1、第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系基础知识整合1平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线就在此平面内公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线2用集合语言描述点、线、面间的关系(1)点与平面的位置关系：点A在平面内记作A，点A不在平面内记作A.(2)点与线的位置关系点A在直线l上记作Al，点A不在直线l上，记作Al.(3)线面的位置关系：直线l在平面内记作l，直线l不在平面内记作l.(4)平面与平面相交于直线a，记作a.(5)直线l与平面相交于点A，记作lA.(6)直线a与直线
2、b相交于点A，记作abA.3直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角或直角叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)范围：.1公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面2异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线1(2019银川模拟)已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，若m，n，且，则下列结论一定正确的是()Amn BmnCm与n相交
3、 Dm与n异面答案A解析若，m，则直线m与平面的位置关系有两种：m或m.当m时，又n，所以mn；当m时，又n，所以mn.故选A.2(2019福州质检)已知命题p：a，b为异面直线，命题q：直线a，b不相交，则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析若直线a，b不相交，则a，b平行或异面，所以p是q的充分不必要条件，故选A.3设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是()A若AC与BD共面，则AD与BC共面B若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C若ABAC，DBDC，则ADBCD若ABAC，DBDC，则ADBC答案
4、D解析A，B，C，D构成的四边形可能为平面四边形，也可能为空间四边形，D不成立4已知异面直线a，b分别在平面，内，且c，那么直线c一定()A与a，b都相交B只能与a，b中的一条相交C至少与a，b中的一条相交D与a，b都平行答案C解析由题意易知，c与a，b都可相交，也可只与其中一条相交，故A，B均错误；若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知ab，与a，b异面矛盾，D错误故选C.5设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac；若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；若a平面，b平面，则a，b一定是异面直线上述命题中错误的是_(写出所
5、有错误命题的序号)答案解析由公理4知正确；当ab，bc时，a与c可以相交、平行或异面，故错误；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故错误；a，b，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故错误故填.6(2019河南南阳模拟)如图，在四棱锥PABCD中，O为CD上的动点，VPOAB恒为定值，且PDC是正三角形，则直线PD与直线AB所成角的大小是_答案60解析因为VPOAB为定值，所以SABO为定值，即O到线AB的距离为定值因为O为CD上的动点，所以CDAB.所以PDC即为异面直线PD与AB所成角因为PDC为等边三角形，所以PDC60.所以PD与AB所成角为60.核心考
6、向突破考向一平面基本性质的应用例1如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点证明(1)如图所示，连接EF，CD1，A1B.E，F分别是AB，AA1的中点，EFBA1.又A1BD1C，EFCD1.E，C，D1，F四点共面(2)EFCD1，EFCD1，CE与D1F必相交，设交点为P.则由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直线DA，CE，D1F，DA三线共点触类旁通共面、共线、共点问题的证明方法(1)证明点或线共面，首先由所给
7、条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合(2)证明点共线，先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；直接证明这些点都在同一条特定的直线上.(3)证明线共点，先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.提醒：点共线、线共点等都是应用公理3，证明点为两平面的公共点，即证明点在交线上.即时训练1. 如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BGGCDHHC12.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与FH交于点P.求证：P，A，C三点共线证明(1)
8、E，F分别为AB，AD的中点，EFBD.在BCD中，GHBD，EFGH，E，F，G，H四点共面(2)由(1)知EF綊BD，GH綊BD.四边形FEGH为梯形，GE与HF交于一点，设EGFHP，PEG，EG平面ABC，P平面ABC.同理P平面ADC.P为平面ABC与平面ADC的公共点，又平面ABC平面ADCAC，PAC，P，A，C三点共线考向二空间两条直线的位置关系角度两条直线位置关系的判定例2(1)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是()Al1l4Bl1l4Cl1与l4即不垂直也不平行Dl1与l4的位置关系不确定答案D解析构造
9、如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1，取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1，当取l4为B1C1时，l1l4，当取l4为BB1时，l1l4，故排除A，B，C，选D.(2)(2019贵州六盘水模拟)是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m，n，且Am，A，则m，n的位置关系不可能是()A垂直 B相交 C异面 D平行答案D解析是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，m，n，Am，A，n在平面内，m与平面相交，A是m和平面的交点，m和n异面或相交(垂直是相交的特殊情况)，一定不平行故选D.角度异面直线的判定例3(2019许昌模拟)如下图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中
10、点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_答案解析中HGMN；中GMHN且GMHN，所以直线HG与MN必相交触类旁通空间两条直线位置关系的判定方法即时训练2.(2019太原期末)已知平面和直线l，则内至少有一条直线与l()A平行 B相交 C垂直 D异面答案C解析直线l与平面斜交时，在平面内不存在与l平行的直线，A错误；l时，在平面内不存在与l异面的直线，D错误；l时，在平面内不存在与l相交的直线，B错误无论哪种情形在平面内都有无数条直线与l垂直故选C.3如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN
11、是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM与DD1是异面直线其中正确的结论为_(注：把你认为正确的结论序号都填上)答案解析因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以AM与CC1是异面直线，故错；取DD1中点E，连接AE，则BNAE，但AE与AM相交，故错；因为B1与BN都在平面BCC1B1内，M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，故正确；同理正确，故填.考向三异面直线所成的角例4(1)如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2，则异面直线A1B与AD1
12、所成角的余弦值为()A. B.C. D.答案D解析连接BC1，易证BC1AD1，则A1BC1或其补角即为异面直线A1B与AD1所成的角连接A1C1，由AB1，AA12，则A1C1，A1BBC1，故cosA1BC1.则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.故选D.(2)正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是_答案60解析如图所示，连接A1B，可知A1BE1D，A1BC1是异面直线E1D和BC1所成的角连接A1C1，可求得A1C1C1BBA1，A1BC160.触类旁通用平移法求异面直线所成的角的三步法(1)一作：根据定
13、义作平行线，作出异面直线所成的角(3)三求：解三角形，求出作出的角.如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.即时训练4. 如图，在三棱锥DABC中，ACBD，且ACBD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于()A30 B45C60 D90答案B解析如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG.E，F分别为CD，AB的中点，FGAC，EGBD，且FGAC，EGBD.EFG为EF与AC所成的角ACBD，FGEG.ACBD，FGEG，FGE90，EFG为等腰直角三角形，EFG45，即EF与AC所成的角为45.故选B.5在三棱锥SACB中
14、，SABSACACB90，AC2，BC，SB，则SC与AB所成角的余弦值为_答案解析如图所示，取BC的中点E，分别在平面ABC内作DEAB，在平面SBC内作EFSC，则异面直线SC与AB所成的角为FED，过F作FGAB，连接DG，则DFG为直角三角形由题知AC2，BC，SB可得DE，EF2，DF，在DEF中，由余弦定理可得cosFED.(2017全国卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A. B. C. D.答案C解析将直三棱柱ABCA1B1C1补形为直四棱柱ABCDA1B1C1D1，如图所示，连接AD1，B1D1
15、，BD.由题意知ABC120，AB2，BCCC11，所以AD1BC1，AB1，DAB60.在ABD中，由余弦定理知BD22212221cos603，所以BD，所以B1D1.又AB1与AD1所成的角即为AB1与BC1所成的角 ，所以cos.故选C.答题启示(1)当异面直线所成的角不易作出或难于计算时，可考虑使用补形法(2)补形法的目的是平移某一条直线，使之与另一条相交，常见的补形方法是对称补形对点训练(2019银川模拟)如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB12，BC3，AA14，N在A1B1上，且B1N4，则异面直线BD1与C1N所成角的余弦值为()A. B. C. D答案B解析补一个与原长方体相同的，并与原长方体有公共面BC1的长方体B1F，如图所示连接C1E，NE，则C1EBD1，于是NC1E即为异面直线BD1与C1N所成角(或其补角)在NC1E中，根据已知条件可求C1N5，C1E13，EN4.由余弦定理，得cosNC1E.所以BD1与C1N所成角的余弦值为.