1、榆林市第二中学2019-2020学年第一学期高三年级第四次模拟考试文科数学试题一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设复数满足，则（ ）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】【详解】(1i)z2i，z=1i.|z|.故答案：C【点睛】本题考查复数的运算及复数的模复数的常见考点有：复数的几何意义，zabi(a，bR)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量都可建立一一对应的关系(其中O是坐标原点)；复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数涉及到共轭复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作2.设集
2、合，集合，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解出集合、，再根据补集和交集的定义可得出集合.详解】，又，因此，.故选：C.【点睛】本题考查集合补集与交集的混合运算，解题的关键就是解出题中涉及的集合，考查计算能力，属于基础题.3.已知等差数列中，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的性质得出，然后利用等差数列的前项和公式可计算出的值.【详解】由等差数列的性质可得，因此，.故选：C.【点睛】本题考查等差数列基本性质和等差数列求和公式的应用，灵活利用等差数列下标和的性质进行计算，可简化计算，同时也可以利用首项和公差列方程组来求解，考查计
3、算能力，属于基础题.4.已知数列的前项和为，且，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】令，由可求出的值，再令，由得出，两式相减可得出数列为等比数列，确定出该数列的公比，利用等比数列的通项公式可求出的值.【详解】当时，即，解得；当时，由，得，两式相减得，得.所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，故选：B.【点睛】本题考查利用来求通项，一般利用公式，同时也要注意等差数列和等比数列定义的应用，考查运算求解能力，属于中等题.5.已知aR，则“a1”是“”（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】分析】根据a1
4、，不一定能得到（如a=-1时）；但当，一定能推出a1，从而得到答案【详解】解：由a1，不一定能得到（如a=-1时）；但当时，有0a1，从而一定能推出a1，则“a1”是“”的必要不充分条件，故选：B【点睛】本题考查充分条件、必要条件的定义，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法6.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】.所以选A.【点睛】本题考查了二倍角及同角正余弦的差与积的关系，属于基础题.7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. 96B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析
5、：由几何体的三视图可知，几何体为边长为四的正方体，挖去一个底面半径为，高为的圆锥所得的组合体，其表面及是正方体的表面面积减去圆锥底面积，加上圆锥侧面积，故选C.考点：1、几何体的三视图；2、几何体的表面积.8.在中，分别为内角，所对的边长，若，则的面积是（ ）A. B. 3C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知利用余弦定理可求的值，根据三角形的面积公式即可计算得解【详解】，又由余弦定理可得：，解得：，.故选：C【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，熟练掌握相关公式定理是解题的关键，属于基础题9.函数的图象的大致形状是（ ）A. B. C. D. 【答案】
6、C【解析】【分析】就分类讨论，利用指数函数的单调性可得正确的选项.【详解】当时，当时，因，所以为上的增函数，为上的减函数，故选C.【点睛】本题考查指数函数的图像和性质，属于容易题.10.函数，的部分图象如图所示，要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A. 向左平移B. 向左平移C. 向右平移D. 向右平移【答案】C【解析】【分析】由函数最值求出，将点代入函数的解析式求出，再将点代入该函数的解析式求出，得出，并利用诱导公式化为，再利用函数的图象变化规律得出结论。【详解】由函数，的部分图象，可得，由，可得，故可将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象故选：【点睛】本题考查由三角函数图象求解析式、
7、以及三角函数图象变换，求图象求三角函数的解析式的步骤如下：（1）求、：，；（2）求：（其中为函数的最小正周期）；（3）求初相：代特殊点（最高点、最低点或对称中心点）求。11.若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求导函数，求出函数的极值，利用函数恰有三个零点，即可求实数的取值范围.【详解】函数的导数为，令，则或，上单调递减，上单调递增，所以0或是函数y的极值点，函数的极值为：，函数恰有三个零点，则实数的取值范围是：.故选B.【点睛】该题考查的是有关结合函数零点个数，来确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意应用导数研究函数图象的走向
8、，利用数形结合思想，转化为函数图象间交点个数的问题，难度不大.12.已知定义在R上的奇函数f（x）满足当x0时，则的解集为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由于函数为奇函数，并且在上有定义，利用求出的值.然后解这个不等式，求得的取值范围.【详解】由于函数为奇函数，并且在上有定义，故，解得，故当时，这是一个增函数，且，所以，故，注意到，故.根据奇函数图像关于原点对称可知，当时，.综上所述，.故选A.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查奇函数图像关于原点对称的特点，考查绝对值不等式的解法.属于中档题.二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知向量，若向量与垂直，则
9、_【答案】【解析】利用平面向量的加法公式可得：，由平面向量垂直的充要条件可得：，解方程可得：.14.已知实数，是与的等比中项，则的最小值是_【答案】【解析】【分析】通过是与的等比中项得到，利用均值不等式求得最小值.【详解】实数是与的等比中项，解得则，当且仅当时，即时取等号故答案为:【点睛】本题考查了等比中项，均值不等式，1的代换是解题的关键.15.在中，角所对的边分别为，若，则_【答案】【解析】【详解】由正弦定理及可得，又，所以，即,由余弦定理可得，则，应填答案16.正的三个顶点都在球O的球面上，若三棱锥的体积为2，则该球的表面积为_ 【答案】【解析】由题可知是截面小圆的直径，所以截面小圆的半
10、径,又,所以三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)17.已知公差不为零等差数列an满足：，且是与的等比中项 （1）求数列an的通项公式； （2）设数列bn满足，求数列bn的前n项和Sn .【答案】（1） （2） 【解析】试题分析：（1）根据等差数列的通项公式列方程组，求出首项和公差即可得出通项公式；（2）利用裂项法求和.试题解析：（1）设等差数列an的公差为d， a3+a8=20，且a5是a2与a14的等比中项， ，解得a1=1，d=2， an=1+2（n-1）=2n-1 （2）bn=（）， Sn=b1+b2+b3+bn=（1-+-+）=（1-）=点睛：本题主要考查了等差数列，以及数列的求
11、和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.18.在四棱锥中，底面是正方形，与交于点，底面，为的中点. （1）求证：平面；（2）求证：；（3）若，求三棱锥的体积【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.【解析】【分析】（1）连接，利用中位线的性质得出，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面；（2）由正方形的基本性质得出，由平面得出，利用直线与平面垂直的判定定理证明出平面，由此可得出；（3）取的中点，利用中位线的性质结合平面得出平面，计算出和
12、的面积，然后利用锥体的体积公式可计算出三棱锥的体积.【详解】（1）连接，如下图：由四边形是正方形可知，点为的中点，又为的中点，平面，平面，平面；（2）由底面，底面，四边形是正方形可知，.又，、平面，平面.又平面，；（3）取中，连接，在四棱锥中，底面，是的中位线，底面.，.因此，三棱锥的体积【点睛】本题考查直线与平面平行、异面直线垂直的证明，同时也考查了三棱锥体积的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19.已知函数，.（）求的单调递增区间；（）设为锐角三角形，角所对边，角所对边，若，求的面积.【答案】（1）;（2）【解析】试题分析：（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得
13、所求增区间；（2）由，解得A，再由余弦定理解方程可得c，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值试题解析：（1）函数由，解得时，可得的增区间为（2）设ABC为锐角三角形，角A所对边，角B所对边b=5，若，即有解得，即由余弦定理可得a2=b2+c22bccosA，化为c25c+6=0，解得c=2或3，若c=2，则即有B为钝角，c=2不成立，则c=3，ABC的面积为 20.已知数列an的前n项和为Sn，且满足Sn-n=2（an-2），（nN*）（1）证明：数列an-1为等比数列（2）若bn=anlog2（an-1），数列bn的前项和为Tn，求Tn【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】证明数列
14、是等比数列常用的方法是作商法：当时，证=定值.考查分组求和，其中又包含错位相减法及等差数列求和公式法【详解】（1）证明：Sn-n=2（an-2），n2时，Sn-1-（n-1）=2（an-1-2），两式相减an-1=2an-2an-1 ，an=2an-1，an-1=2（an-1-1），（常数），又n=1时，a1-1=2（a1-2）得a1=3，a1-1=2 ，所以数列an-1是以2为首项，2为公比的等比数列（2）由（1），又bn=anlog2（an-1），Tn=b1+b2+b3+bn=（12+222+323+n2n）+（1+2+3+n），设，两式相减，又，【点睛】（1）证明数列是等比数列可以利用作
15、商或者等比中项法；同理证明数列是等差数列一般用做差或者等差中项法（2）错位相减法运算一定要仔细.21.已知函数（）的图象在处的切线为（为自然对数的底数）（1）求的值；（2）若，且对任意恒成立，求的最大值.【答案】(1)a=-1,b=1;(2)-1.【解析】（1）对求导得，根据函数的图象在处的切线为，列出方程组，即可求出的值；（2）由（1）可得，根据对任意恒成立，等价于对任意恒成立，构造，求出的单调性，由，可得存在唯一的零点，使得，利用单调性可求出，即可求出的最大值.（1），.由题意知. （2）由（1）知：，对任意恒成立对任意恒成立对任意恒成立. 令，则.由于，所以在上单调递增. 又，所以存在唯
16、一的，使得，且当时，时，. 即在单调递减，在上单调递增.所以.又，即，. . ， . 又因为对任意恒成立，又， . 点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.在直角坐标系中，圆C的参数方程（为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，
17、求线段的长. 【答案】（1）；（2）2【解析】【分析】（1）首先利用对圆C的参数方程（为参数）进行消参数运算，化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C的极坐标方程（2）设，联立直线与圆的极坐标方程，解得；设，联立直线与直线的极坐标方程，解得，可得【详解】（1）圆C的普通方程为，又，所以圆C的极坐标方程为.（2）设，则由解得，得；设，则由解得，得；所以【点睛】本题考查圆的参数方程与普通方程的互化，考查圆的极坐标方程，考查极坐标方程的求解运算，考查了学生的计算能力以及转化能力，属于基础题.23.已知，函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若的最小值为时，求的值，并求的最小值【答案】（
18、1）；（2）.【解析】【分析】（1）将代入不等式，得出，然后分、三种情况解不等式，可得出该不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式可得出，然后将代数式与相乘，利用柯西不等式可得出的最小值.【详解】（1）当时,不等式即，化为当时，化为：，解得；当时，化为：，化为：，解得；当时，化为：，解得综上可得：不等式的解集为：；（2）由绝对值三角不等式得，由柯西不等式得，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，同时也考查了绝对值三角不等式求绝对值函数的最值，以及利用柯西不等式求代数式的最值，在求解绝对值不等式时，一般利用零点分段法和几何法来求解，考查分类讨论思想，属于中等题.