1、高考资源网（ ），您身边的高考专家1.1.3导数的几何意义明目标、知重点1了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系2理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义3会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义 1导数的几何意义(1)割线斜率与切线斜率设函数yf(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0)与点B(x0x，f(x0x)的一条割线，此割线的斜率是.当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的切线于是，当x0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即kf(x0) .(2)导数的几何意义函数yf(x)在
2、点xx0处的导数的几何意义是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率也就是说，曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率是f(x0)相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)2函数的导数当xx0时，f(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f(x)是x的一个函数，称f(x)是f(x)的导函数(简称导数)f(x)也记作y，即f(x)y .情境导学如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图象上来考察函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？这就是本节我们要研究的主要内容探究点一导数的几何意义思考1如图，当点
3、Pn(xn，f(xn)(n1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0)时，割线PPn的变化趋势是什么？答当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线，该切线的斜率为 ，即曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率kf(x0)思考2曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？答不一定曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线其图象特征是：切点附近的曲线均在切线的同侧，如l2.思考3曲线f(x)在点(x0，f(x0)处的切线与曲线过某点(x0，y0
4、)的切线有何不同？答曲线f(x)在点(x0，f(x0)处的切线，点(x0，f(x0)一定是切点，只要求出kf(x0)，利用点斜式写出切线即可；而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，既使在曲线上也不一定是切点小结曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率kf(x0)，欲求斜率，先找切点P(x0，f(x0)思考4如何求曲线f(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程？答先确定切点P(x0，f(x0) ，再求出切线的斜率kf(x0)，最后由点斜式可写出切线方程例1已知曲线yx2，(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点P(3,5)的
5、切线方程解(1)设切点为(x0，y0)，y|xx0 2x0，y|x12.曲线在点P(1,1)处的切线方程为y12(x1)，即y2x1.(2)点P(3,5)不在曲线yx2上，设切点为(x0，y0)，由(1)知，y|xx02x0，切线方程为yy02x0(xx0)，由P(3,5)在所求直线上得5y02x0(3x0)，再由A(x0，y0)在曲线yx2上得y0x，联立，得，x01或x05.从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)当切点为(1,1)时，切线的斜率为k12x02，此时切线方程为y12(x1)，即y2x1，当切点为(5,25)时，切线的斜率为k22x010，此时切线方程为y2510(x5)，
6、即y10x25.综上所述，过点P(3,5)且与曲线yx2相切的直线方程为y2x1或y10x25.小结(1)求曲线上某点处的切线方程，可以直接利用导数求出曲线上此点处的斜率，然后利用点斜式写出切线方程；(2)求曲线过某点的切线方程，要先求出切点坐标，再按(1)完成解答跟踪训练1已知曲线y2x27，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4xy20?(2)曲线过点P(3,9)的切线方程解y (4x2x)4x.(1)设切点为(x0，y0)，则4x04，x01，y05，切点坐标为(1，5)即曲线上点(1，5)的切线平行于直线4xy20.(2)由于点P(3,9)不在曲线上设所求切线的切点为A(x0，y0)
7、，则切线的斜率k4x0，故所求的切线方程为yy04x0(xx0)将P(3,9)及y02x7代入上式，得9(2x7)4x0(3x0)解得x02或x04，所以切点为(2,1)或(4,25)从而所求切线方程为8xy150和16xy390.跟踪训练2若曲线yx33ax在某点处的切线方程为y3x1，求a的值解yx33ax.y 3x23xx(x)23a3x23a.设曲线与直线相切的切点为P(x0，y0)，结合已知条件，得解得a1.探究点二导数与函数的单调性思考1观察下边两个图形，在曲线的切点附近(x0时)曲线与那一小段线段有何关系？答能在曲线的切点附近，曲线与切线贴合在一起，可用切线近似代替曲线思考2按照
8、切线近似代替曲线的思想，切线的单调性能否表示曲线的变化趋势？如上左图，若在某一区间上曲线上各点的切线斜率均为负，则可判定在该区间上曲线的单调性如何？答在连续区间上切线斜率的正负，对应了曲线的单调性思考3如上右图，当t在(t0，t2)上变化时，其对应各点的导数值变化吗？会怎样变化？答会当t变化时h(t)便是t的一个函数，我们称它为h(t)的导函数例2如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)4.9t26.5t10的图象根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t0，t1，t2附近的变化情况并讨论在(t0，t1)和(t1，t2)两个区间上函数的单调性解用曲线h(t)在t0，t1，t2处的切线，刻
9、画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况(1)当tt0时，曲线h(t)在t0处的切线l0平行于t轴所以，在tt0附近曲线比较平坦，几乎没有升降(2)当tt1时，曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率h(t1)0.所以，在tt1附近曲线下降，即函数h(t)在tt1附近单调递减(3)当tt2时，曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h(t2)0(即切线的斜率大于零)，则函数yf(x)在xx0附近的图象是上升的；若f(x0)0，则yf(x)在区间a，b上是增函数；若恒有f(x) 0，所以，在tt3，tt4附近单调递增，且曲线h(t)在t3附近比在t4附近递增得快(2)若函数yf(x)的导函数在区间a，
10、b上是增函数，则函数yf(x)在区间a，b上的图象可能是()答案A解析依题意，yf(x)在a，b上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A满足1已知曲线yf(x)2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为()A4 B16 C8 D2答案C解析f(2) (82x)8，即k8.2若曲线yx2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10，则()Aa1，b1 Ba1，b1Ca1，b1 Da1，b1答案A解析由题意，知ky|x0 1，a1.又(0，b)在切线上，b1，故选A.3已知曲线yf(x)2x24x在点P处的切线斜率为16.则P点坐标为_
11、答案(3,30)解析设点P(x0,2x4x0)，则f(x0) 4x04，令4x0416得x03，P(3,30)呈重点、现规律1导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即k f(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度2“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f(x0)是其导数yf(x)在xx0处的一个函数值3利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0
12、)，表示出切线方程，然后求出切点.一、基础过关1下列说法正确的是()A若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处就没有切线B若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处有切线，则f(x0)必存在C若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线斜率不存在D若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处没有切线，则f(x0)有可能存在答案C解析kf(x0)，所以f(x0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为xx0.2.已知yf(x)的图象如图所示，则f(xA)与f(xB)的大小关系是()Af(xA)f(xB)Bf(x
13、A)f(xB)Cf(xA)f(xB)D不能确定答案B解析由导数的几何意义，f(xA)，f(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图象可知f(xA)f(xB)3在曲线yx2上切线倾斜角为的点是()A(0,0) B(2,4)C(，) D(，)答案D解析y (2xx)2x，令2xtan 1，得x.y()2.4设曲线yax2在点(1，a)处的切线与直线2xy60平行，则a等于()A1 B. C D1答案A解析y (2aax)2a，可令2a2，a1.5设yf(x)为可导函数，且满足条件li 2，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率是_答案4解析由li 2，f(1)2，f(1)4.6已知函
14、数yf(x)的图象在点M(1，f(1)处的切线方程是yx2，则f(1)f(1)_.答案3解析由在M点处的切线方程是yx2，得f(1)12，f(1)li li .f(1)f(1)3.二、能力提升7设f(x)为可导函数，且满足 1，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率是()A1 B1 C. D2答案B解析 1， 1，f(1)1.8.如图，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是yx8，则f(5)f(5)等于()A2B3C4 D5答案A解析易得切点P(5,3)，f(5)3，k1，即f(5)1.f(5)f(5)312.9设P为曲线C：yx22x3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为
15、，则点P横坐标的取值范围为_答案解析f(x) (x2x2)2x2.可设P点横坐标为x0，则曲线C在P点处的切线斜率为2x02.由已知得02x021，1x0，点P横坐标的取值范围为.10求过点P(1,2)且与曲线y3x24x2在点M(1,1)处的切线平行的直线解曲线y3x24x2在点M(1,1)处的切线斜率ky|x1 (3x2)2.过点P(1,2)的直线的斜率为2，由点斜式得y22(x1)，即2xy40.所以所求直线方程为2xy40.11已知抛物线yx24与直线yx10.求：(1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程解(1)由解得或.抛物线与直线的交点坐标为(2,8)或(3,13)(2)y
16、x24，y (x2x)2x.y|x24，y|x36，即在点(2,8)处的切线斜率为4，在点(3,13)处的切线斜率为6.在点(2,8)处的切线方程为4xy0；在点(3,13)处的切线方程为6xy50.12设函数f(x)x3ax29x1(a0)，若曲线yf(x)的斜率最小的切线与直线12xy6平行，求a的值解yf(x0x)f(x0)(x0x)3a(x0x)29(x0x)1(xax9x01)(3x2ax09)x(3x0a)(x)2(x)3，3x2ax09(3x0a)x(x)2.当x无限趋近于零时，无限趋近于3x2ax09.即f(x0)3x2ax09f(x0)3(x0)29.当x0时，f(x0)取最小值9.斜率最小的切线与12xy6平行，该切线斜率为12.912.解得a3.又a0，a3.三、探究与拓展13已知抛物线yax2bxc通过点P(1,1)，Q(2，1)，且在点Q处与直线yx3相切，求实数a、b、c的值解曲线yax2bxc过P(1,1)点，abc1.y (2axbax)2axb，y|x24ab，4ab1.又曲线过Q(2，1)点，4a2bc1，联立解得a3，b11，c9.欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。