1、专题07 不等式（组）考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一 不等式的有关概念和性质不等式的定义：用符号“”或“”表示大小关系的式子，叫作不等式.像a3这样用符号“”表示不等关系的式子也是不等式。【注意】1.方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不旁式表示的是不等关系。2.常用的不等号有“”五种.“”“”不仅表示左右两边的不等关系，还明确表示左右两边的大小；“”“”也表示不等关系，前者表示“不小于”(大于或等于），后者表示“不大于”(小于或等于）；“”表示左右两边不相等。3.在不等式ab或ab，则a+cb+c，a-cb-c。基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等
2、号方向不变，即若ab,c0，则acbc（或acbc）基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，即若ab,c0，则acbc（或acb，则bbc，则ac。基本性质6：如果，那么.【注意】1、根据不等式的性质，可以将一个不等式变形，尤其要注意性质2和性质3的区别，当不等式两边乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变。2、不等号方向发生改变就是指原来的不等号方向变成其相反方向。不等式性质与等式性质的相同和不同点：相同点：都可以在两边加上或减去同一个式子不同点：1、 对于等式两边，乘（或除）以同一个正数（或负数），结果依然成立2、 对于不等式两边，乘（或除）以同一个
3、正数，不等号方向不变；乘（或除）以同一个负数，不等号方向发生改变；解不等式的概念：求不等式的解集的过程叫作解不等式。【典型例题】1（2019阜宁县容山中学初一期末）下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）Ax b，cd，则（ ）Aa+cb+dBa-cb-d Cacbd D【答案】A【详解】A. ab，cd，a+cb+d，正确； B.如a=3,b=1,c=2，d=-5时， a-c=1，b-d =6，此时a-cb-d，故不正确；C. 如a=3,b=1,c=-2，d=-5时， ac=-6，bd =-5，此时ac或3Ba3Ca-3D-3a3故选A.【考查题型汇总】考查题型二 求一元一次不等式的特解的方
4、法1（2019江苏中考真题）不等式的非负整数解有（）A1个B2个C3个D4个【答案】D【详解】解：，解得：，则不等式的非负整数解有：0，1，2，3共4个故选：D2（2019内蒙古中考模拟）不等式3（x1）5x的非负整数解有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个【答案】C【解析】解不等式得：3x35x，4x8，x2，所以不等式的非负整数解有0、1、2这3个，故答案选C3（2017广东中考模拟）如图，直线与的交点的横坐标为，则关于的不等式的整数解为（ ）.ABCD【答案】D【详解】当时，对于，则故的解集为与的交点的横坐标为，观察图象可知的解集为的解集为为整数，4（2019内蒙古中考模拟）不等式的最小
5、整数解是_【答案】0【详解】解的解集为x-1，最小整数解为0考查题型三 确定不等式中字母的取值范围的方法1（2019黑龙江中考真题）已知x=4是不等式ax-3a-10的解，x=2不是不等式ax-3a-10的解，则实数a的取值范围是_【答案】a-1.【详解】解：x=4是不等式ax-3a-10的解，4a-3a-10，解得：a1，x=2不是这个不等式的解，2a-3a-10，解得：a-1，a-1，故答案为：a-12（2019四川中考真题）关于的不等式只有2个正整数解，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【详解】解：解不等式2x+a1得：,不等式有两个正整数解，一定是1和2，根据题意得：解得：-5a-
6、3故选：C3（2012江苏中考模拟）已知关于x的不等式xa-1的解集如图所示,则a的值为_.【答案】0【解析】由图可得，,考查题型四 确定一元一次不等式中待定字母的值的方法1（2019河南中考模拟）若不等式组的解集是1x1，则a_，b_【答案】-2 -3 【详解】解：由题意得：解不等式 得: x1+a ,解不等式得:x不等式组的解集为: 1+ax不等式组的解集是1x1,.1+a=-1, =1,解得:a=-2,b=-3故答案为: -2, -3.知识点三 解一元一次不等式组一元一次不等式组的解集概念：一般地，几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做它们所组成的不等式组的解集。不等式组解集的确定方法：
7、【注意】1、 在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来确定不等式组的解集的。2、 利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分。解一元一次不等式组的一般步骤：1. 求出不等式组中各不等式的解集2. 将各不等式的解决在数轴上表示出来。3. 在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集。【考查题型汇总】考查题型五 一元一次不等式组的解集的确定方法1（2018湖南中考真题）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）ABCD【答案】C【解析】解不等式x+20，得：x-2，解不等式2x-40，得：x2，则不等式组的解集为-2x2，将解集表示在数轴上如
8、下：故选C2（2019山东中考模拟）一元一次不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）ABCD【答案】D【解析】详解：解不等式组得3x2，在数轴上表示为：故选D.3（2019江苏中考模拟）下列四个不等式组中，解集在数轴上表示如图所示的是（）ABCD【答案】D【详解】由解集在数轴上的表示可知，该不等式组为，故选D4（2019广东中考模拟）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）ABCD【答案】A【详解】解不等式得：x1，解不等式得：x-1，不等式组的解集为-1x1，在数轴上表示为：，故选A考查题型六 求一元一次不等式组的整数解的方法1（2019台湾中考真题）阿慧在店内购买两种蛋糕当伴手礼，如
9、图为蛋糕的价目表已知阿慧购买盒蛋糕，花费的金额不超过元若他将蛋糕分给位同事，每人至少能拿到一个蛋糕，则阿慧花多少元购买蛋糕？（）ABCD【答案】D【详解】解：设阿慧购买盒桂圆蛋糕，则购买盒金爽蛋糕，依题意有，解得，是整数，（元）答：阿慧花元购买蛋糕故选：D2（2019四川中考真题）红星商店计划用不超过4200元的资金，购进甲、乙两种单价分别为60元、100元的商品共50件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利10元、20元，两种商品均售完若所获利润大于750元，则该店进货方案有( )A3种B4种C5种D6种【答案】C【详解】解：设该店购进甲种商品件，则购进乙种商品件，根据题意，得：，解得
10、：，为整数，、21、22、23、24，该店进货方案有5种，故选：C3（2019浙江中考模拟）如图，等腰三角形 ABC 的周长为 20cm，底边 BC 长为 y（cm），腰 AB 长为 x（cm）.（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）求 x 的取值范围；（3）腰长 AB=3 时，底边的长【答案】（1）y202x；（2）5x10；（3）14【详解】（1）等腰三角形的腰长为 x，底边长为 y，周长为 20，y202x，（2）2x20-2x20-2x0，解得：5x10所以x的取值范围为5x10.（3）将x=3代入y202x得y=14，所以底边的长为14.考查题型七 求一元一次方程组中的待定字
11、母的值1（2017内蒙古中考模拟）若不等式组2x-a3的解集为1x1，那么(a+1)(b1)的值等于_【答案】4【解析】先解不等式组，再对照已知解集-1x1，即可求出a、b的值解不等式组，得x3+2b对照已知解集-1x2b-2x0的解集为，则(a+b)2009=_.【答案】-1【解析】由不等式得xa+2，x12b，-1x1，a+2=-1，12b=1a=-3，b=2，（a+b）2009=（-1）2009=-1故答案为-1考查题型八 求一元一次方程组中的待定字母的取值范围1（2018山东省寿光世纪学校中考模拟）若不等式组的解集是 x3，则m的取值范围是（ ）.Am3Bm3Cm3Dm3【答案】C【解
12、析】详解：，解得，x3；解得，xm，不等式组的解集是x3，则m3.故选：C. 2（2019四川中考真题）若关于的代等式组恰有三个整数解，则的取值范围是（）ABCD或【答案】B【详解】解不等式，得：，解不等式，得：，不等式组恰有三个整数解，这三个整数解为0、1、2，解得，故选：B3.若关于x的一元一次不等式组有解，则m的取值范围为ABCD【答案】C【详解】解，不等式组有解，2m2m.故选C.知识点四 列一元一次不等式（组）解应用题列一元一次不等式（组）解应用题的一般步骤：（1）审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系，要抓住题设中的关键“字眼”，如“大于”“小于”“不小于”“不
13、大于”“至少”“最多”等.（2）设：设出适当的未知数,并用含未知数的代数式表示出题目中涉及的量.（3）列：根据题中的不等关系，列出不等式.（4）解：解出所列不等式的解集.（5）验：检验答案是否符合题意.（6）答：写出答案.在以上步骤中，审题是基础，根据题意找出不等关系是关键，而根据不等关系列出不等式又是解题难点.以上过程可简单表述为: .【考查题型汇总】考查题型九 利用一元一次不等式（组）解决实际问题的方法1（2019湖北中考真题）某县有A、B两个大型蔬菜基地，共有蔬菜700吨.若将A基地的蔬菜全部运往甲市所需费用与B基地的蔬菜全部运往甲市所需费用相同.从A、B两基地运往甲、乙两市的运费单价如
14、下表:（1）求A、B两个蔬菜基地各有蔬菜多少吨？（2）现甲市需要蔬菜260吨，乙市需要蔬菜440吨.设从A基地运送吨蔬菜到甲市，请问怎样调运可使总运费最少？【答案】（1）A、B两基地的蔬菜总量分别为300吨和400吨；（2）当A基地运300吨到乙市，B基地运260吨到甲市，B基地运140吨到乙市时，总运费最少为14760元.【详解】（1）设A、B两基地的蔬菜总量分别为吨、吨.根据题意得：解得：，答：A、B两基地的蔬菜总量分别为300吨和400吨.（2）由题可知：.40，随的增大而增大，=14760.答：当A基地运300吨到乙市，B基地运260吨到甲市，B基地运140吨到乙市时，总运费最少为14
15、760元.2（2019辽宁中考模拟）某图书馆计划选购甲、乙两种图书已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本（1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？（2）如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？【答案】（1）乙图书每本价格为20元，则甲图书每本价格是50元；（2）该图书馆最多可以购买28本乙图书【详解】解：（1）设乙图书每本价格为元，则甲图书每本价格是元，根据题意可得：，解得：，经检验得：是原方程的根，则，答：乙图书每本
16、价格为20元，则甲图书每本价格是50元；（2）设购买甲图书本数为，则购买乙图书的本数为：，故，解得：，故，答：该图书馆最多可以购买28本乙图书考查题型十一 方程组与不等式组相结合解决实际问题1（2018山东中考模拟）今年3月12日植树节期间，学校预购进A，B两种树苗若购进A种树苗3棵，B种树苗5棵，需2100元；若购进A种树苗4棵，B种树苗10棵，需3800元(1)求购进A，B两种树苗的单价；(2)若该学校准备用不多于8000元的钱购进这两种树苗共30棵，求A种树苗至少需购进多少棵【答案】（1）A种树苗的单价为200元，B种树苗的单价为300元；（2）10棵【解析】（1）设B种树苗的单价为x元
17、，则A种树苗的单价为y元，可得：3y+5x=21004y+10x=3800，解得：x=300y=200，答：A种树苗的单价为200元，B种树苗的单价为300元.（2）设购买A种树苗a棵，则B种树苗为（30a）棵，可得：200a+300（30a）8000，解得：a10，答：A种树苗至少需购进10棵2（2019湖南中考模拟）东东玩具商店用500元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完，接着又用900元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了5元（1）求第一批悠悠球每套的进价是多少元；（2）如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套悠
18、悠球的售价至少是多少元？【答案】（1）第一批悠悠球每套的进价是25元；（2）每套悠悠球的售价至少是35元【解析】（1）设第一批悠悠球每套的进价是x元，则第二批悠悠球每套的进价是（x+5）元，根据题意得：，解得：x=25，经检验，x=25是原分式方程的解答：第一批悠悠球每套的进价是25元（2）设每套悠悠球的售价为y元，根据题意得：50025（1+1.5）y-500-900（500+900）25%，解得：y35答：每套悠悠球的售价至少是35元考查题型十二 利用不等式计算获利问题1（2014四川中考真题）某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1（元/台）与采购数量x1（台）
19、满足y1=20x1+1500（0x120，x1为整数）；冰箱的采购单价y2（元/台）与采购数量x2（台）满足y2=10x2+1300（0x220，x2为整数）（1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？（2）该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完在（1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润【答案】（1）5 （2）采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润值为10650元【解析】（1）设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20x）台，由题意得，解不等式得，x11，解
20、不等式得，x15，所以，不等式组的解集是11x15，x为正整数，x可取的值为11、12、13、14、15，所以，该商家共有5种进货方案；（2）设总利润为W元，y2=10x2+1300=10（20x）+1300=10x+1100，则W=（1760y1）x1+（1700y2）x2，=1760x（20x+1500）x+（170010x1100）（20x），=1760x+20x21500x+10x2800x+12000，=30x2540x+12000，=30（x9）2+9570，当x9时，W随x的增大而增大，11x15，当x=15时，W最大值=30（159）2+9570=10650（元），答：采购空调
21、15台时，获得总利润最大，最大利润值为10650元2（2018四川中考模拟）宜兴某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量x的取值范围；（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？【答案】（1）y=5x+2200（300x35
22、0）；（2）售价定为320元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大，最大利润是72000元【解析】 (1)、根据题中条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50台，则月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式：y=200+50400-x10，化简得：y=-5x+2200；(2)、根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台， 则x300且5x+2200450解得：300x350所以y与x之间的函数关系式为：y=-5x+2200（300x350）；(3)、W=（x-200）（-5x+2200）， 整理得：W=-5(x-320)2
23、+72000x=320在300x350内， 当x=320时，最大值为72000，即售价定为320元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大，最大利润是72000元3（2018山东中考模拟）今年义乌市准备争创全国卫生城市，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？【答案】（1
24、）温馨提示牌和垃圾箱的单价各是50元和150元；（2）答案见解析【详解】（1）设温情提示牌的单价为x元，则垃圾箱的单价为3x元，根据题意得，2x+33x=550，x=50，经检验，符合题意，3x=150元，即：温馨提示牌和垃圾箱的单价各是50元和150元；（2）设购买温情提示牌y个（y为正整数），则垃圾箱为（100y）个，根据题意得，意，y为正整数，y为50，51，52，共3中方案；有三种方案：温馨提示牌50个，垃圾箱50个，温馨提示牌51个，垃圾箱49个，温馨提示牌52个，垃圾箱48个，设总费用为w元W=50y+150（100y）=100y+15000，k=-100，w随y的增大而减小当y=
25、52时，所需资金最少，最少是9800元考查题型十三 运用一元一次不等式组进行方案设计1（2018河南中考模拟）某校计划购买篮球、排球共20个购买2个篮球，3个排球，共需花费190元；购买3个篮球的费用与购买5个排球的费用相同（1）篮球和排球的单价各是多少元？（2）若购买篮球不少于8个，所需费用总额不超过800元请你求出满足要求的所有购买方案，并直接写出其中最省钱的购买方案【答案】（1）篮球每个50元，排球每个30元. （2）满足题意的方案有三种：购买篮球8个，排球12个；购买篮球9，排球11个；购买篮球10个，排球10个；方案最省钱【解析】解：（1）设篮球每个x元，排球每个y元，依题意，得：解
26、得答：篮球每个50元，排球每个30元（2）设购买篮球m个，则购买排球（20-m）个，依题意，得：50m+30（20-m）800解得：m10又m8，8m10篮球的个数必须为整数，只能取8、9、10满足题意的方案有三种：购买篮球8个，排球12个，费用为760元；购买篮球9，排球11个，费用为780元；购买篮球10个，排球10个，费用为800元以上三个方案中，方案最省钱2（2019广西中考模拟）某文化商店计划同时购进A、B两种仪器，若购进A种仪器2台和B种仪器3台，共需要资金1700元；若购进A种仪器3台，B种仪器1台，共需要资金1500元（1）求A、B两种型号的仪器每台进价各是多少元？（2）已知A
27、种仪器的售价为760元/台，B种仪器的售价为540元/台该经销商决定在成本不超过30000元的前提下购进A、B两种仪器，若B种仪器是A种仪器的3倍还多10台，那么要使总利润不少于21600元，该经销商有哪几种进货方案？【答案】（1）A、B两种型号的仪器每台进价各是400元、300元；（2）有三种具体方案：购进A种仪器18台，购进B种仪器64台；购进A种仪器19台，购进B种仪器67台；购进A种仪器20台，购进B种仪器70台【详解】解：（1）设A、B两种型号的仪器每台进价各是x元和y元由题意得：，解得：答：A、B两种型号的仪器每台进价各是400元、300元；（2）设购进A种仪器a台，则购进A种仪器
28、（3a+10）台则有：，解得由于a为整数，a可取18或19或20所以有三种具体方案：购进A种仪器18台，购进B种仪器64台；购进A种仪器19台，购进B种仪器67台；购进A种仪器20台，购进B种仪器70台3（2019贵州中考真题）某校计划组织240名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动旅游公司有A，B两种客车可供租用，A型客车每辆载客量45人，B型客车每辆载客量30人若租用4辆A型客车和3辆B型客车共需费用10700元；若租用3辆A型客车和4辆B型客车共需费用10300元（1）求租用A，B两型客车，每辆费用分别是多少元；（2）为使240名师生有车坐，且租车总费用不超过1万元，你有哪几种租车方案
29、？哪种方案最省钱？【答案】（1）租用A，B两型客车，每辆费用分别是1700元、1300元；（2）共有三种租车方案，方案一：租用A型客车2辆，B型客车5辆，费用为9900元，方案二：租用A型客车4辆，B型客车2辆，费用为9400元，方案三：租用A型客车5辆，B型客车1辆，费用为9800元，方案二：租用A型客车4辆，B型客车2辆最省钱【详解】（1）设租用A，B两型客车，每辆费用分别是x元、y元，解得，答：租用A，B两型客车，每辆费用分别是1700元、1300元；（2）设租用A型客车a辆，租用B型客车b辆，解得，共有三种租车方案，方案一：租用A型客车2辆，B型客车5辆，费用为9900元，方案二：租用A型客车4辆，B型客车2辆，费用为9400元，方案三：租用A型客车5辆，B型客车1辆，费用为9800元，由上可得，方案二：租用A型客车4辆，B型客车2辆最省钱