1、第2讲空间几何体的表面积和体积基础知识整合1多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面面积之和2圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式3.柱、锥、台和球的表面积和体积1与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等2几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，若球为正方体的外接球，则2Ra；若球为正方体的内切球，则2Ra；若球与正方体的各棱相切，则2Ra.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R.
2、(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为31.1如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()A6 B9 C12 D18答案B解析由三视图可推知，几何体的直观图如图所示，可知AB6，CD3，PC3，CD垂直平分AB，且PC平面ACB，故所求几何体的体积为39.故选B.2(2018浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A2 B4 C6 D8答案C解析由三视图知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，即如图所示四棱柱A1B1C1D1ABCD.由三视图中数据可知底面梯形的两底分别为1和2，高为2，所以S底面(12
3、)23.直四棱柱的高为2，所以体积V326.故选C.3(2019北京模拟)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是()A2 B4 C22 D5答案C解析该三棱锥的直观图如图所示：过D作DEBC，交BC于E，连接AE，则BC2，EC1，AD1，ED2，S表SBCDSACDSABDSABC2211222.故选C.4如图，半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为，则球的表面积和体积分别为_，_.答案3636解析底面中心与C连线即为半径，设球的半径为R，则R2()2()29.所以R3，所以S球4R236，V球R336.5如图所示，已知球O的球面上有四点A，B，C，D
4、，DA平面ABC，ABBC，DAABBC，则球O的体积等于_答案解析由题意知，DC边的中点就是球心O，因为它到D，A，C，B四点的距离相等，球的半径RCD，又ABBC，AC，CD3，R，V球O3.核心考向突破考向一几何体的表面积例1(1)(2018全国卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A12 B12C8 D10答案B解析根据题意，可得截面是边长为2的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是的圆，且高为2，所以其表面积为S2()22212.故选B.(2)(2019河北承德模拟)某几何体的三视图如
5、图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为()A842 B644C622 D822答案C解析由三视图可知，该几何体为放在正方体内的四棱锥EABCD，如图，正方体的棱长为2，该四棱锥底面为正方形，面积为4，前后两个侧面为等腰三角形，面积分别为2，2，左右两个侧面为直角三角形，面积都为，可得这个几何体的表面积为622，故选C.触类旁通 空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量即时训练1.(2019山东潍坊模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A20
6、B24 C28 D32答案C解析由三视图可知该几何体为组合体，上半部分为圆柱，下半部分为圆锥，圆柱的底面半径为1，高为2，圆锥的底面半径为3，高为4，则该几何体的表面积S323521228.故选C.2一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()A1 B12C2 D2答案C解析由三视图可得该四面体的直观图如图所示，平面ABD平面BCD，ABD与BCD为全等的等腰直角三角形，ABADBCCD.取BD的中点O，连接AO，CO，则AOCO，AOCO1.由勾股定理得AC，因此ABC与ACD为全等的正三角形，由三角形面积公式得SABCSACD，SABDSBCD1，所以四面体的表面积为2.故选C.考
7、向二几何体的体积角度补形法求体积例2(1)(2017全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A90B63C42D36答案B解析(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的，所以该几何体的体积V32432663.故选B.(2)(2019河北质检)九章算术是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱已知某“堑堵”被
8、一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是()A50 B75 C25.5 D37.5答案D解析如图，由题意及给定的三视图可知，剩余部分是在直三棱柱的基础上，截去一个四棱锥C1MNB1A1所得的，且直三棱柱的底面是腰长为5的等腰直角三角形，高为5.图中几何体ABCC1MN为剩余部分，因为AM2，B1C1平面MNB1A1，所以剩余部分的体积VV三棱柱V四棱锥55535537.5，故选D.角度分割法求体积例3(1)(2019山西五校联考)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今
9、有底面为矩形的屋脊柱的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为()A5000立方尺 B5500立方尺C6000立方尺 D6500立方尺答案A解析该楔体的直观图如图中的几何体ABCDEF.取AB的中点G，CD的中点H，连接FG，GH，HF，则该几何体的体积为四棱锥FGBCH与三棱柱ADEGHF的体积之和又可以将三棱柱ADEGHF割补成高为EF，底面积为S31平方丈的一个直棱柱，故该楔体的体积V22315立方丈5000立方尺故选A.(2)(2018江苏高考)如图所示，正方体的棱长
10、为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_答案解析多面体由两个完全相同的正四棱锥组合而成，其中正四棱锥的底面边长为，高为1，其体积为()21，多面体的体积为.角度转化法求体积例4(1)如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB4，AA16.若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥AA1EF的体积是_答案8解析由正三棱柱的底面边长为4，得点F到平面A1AE的距离(等于点C到平面A1ABB1的距离)为42，则V三棱锥AA1EFV三棱锥FA1AES三角形A1AE26428.(2)三棱锥PABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥DABE的体积为V1，PABC的体积为V2，则_.答
11、案解析如图所示，由于D，E分别是边PB与PC的中点，所以SBDESPBC.又因为三棱锥ABDE与三棱锥APBC的高相等，所以.触类旁通 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.即时训练3.(2019安徽蚌埠质检)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积可能为()A B2 C2 D22答案A解析由三视图
12、可知，该几何体由半个圆柱和一个三棱锥组合而成故体积为122222.4如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1EDF的体积为_答案解析三棱锥D1EDF的体积即为三棱锥FDD1E的体积因为E，F分别为AA1，B1C上的点，所以正方体ABCDA1B1C1D1中EDD1的面积为定值，F到平面AA1D1D的距离为定值1，所以VFDD1E1.5如图，ABC中，AB8，BC10，AC6，DB平面ABC，且AEFCBD，BD3，FC4，AE5.求此几何体的体积解解法一：如图，取CMANBD，连接DM，MN，DN，用“分割法”把原几何体分割成一个直三
13、棱柱和一个四棱锥则V几何体V三棱柱V四棱锥由题知三棱柱ABCNDM的体积为V186372.四棱锥DMNEF的体积为：V2S梯形MNEFDN(12)6824，则几何体的体积为：VV1V2722496.解法二：用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AABBCC8，所以V几何体V三棱柱SABCAA24896.考向三与球有关的切、接问题例5(1)(2018全国卷)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥DABC体积的最大值为()A12 B18 C24 D54答案B解析如图所示，点M为三角形ABC的重心，E为AC的中点，当DM平面ABC时，三棱锥DA
14、BC体积最大，此时，ODOBR4.SABCAB29，AB6，点M为三角形ABC的重心，BMBE2，在RtOMB中，有OM2.DMODOM426，(V三棱锥DABC)max9618.故选B.(2)(2017全国卷)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为9，则球O的表面积为_答案36解析如图，连接OA，OB.由SAAC，SBBC，SC为球O的直径，知OASC，OBSC.由平面SCA平面SCB，平面SCA平面SCBSC，OASC，知OA平面SCB.设球O的半径为r，则OAOBr，SC2r，三棱锥SABC的体积V
15、OA，即9，r3，S球表4r236.触类旁通 空间几何体与球切、接问题的求解方法(1)与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题(2)若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.即时训练6.已知直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在以O为球心的球面上，且BAC，AA1BC2，则球O的体积为()A4 B8 C12 D20答案A解析在底面ABC中，由正弦定理得底面ABC所在的截面圆的半径为r，则直三棱柱ABCA1B1C1的外接球的半径为R ，则直三棱柱ABCA1B1C1的外接球的体积为R34.故选A.7(2018漳州模拟)在直三棱柱A1B1C1ABC中，A1B13，B1C14，A1C15，AA12，则其外接球与内切球的表面积之比为()A. B. C. D.29答案A解析由底面三角形的三边长可知，底面三角形为直角三角形，内切球半径r1，取AC，A1C1的中点D，E，则外接球球心在DE的中点O，由A1C15，AA12，得AC1，ROA，故选A.