1、3.2一元二次不等式及其解法第1课时一元二次不等式及其解法 学习目标1.通过实例了解一元二次不等式.(数学抽象)2.理解一元二次方程、一元二次不等式及一元二次函数的关系.(直观想象、逻辑推理)3.掌握一元二次不等式的解法.(逻辑推理、数学运算)4.会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型并解决问题.(逻辑推理、数学运算、数学建模)【必备知识自主学习】导思1.类比学过的一元一次不等式,思考一元二次不等式的定义是什么?2.一元二次不等式与一元二次函数、一元二次方程有何关系?如何解一元二次不等式?1.一元二次不等式的定义只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.(1)关于
2、x的不等式ax2+bx+c0一定是一元二次不等式吗?提示:不一定,如果a=0,则不是一元二次不等式.(2)不等式x2-y20是一元二次不等式吗?提示: 此不等式含有两个变量,根据一元二次不等式的定义,可知不是一元二次不等式.2.一元二次不等式与相应二次函数、一元二次方程的联系设f(x)=ax2+bx+c(a0),方程ax2+bx+c=0(a0)的判别式=b2-4ac判别式0=00的解集x|xx2x|x-Rf(x)0的解集x|x1x0是一元二次不等式.()(2)若一元二次方程ax2+bx+c=0无根,则一元二次不等式ax2+bx+c0的解集为R.()(3)若a0,ax2+10的解集是R.提示:(
3、1).当m=0时是一元一次不等式.(2).当a0,ax2+10恒成立,解集为R.2.(教材二次开发:练习改编)不等式x2-2x0的解集为()A.(2,+)B.(-,2)C.(0,2)D.(-,0)(2,+)【解析】选D.不等式x2-2x0化为x(x-2)0,解得x2,所以不等式的解集为(-,0)(2,+).3.不等式2x2-x-10的解集是.【解析】不等式化为(2x+1)(x-1)0,解得-x1,所以不等式的解集是.答案:【关键能力合作学习】类型一一元二次不等式的解法(逻辑推理、数学运算)1.不等式x2x+2的解集为()A.(-,-1)(2,+)B.(-,-2)(1,+)C.(-1,2)D.(
4、-2,1)【解题指南】先化为标准的一元二次不等式形式,再求解.【解析】选C.不等式化为x2-x-20的解集为()A.B.C.D.R【解题指南】先求判别式再求解集.【解析】选D.因为=(-2)2-431=4-12=-80的解集为R.3.在下列不等式中,解集是的是()A.x2-3x+50B.x2+4x+40C.4-4x-x20【解析】选D.A的解集为R;B的解集是x|x=-2;C的解集为x|x-2+2或x-2-2;D,不等式可化为2x2-3x+20得=-7,故2x2-3x+20B.-2x2+x+10C.2x-x25D.x2+x2【解析】选C.根据题意,依次分析选项,对于A,x2-x+1=+,则x2
5、-x+10恒成立,其解集为R,A不符合题意;对于B,-2x2+x+102x2-x-10,其解集不是空集,B不符合题意;对于C,2x-x25x2-2x+50,有=-162x2+x-20,有0,其解集不是空集,D不符合题意.3.(2019天津高考)设xR,使不等式3x2+x-20成立的x的取值范围为.【解析】3x2+x-20,即(x+1)(3x-2)0,即-1x,故x的取值范围是.答案:类型二一元二次不等式的实际应用(数学建模、逻辑推理、数学运算)【典例】 有一长为24米的篱笆,一面利用墙(墙最大长度是10米)围成一个矩形花圃,设该花圃一边AB为x米,面积是y平方米,(1)求出y关于x的函数解析式
6、,并指出x的取值范围.(2)因种植需要,花圃的面积不小于54平方米,则花圃一边AB应为多少?四步内容理解题意条件:(1)长为24米,(2)一面利用墙,(3)墙最大长度是10米,(4)围成一个矩形花圃,(5)花圃的面积不小于54平方米结论:(1)求出y关于x的函数解析式,并指出x的取值范围.(2)花圃一边AB应为多少.思路探求(1)用x表示出矩形的一边,得到面积,再利用墙的最大长度求范围;(2)构造一元二次不等式求范围.书写表达(1)如图所示:,因为024-2x10,所以7x12,所以y=x(24-2x)=-2x2+24x(7x12).(2)令y=-2x2+24x54,即x2-12x+270,解
7、得3x9,又7x0,所以012,即x2+10x-1 2000,解得x30或x10,即x2+10x-2 0000,解得x40或x-50(不符合实际意义,舍去),这表明乙车的车速超过40 km/h,即超过规定限速,所以乙车的驾驶人应负主要责任.【补偿训练】某摩托车生产企业,上年度生产摩托车投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1),则出厂价相应提高的比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x.设年利润=(出厂价-投入成本)年销售量.(1)写出本年度预计的年利润y
8、与投入成本增加的比例x的关系式;(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,问投入成本增加的比例x应在什么范围内?【解析】(1)依题意,得y=1.2(1+0.75x)-(1+x)1 000(1+0.6x)=1 000(-0.06x2+0.02x+0.2).所以所求关系式为y=1 000(-0.06x2+0.02x+0.2)(0x(1.2-1)1 000.化简,得3x2-x0.解得0x.所以投入成本增加的比例x的范围是0x0的解集为,其中a,b为常数,则不等式3x2+bx+a0的解集为,则方程ax2+bx+3=0的两实数根为-1和,且a0,则,解得a=-6,b=-3,所以不等式3x2+bx+a0可
9、化为3x2-3x-60,即x2-x-20,解得-1x2,所以所求不等式的解集是(-1,2).将本例中的条件改为“解集为(,),0”,试求不等式的解集.【解析】关于x的不等式ax2+bx+30的解集为(,),则方程ax2+bx+3=0的两实数根为和,则 且a0.所以不等式3x2+bx+a0,即x2-(+)x+10,解x2-(+)x+1=0,得x=或,因为0,所以,所以x0的解集为x|2x3,求关于x的不等式cx2+bx+a0的解集为x|2x3可知,a0,且2和3是方程ax2+bx+c=0的两根,由根与系数的关系可知=-5,=6.由a0知c0,=,故不等式cx2+bx+a0,即x2-x+0,解得x
10、,所以不等式cx2+bx+a0的解集为x|x4,那么对于函数f(x)=ax2+bx+c应有()A.f(5)f(2)f(-1)B.f(2)f(5)f(-1)C.f(-1)f(2)f(5)D.f(2)f(-1)0的解集为x|x4,所以a0,函数的对称轴为x=1,所以f(-1)=f(3),函数在(1,+)上单调递增,所以f(2)f(3)f(5),所以f(2)f(-1)0的解集是()A.(-,-1)(3,+)B.RC.x|x1D.x|x=1【解析】选C.因为f(x)=x2+bx+1且f(-1)=f(3),所以-=,解得b=-2.所以f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,所以f(x)0的解集为x|x1
11、.2.关于x的不等式ax2+bx+c0的解集是.求不等式cx2+bx+a0的解集.【解析】方法一:由ax2+bx+c0的解集为知a0.又2=0.又-,2为方程ax2+bx+c=0的两个根,所以-=,所以=-.又=-,所以b=-a,c=-a,所以不等式变为x2+x+a0.又因为a0,所以2x2+5x-30,所求不等式的解集为.方法二:由已知得a0,设方程cx2+bx+a=0的两根分别为x1,x2(x1x2),则x1+x2=-,x1x2=,其中=-,-=-,所以所以所以不等式cx2+bx+a0)的解集为.【课堂检测素养达标】1. (教材二次开发:习题改编)不等式3+5x-2x20的解集为()A.B
12、.C.D.R【解析】选C.3+5x-2x202x2-5x-30(x-3)(2x+1)0x3或x-.2.关于x的不等式x2+px-20的解集是(q,1),则p+q的值为()A.-2B.-1C.1D.2【解析】选B.由不等式x2+px-22 816D.(60+x)(40+2x)2 816【解析】选A.“不大于”就是“”,所以根据题意可列出不等式为(60+2x)(40+2x)2 816.4.已知关于x的不等式ax2+bx+c0的解集是xx-,则ax2-bx+c0的解集为.【解析】由题意,-2,-是方程ax2+bx+c=0的两个根且a0,即为2x2-5x+20,解得x0的解集为.答案:5.解不等式:(
13、1)2x2-3x-20;(2)-3x2+6x-20;(3)4x2-4x+10;(4)x2-2x+20.【解析】(1)方程2x2-3x-2=0的解是x1=-,x2=2.因为函数y=2x2-3x-2是开口向上的抛物线(如草图(1) ),所以不等式的解集是.(2)不等式可化为3x2-6x+20,所以方程3x2-6x+2=0的解是x1=1-,x2=1+.因为函数y=3x2-6x+2是开口向上的抛物线(如草图(2),所以不等式的解集是.(3)方程4x2-4x+1=0的解是x1=x2=,函数y=4x2-4x+1是开口向上的抛物线(如草图(3) ,所以原不等式的解集是.(4)因为x2-2x+2=0的判别式0
14、,所以方程x2-2x+2=0无解.又因为函数y=x2-2x+2是开口向上的抛物线(如草图(4),所以原不等式的解集为R.【新情境新思维】1.对于实数x,当且仅当nxn+1(nZ)时,规定x=n,则不等式4x2-36x+450的解集为()A.2,7 B.2,8C.2,8)D.【解析】选C.不等式化为(2x-15)(2x-3)0,解得x.又nxn+1(nZ)时,x=n,则不等式的解集为2,8).2.某企业生产的新产品必须先靠广告打开销路,该产品广告效应y(单位:万元)是产品的销售额与广告费x(单位:万元)之间的差,如果销售额与广告费x的算术平方根成正比,根据对市场的抽样调查,付出1万元的广告费时,所得销售额是100万元.(1)求出广告效应y与广告费x之间的函数关系式.(2)若该企业制定的年度广告效应是不低于1 600万元,则广告费最低投入多少?【解析】(1)设销售额为t万元,由题意知t=k,x0,又因为当x=1时,t=100,故k=100;所以t=100,所以y=100-x,所以广告效应y与广告费x之间的函数关系式是:y=100-x(x0).(2)令=m则y=100m-m2=-(m-50)2+2 500,令y=100m-m2=-(m-50)2+2 5001 600,m2-100m+1 6000,解得20m80,所以400x6 400.故广告费最低为400万元.