分（2）由（1）平面PBC，得，所以就是二面角P-AC-E的平面角；在RtPCB中，所以，解得； 8分于是，设平面EAC的法向量为，则有，不妨取，则得，从而得到平面EAC的一个法向量为；10分因此，若设直线PA与平面EAC所成角的大小为，则。 即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为。 12分注：学生如用几何法或其他方法求解，可根据求解情况酌情给分。19、（本小题满分13分）设数列的前项n和为，若对于任意的正整数n都有。（1）设，求
10、证：数列是等比数列，并求出的通项公式。（2）求数列的前n项和。 【解析】（1）因为对于任意的正整数都成立，所以，两式相减，得，即，亦即； 3分于是（常数），且由令可求得，所以6（）， 从而数列是等比数列。 5分 又由，可知，所以。 7分（2）由（1）知，所以，两式相减，得 ；12分因此。 13分20、（本小题满分13分）已知椭圆（）的一个焦点F与抛物线的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，倾斜角为的直线过点F。 （）求该椭圆的方程； （）设椭圆的另一个焦点为，问抛物线上是否存在一点，使得与关于直线对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由。【解析】（1）抛物线的焦点为，准线方程为， 2分
11、 由题设可知：对椭圆而言，有；又椭圆截抛物线的准线所得弦长为，由对称性可得上交点为，有； 4分将代入得，解得或（舍去），从而； 6分该椭圆的方程为。 7分（2） 倾斜角为45的直线过点F，直线的方程为， 8分由（1）知椭圆的另一个焦点为，设与关于直线对称，9分则得，解之得，即。 11分又满足，故点M在抛物线上。 12分所以抛物线上存在一点，使得M与关于直线对称。 13分21、（本小题满分13分）已知函数，（）。（）若，且在定义域上不单调，求的取值范围；（）若，设的图象C1与的图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，M、N的横坐标是m，求证：。略解：（）依题设，；则=，要使在其定义域上不单调，必须且只需使在上有变号零点，即=0在上有实根，且不为重根。 3分而=0，所以，当时，此时，在上单调递减，在上单调递增；所以满足条件；当时，方程有在上有实根，且不为重根，当且仅当，解得；综上所述，符合题意的实数a的取值范围为。 7分（），设P（x1,y1） Q（x2,y2）,且x1x2，PQ中点为（），只要证明-2；又只要证明：只要证明：，若令，则只要证明：，。令：F（t）=，可证得：F（t）0，所以F（t）在内为增函数，又F（1）=0 ，所以F（t）0在范围内恒成立。命题得证。 13分