1、2015-2016学年河南省南阳市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择魔：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1若集合A=x|x=in，nN+（i是虚数单位），B=1，1，则AB等于（）A1B1CD1，12设复数z=（x1）+yi（xR，y0），若|z|1，则yx的概率为（）ABCD3下列命题中正确的结论个数是（）“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件命题“若ab=0，则a=0或b=0”的否命题是“若ab0，则a0且b0”x0R，使A0B1C2D34设函数f（x）=ln（1+|x|），则使得f（x）f（2x1）成立的x的取值范围是（
2、）A（，1）B（1，+）C（）D（，+）5已知等比数列an满足an0，n=1，2，且a5a2n5=22n（n3），则当n1时，log2a1+log2a3+log2a2n1=（）An（2n1）B（n+1）2Cn2D（n1）26已知函数y=f（|x|）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象不可能是（）ABCD7若（x0，y0）恒成立，则a的最小值为（）A1BC2D28已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图象不可能是（）ABCD9在ABC中，已知AC=1，ABC=，BAC=，记f（）=，则f（）的值域为（）A0，）B（0，）C0，D（0，10函数f （x）=，若函y=f （x）十f（2
3、x）b，bR恰4个零，则b的取值范围是（）A（，+）B（一，）C（0，）D（，2）11已知，|=，|=t，t，4；若P是ABC所在平面内一点，且=+，则的取值范围是（）A13，17B12，13C，12D，1312已知函数f（x）对任意的xR都满足f（x）+f（x）=0，当x0时，f（x）=，（a0），若对xR，都有f（x2）f（x），则实数a的取值范围为（）A（0，）B，C（0，D（0，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13若锐角ABC的面积为，且AB=5，AC=8，则BC等于14已知f（x）在R上可导，且满足（x2）f（x）0，则f（2015）+f（填两个数值的大小关系：、=
4、、）15设实数x，y满足约束条件，若目标函数z=+（a0，b0）的最大值为9，则d=的最小值为16设函数f（x）=若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17在锐角ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且ABC的面积为，求a+b的值18Sn为数列an的前n项和，已知Sn=（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足anbn=log3an，求数列bn的前n项和Tn19设f（x）是一个二次项系数为正的二次函数，f（x+3）=f（1x）对任意xR都成立，若向量
5、=（，2sinx），=（2，sinx），=（2，1），=（1，cos2x），求f（）f（）0的解集20数列an的首项al=1，且对任意nN*，an与an+1恰为方程x2bnx+2n=0的两个根（1）求数列（an和数列bn的通项公式；（2）求数列bn的前n项和Sn21已知函数f（x）=x33x（1）求函数f（x）的极值；（2）过点P（1，n）（n2）作曲线y=f（x）的切线，问：实数n满足什么样的取值范围，过点P可以作出三条切线？22已知函数g（x）=x22x1nx（1）讨论g（x）的单调性； （2）证明：存在a（0，1），使得g（x）2a（lnx+x+a）（a0）在区间（1，+）内恒成立，且g
6、（x）=2a（lnx+x+a）（a0）在（1，+）内有唯一解2015-2016学年河南省南阳市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择魔：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1若集合A=x|x=in，nN+（i是虚数单位），B=1，1，则AB等于（）A1B1CD1，1【考点】虚数单位i及其性质【专题】计算题；方程思想；综合法；集合；数系的扩充和复数【分析】求出集合A，然后求解交集即可【解答】解：集合A=x|x=in，nN+（i是虚数单位），可得A=i，1，i，1B=1，1，AB=1，1故选：D【点评】本题考查复数的单位的幂运算
7、，集合的交集的求法，考查计算能力2设复数z=（x1）+yi（xR，y0），若|z|1，则yx的概率为（）ABCD【考点】复数求模；几何概型【专题】计算题；数形结合；综合法；概率与统计；数系的扩充和复数【分析】由题意易得所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，分别求面积可得【解答】解：复数z=（x1）+yi（x，yR）且|z|1，|z|=1，即（x1）2+y21，点（x，y）在（1，0）为圆心1为半径的圆及其内部，而yx表示直线y=x左上方的部分，（图中阴影弓形）所求概率为弓形的面积与圆的面积一般的之比，所求概率P=故选：C【点评】本题考查几何概型，涉及复数以及圆的知识，属基础题3下列命题中正确的结
8、论个数是（）“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件命题“若ab=0，则a=0或b=0”的否命题是“若ab0，则a0且b0”x0R，使A0B1C2D3【考点】命题的真假判断与应用【专题】证明题【分析】根据复合命题真假判断的真值表，可判断的真假；根据否定命题即否定条件，也否定结论，及“p或q”的否定是“p且q”，可判断；判断方程x2+2x+3=0根的个数，可判断，进而可得答案【解答】解：中，“p且q为真命题”p，q都为真命题，“p或q为真命题”，反之“p或q为真命题”时，p，q至少一个为真命题，不一定“p且q为真命题”，故“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件，故错误；中命题“若a
9、b=0，则a=0或b=0”的否命题是“若ab0，则a0且b0”，故正确；方程x2+2x+3=0的=4120，故方程无实数根，命题错误；综上所述，三个命题中正确的命题个数为1故选B【点评】本题考查的知识点是复合命题真假判断的真值表，四种命题，特称命题，难度不大，属于基础题型4设函数f（x）=ln（1+|x|），则使得f（x）f（2x1）成立的x的取值范围是（）A（，1）B（1，+）C（）D（，+）【考点】函数的单调性与导数的关系；函数单调性的性质【专题】开放型；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论【解答】解：函数f（x）=l
10、n（1+|x|）为偶函数，且在x0时，f（x）=ln（1+x）导数为f（x）=+0，即有函数f（x）在0，+）单调递增，f（x）f（2x1）等价为f（|x|）f（|2x1|），即|x|2x1|，平方得3x24x+10，解得x1，所求x的取值范围是（，1）故选A【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用，运用偶函数的性质是解题的关键5已知等比数列an满足an0，n=1，2，且a5a2n5=22n（n3），则当n1时，log2a1+log2a3+log2a2n1=（）An（2n1）B（n+1）2Cn2D（n1）2【考点】等比数列的性质【专题】计算题；等差数列与等比数列
11、【分析】先根据a5a2n5=22n，求得数列an的通项公式，再利用对数的性质求得答案【解答】解：a5a2n5=22n=an2，an0，an=2n，log2a1+log2a3+log2a2n1=log2（a1a3a2n1）=log221+3+（2n1）=log2=n2故选：C【点评】本题考查等比数列的通项公式和性质，涉及对数的运算，属基础题6已知函数y=f（|x|）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象不可能是（）ABCD【考点】函数的图象【专题】函数的性质及应用【分析】根据绝对值的几何意义，可知函数y=f（|x|），当x0时，就是函数y=f（x），由此可得结论【解答】解：函数y=f（|x|）
12、=，当x0时，y=f（|x|）=f（x），函数y=f（|x|）的图象在y轴左边的部分，就是函数y=f（x）的图象，故可得函数y=f（x）的图象不可能是：C故选：C【点评】本题考查函数的图象，考查绝对值的几何意义，考查学生分析解决问题的能力7若（x0，y0）恒成立，则a的最小值为（）A1BC2D2【考点】函数的最值及其几何意义【专题】转化思想；分析法；不等式的解法及应用【分析】运用参数分离可得a恒成立，由不等式（）2，即可得到a的最小值【解答】解：（x0，y0）恒成立，即为a恒成立，由不等式（）2，即有a+b，当且仅当a=b取得等号则+，即有=，当且仅当x=y取得最大值则有a，即a的最小值为故选
13、：B【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意转化为函数最值的求法，注意运用重要不等式，考查化简运算能力，属于中档题8已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图象不可能是（）ABCD【考点】正弦函数的图象【专题】三角函数的图像与性质【分析】函数f（x）=1+asinax的图象是一个正弦曲线型的图，其振幅为|a|，周期为，周期与振幅成反比，从这个方向观察四个图象【解答】解：对于振幅大于1时，三角函数的周期为：，|a|1，T2，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了2对于选项A，a1，T2，满足函数与图象的对应关系，故选D【点评】由于函数的解析式中只含有一个参数，这个参数影响振
14、幅和周期，故振幅与周期相互制约，这是本题的关键9在ABC中，已知AC=1，ABC=，BAC=，记f（）=，则f（）的值域为（）A0，）B（0，）C0，D（0，【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用【分析】f（）=ABBC，由余弦定理得AB2+BC2=1ABBC，结合基本不等式及实际意义得，0ABBC，从而解决问题【解答】解：在ABC中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC22ABBCcosB，AB2+BC2+ABBC=1，即AB2+BC2=1ABBC，AB2+BC22ABBC，1ABBC2ABBC，ABBCf（）=ABBCcos=ABBC，又ABBC0，0A
15、BBC故选：D【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，余弦定理及基本不等式的应用10函数f （x）=，若函y=f （x）十f（2x）b，bR恰4个零，则b的取值范围是（）A（，+）B（一，）C（0，）D（，2）【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】计算题；作图题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用【分析】由题意得g（x）=f （x）十f（2x）=，作函数g（x）的图象，从而结合图象可求得【解答】解：f （x）=，f（2x）=，设g（x）=f （x）十f（2x）=，作函数g（x）的图象如下，g（）=+2=，g（）=5+8=；结合图象可知，b的取值范围是（，2）；故选：D【点评】本题考查了函
16、数的化简与分段函数的应用，同时考查了数形结合的思想应用11已知，|=，|=t，t，4；若P是ABC所在平面内一点，且=+，则的取值范围是（）A13，17B12，13C，12D，13【考点】平面向量数量积的运算【专题】函数思想；数形结合法；平面向量及应用【分析】建立直角坐标系，由向量的坐标运算易得P的坐标，可化为 17（+4t），再利用基本不等式求得它的最大值，由端点处的函数值，可得最小值，进而得到所求范围【解答】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得A（0，0），B（，0），C（0，t），=+=（1，0）+（0，4）=（1，4），P（1，4），=（1，4），=（1，t4），=（1）4（t4）=1
17、7（+4t）172=13，当且仅当=4t，即t=，4，时，取等号，由t=4可得17（16+）=，由t=可得17（1+4）=12，的最大值为13，最小值为则的范围是，13故选：D【点评】本题考查平面向量数量积的运算，注意运用坐标法的运用，涉及对勾函数的最值和基本不等式的运用，属中档题12已知函数f（x）对任意的xR都满足f（x）+f（x）=0，当x0时，f（x）=，（a0），若对xR，都有f（x2）f（x），则实数a的取值范围为（）A（0，）B，C（0，D（0，）【考点】函数奇偶性的性质【专题】数形结合；数学模型法；函数的性质及应用【分析】函数f（x）对任意的xR都满足f（x）+f（x）=0，可
18、得函数f（x）是奇函数利用奇函数的对称性画出图象及其对xR，都有f（x2）f（x），即可得出【解答】解：函数f（x）对任意的xR都满足f（x）+f（x）=0，即f（x）=f（x），因此函数f（x）是奇函数当x0时，f（x）=，（a0），利用对称性画出图象对xR，都有f（x2）f（x），将函数f（x）的图象向右平移2个单位后的图象在y=f（x）的图象的非上方，6a2，a0，解得则实数a的取值范围是故选：C【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了数形结合思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13若锐角ABC的面积为，且AB=5，AC=8，则B
19、C等于7【考点】余弦定理的应用【专题】计算题；解三角形【分析】利用三角形的面积公式求出A，再利用余弦定理求出BC【解答】解：因为锐角ABC的面积为，且AB=5，AC=8，所以，所以sinA=，所以A=60，所以cosA=，所以BC=7故答案为：7【点评】本题考查三角形的面积公式，考查余弦定理的运用，比较基础14已知f（x）在R上可导，且满足（x2）f（x）0，则f（2015）+f2f（2）（填两个数值的大小关系：、=、）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算【专题】转化思想；分类法；导数的概念及应用【分析】根据条件判断函数的单调性，利用函数的单调性进行比较即可【解答】解：当x2时，f（x
20、）0时，函数为增函数，当x2时，f（x）0时，函数为减函数，即当x=2时，函数为极小值同时也是最小值，故f，f（2015）f（2），则f2f（2），故答案为：【点评】本题主要考查函数值的大小比较，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键15设实数x，y满足约束条件，若目标函数z=+（a0，b0）的最大值为9，则d=的最小值为【考点】简单线性规划的应用【专题】计算题【分析】先画出可行域，数形结合求出目标函数的最大值，得到a，b的关系，两式相乘凑成利用基本不等式的条件，利用基本不等式求最值【解答】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线z=+（a0，b0）过直线2xy+2=0
21、与直线8xy4=0的交点（1，4）时，目标函数z=+（a0，b0）取得最大值9，又4a+b=（4a+b）（）=（8+）（8+8）=，则d=的最小值为故答案为：【点评】本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值16设函数f（x）=若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围或a2【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】函数的性质及应用【分析】分别设h（x）=2xa，g（x）=4（xa）（x2a），分两种情况讨论，即可求出a的范围【解答】解：设h（x）=2xa，g（x）=4（xa）（x2a），若在x1时，h（x）=2xa
22、与x轴有一个交点，所以a0，并且当x=1时，h（1）=2a0，所以0a2，而函数g（x）=4（xa）（x2a）有一个交点，所以2a1，且a1，所以a1，若函数h（x）=2xa在x1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（xa）（x2a）有两个交点，当a0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2a0时，即a2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是a1，或a2故答案为：或a2【点评】本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共
23、70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17在锐角ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且ABC的面积为，求a+b的值【考点】解三角形【专题】解三角形【分析】（1）利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦，整理可求得sinC，进而求得C（2）利用三角形面积求得ab的值，利用余弦定理求得a2+b2的值，最后求得a+b的值【解答】解：（1）=2csinA正弦定理得，A锐角，sinA0，又C锐角，（2）三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b22abcosC即7=a2+b2ab，又由ABC的面积得即ab=6，（a+b）2=a2+b2+2
24、ab=25由于a+b为正，所以a+b=5【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用考查了学生对三角函数基础知识的综合运用18Sn为数列an的前n项和，已知Sn=（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足anbn=log3an，求数列bn的前n项和Tn【考点】数列的求和；数列递推式【专题】计算题；转化思想；作差法；等差数列与等比数列【分析】（1）由a1=S1，an=SnSn1（n1），化简整理，即可得到所求通项；（2）化简数列bn，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求【解答】解：（1）由2Sn=3n+3可得a1=S1=3，an=SnSn1=（3n+3
25、）（3n1+3）=3n1（n2），则an=；（2）由anbn=log3an及an=可得：bn=前n项和Tn=+，Tn=+，相减可得， Tn=+=+，化简可得，前n项和Tn=【点评】本题考查数列的通项的求法和求和的方法，考查错位相减法求和，数列的通项和求和的关系，考查运算能力，属于中档题19设f（x）是一个二次项系数为正的二次函数，f（x+3）=f（1x）对任意xR都成立，若向量=（，2sinx），=（2，sinx），=（2，1），=（1，cos2x），求f（）f（）0的解集【考点】平面向量数量积的运算【专题】函数思想；向量法；函数的性质及应用；平面向量及应用【分析】由已知条件便知二次函数f（x
26、）的对称轴为x=1，并且在1，+）上单调递增，而容易得到，从而由原不等式可得f（2cos2x）f（2+cos2x），这样根据f（x）在1，+）上单调递增便可得出2cos2x2+cos2x，从而解该不等式即可得出原不等式的解集【解答】解：1，1；f（x）是一个二次项系数为正的二次函数，f（x+3）=f（1x）对任意xR都成立；x=1为f（x）的对称轴，f（x）在1，+）上单调递增；由得，；f（2cos2x）f（2+cos2x）；2cos2x2+cos2x；cos2x0；，kZ；，kZ；原不等式的解集为【点评】考查向量数量积的坐标运算，二倍角的余弦公式，余弦函数的值域，以及二次函数的单调性，f（x
27、+m）=f（nx）时，知道f（x）关于x=对称，熟悉余弦函数的图象20数列an的首项al=1，且对任意nN*，an与an+1恰为方程x2bnx+2n=0的两个根（1）求数列（an和数列bn的通项公式；（2）求数列bn的前n项和Sn【考点】数列的求和；数列递推式【专题】分类讨论；分类法；等差数列与等比数列【分析】（1）运用二次方程的韦达定理，可得anan+1=2n，可得奇数项、偶数项均成等比数列，由等比数列的通项公式，即可得到所求；（2）讨论n为奇数，偶数，由等比数列的求和公式，奇数即可得到所求前n项和Sn【解答】解：（1）由题意nN*，an与an+1恰为方程x2bnx+2n=0的两个根可得an
28、an+1=2n=2，又a1a2=2，a1=1，a2=2，a1，a3，a2n1是前项为a1=1，公比为2的等比数列，a2，a4，a2n是前项为a2=2，公比为2的等比数列a2n1=2n1，a2n=2n nN*即；又bn=an+an+1当n为奇数时，当n为偶数时，bn=；（2）Sn=b1+b2+b3+bn当n为偶数时，Sn=（b1+b3+bn1）+（b2+b4+bn）=77，当n为奇数时，Sn=b1+b2+bn1+bn=Sn1+bn=107，Sn=【点评】本题考查数列的通项求法，考查等比数列通项公式和求和公式的运用，考查分类讨论的思想方法，属于中档题21已知函数f（x）=x33x（1）求函数f（x
29、）的极值；（2）过点P（1，n）（n2）作曲线y=f（x）的切线，问：实数n满足什么样的取值范围，过点P可以作出三条切线？【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的概念及应用；导数的综合应用【分析】（1）求出f（x）的导数，求得单调区间，即可得到极值；（2）求出导数，设出切点M（x0，y0），求得切线的斜率，以及切线的方程，代入点（1，n），可得过点（1，n）可作曲线的三条切线，即为关于x0方程=0有三个实根设g（x0）=，求得导数，求得单调区间和极值，可令极大值大于0，极小值小于0，解不等式即可得到n的范围【解答】解：（1）f（x）
30、=3x23=0，由1x1时，f（x）0，f（x）递减，x1或x1时，f（x）0，f（x）递增在x=1处取得极值，即有极大值f（1）=2，极小值f（1）=2；（2）f（x）=3x23=3（x+1）（x1），曲线方程为y=x33x，点P（1，n）不在曲线上设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足因，故切线的斜率为，整理得过点P（1，n）可作曲线的三条切线，关于x0方程=0有三个实根设g（x0）=，则g（x0）=6，由g（x0）=0，得x0=0或x0=1g（x0）在（，0），（1，+）上单调递增，在（0，1）上单调递减函数g（x0）=的极值点为x0=0，x0=1关于x0方程=0有三个实根的充要条件
31、是，解得3n2故所求的实数a的取值范围是3n2【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查函数方程的转化思想的运用，考查运算求解能力，属于中档题22已知函数g（x）=x22x1nx（1）讨论g（x）的单调性； （2）证明：存在a（0，1），使得g（x）2a（lnx+x+a）（a0）在区间（1，+）内恒成立，且g（x）=2a（lnx+x+a）（a0）在（1，+）内有唯一解【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【专题】导数的综合应用；不等式的解法及应用【分析】（1）求出导数，判断导数的符号，即可得到单调性；（2）设f（x）=g（x）2a（lnx+x+a），
32、求出导数，令导数为0，解得a，令u（x）=2（x+）lnx+x22（）x2（）2+，利用函数零点存在定理可得：存在x0（1，e），使得u（x0）=0，令a0=v（x0），再利用导数研究其单调性即可得出【解答】解：（1）函数g（x）=x22x1nx的导数为g（x）=2x2（lnx+1），由xlnx1的导数为1，当x1时，递增，当0x1时，递减，可得x=1时取得最小值，且为0，即有xlnx10，即g（x）0，g（x）递增，则g（x）在（0，+）递增；（2）设f（x）=g（x）2a（lnx+x+a），f（x）=2（xa）2lnx2（1+）=0，解得a=，令u（x）=2（x+）lnx+x22（）x2（
33、）2+，则u（1）=10，u（e）=2（）20，存在x0（1，e），使得u（x0）=0，令a0=v（x0），其中v（x）=x1lnx（x1），由v（x）=10，可得：函数v（x）在区间（1，+）上单调递增0=a0=1，即a0（0，1），当a=a0时，有f（x0）=0，f（x0）=u（x0）=0再由（1）可知：f（x）在区间（1，+）上单调递增，当x（1，x0）时，f（x）0，f（x）f（x0）=0；当x（x0，+）时，f（x）0，f（x）f（x0）=0；又当x（0，1，f（x）=（xa0）22xlnx0故当x（0，+）时，f（x）0恒成立综上所述：存在a（0，1），使得g（x）2a（lnx+x+a）（a0）在区间（1，+）内恒成立，且g（x）=2a（lnx+x+a）（a0）在（1，+）内有唯一解【点评】本题考查了导数的运算法则、函数的零点、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题2016年3月9日版权所有：高考资源网()
