1、第2课时不等式的性质学习目标1.掌握不等式的性质及其成立的条件.(数学抽象、数学建模)2.能利用不等式的性质比较大小、证明不等式.(逻辑推理、数学运算)【必备知识自主学习】导思不等式有哪些性质?不等式的性质名称式子表示性质1对称性abbb,bcac性质3可加性aba+cb+c性质4可乘性ab,c0acbcab,c0acb,cda+cb+d性质6同向同正不等式可乘acbd性质7正数不等式乘方ab0anbn(nN,n1)性质8正数不等式开方ab0(nN,n2)若a,bR,ab,那么a3b3一定成立吗?提示:一定成立,因为函数f(x)=x3在R上是增函数,所以ab时,a3b3.1.辨析记忆(对的打“
2、”,错的打“”).(1)若ab,则ac2bc2.()(2)若ab,cd,则acbd. ()(3)若ab,则anbn(nN,n1).()提示:(1).当c=0时不成立.(2).同向同正不等式可乘.(3).当ab0时成立.2.已知ab,cd,且cd0,则()A.adbcB.acbcC.a-cb-dD.a+cb+d【解析】选D.a,b,c,d的符号未确定,排除A,B两项;同向不等式相减,结果未必是同向不等式,排除C项,故选D项.3.(教材二次开发:习题改编) 若|a|1).【解析】因为|b|a|0,所以由不等式的性质可得.答案:b,cd,则acB.若acbc,则abC.若,则ab,则|a|b|2.若
3、a,b,cR,ab,则下列不等式成立的是()A.b2C.D.a|c|b|c|3.若0,则下列不等式:a+b|b|;ab中,正确的不等式有个.【解析】1.选C.因为0,所以ab,且ab0,则0,故A不成立.若ab0,则a2b2,B中少条件b0,故B不成立.因为ab,且0,所以,故C成立.D中少条件c0,故D不成立.3.由0,得a0,b0,故a+b0,所以a+bab,即正确;由,两边同乘|ab|,得|b|a|,故错误;由知|b|a|,a0,bb,故错误.答案:1运用不等式的性质判断真假的技巧(1)首先要注意不等式成立的条件,不要弱化条件,尤其是不能凭想当然随意捏造性质.(2)解决有关不等式选择题时
4、,也可采用特值法进行排除,注意取值一定要遵循以下原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算.【补偿训练】1.若ab0,则下列结论正确的是()A.a2b2B.abb2C.bc【解析】选C.当abb2,故A错误,当abb2,故B错误,当ab0时,01,则bc不成立,故D错误.2.设a1b-1,b0,则下列不等式中恒成立的是()A.C.ab2D.a22b【解析】选C.当a=2,b=-时,满足条件.但1b0时,b-1,b0,所以0b2b2,故C正确;当a=1.1,b=0.9时,满足条件,但a22b不成立,故D错误.类型二利用不等式的性质证明不等式(逻辑推理、数学运算)【典例】已知cab0,求
5、证:.四步内容理解题意条件:cab0;结论:.思路探求思路1:如何证明?由怎样得到可先证明哪一个不等式.书写表达方法一:因为cab0,所以c-a0,c-b0.由 ;方法二:由cab0得c-bc-a0,又ab0,所以a(c-b)b(c-a)0,又0,得.题后反思证明本题关键是分母怎样变换出来,第一步先证明什么.利用不等式的性质证明不等式的两注意(1)记准、记熟:利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上, 记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.(2)注意条件:应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导
6、,更不能随意构造性质与法则.1.ab0,c.【证明】因为ab0,所以ab0,0.于是ab,即.由c.2.已知ab0,cd0,e.【证明】因为cd-d0,又因为ab0,所以a+(-c)b+(-d)0,即a-cb-d0,所以0,又因为e.【拓展延伸】利用不等式性质求代数式的范围要注意的问题(1)恰当设计解题步骤,合理利用不等式的性质.(2)运用不等式的性质时要切实注意不等式性质的前提条件,如由ab及cd,推不出acbd;由ab,推不出a2b2等.【拓展训练】若ab0,cd0,e.【解题指南】结合不等式的性质化简证明.【证明】因为cd-d0,又ab0,所以a-cb-d0,则(a-c)2(b-d)20
7、,即,又e.【补偿训练】若bc-ad0,bd0,求证:.【证明】 +1+1.类型三利用不等式的性质求范围(逻辑推理、数学运算)角度1利用性质直接求范围【典例】已知-1ab1,则a-b的取值范围是.【思路导引】利用不等式的性质构造a-b求范围.【解析】因为-1a1,-1b1,所以-1-b1,所以-1-1a-b1+1,所以-2a-b2,又ab,所以a-b0.答案:(-2,0)将本例的条件改为“-ab”,试求的取值范围.【解析】因为-ab,所以-,-,所以-,所以-.又ab,所以0,所以-0.角度2整体构造求范围【典例】已知+,-,则2-的取值范围是.【思路导引】利用+,-表示出2-后求范围.【解析
8、】令2-=x(+)+y(-),即2-=(x+y)+(x-y),所以 解得 因为,-,所以-2-.答案:利用不等式的性质求取值范围的策略(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系,最后利用一次不等式的性质进行运算,求得待求的范围.(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减),这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大其取值范围.1.若,满足-,则2-的取值范围是()A.-2-0B.-2-C.-2-D.02-【解析】选C.因为-,所以-2,又-,所以-,所以-2-.又-0,所以2-.故-2-b且cR,则下列不等式中一定成立的是()A.acbcB.a2b2C.a+cb+cD.ac2bc2【解析】选C.对于A,当cab时不成立;对于D,当c=0时不成立;C正确.2.已知-A,-B,则2A-B的取值范围是.【解析】因为-A,所以-2A.因为-B,所以-B.所以-2A-Bb0,cd0,则.【解析】因为ab0,cd0,所以acbd,所以-=0,则.答案:4.已知1a3,-4b2,则a+|b|的取值范围是.【解析】因为-4b2,故0|b|4,又1a3,所以1a+|b|7.答案:1,7)【新情境新思维】已知实数a,b满足等式2 017a=2 018b,下列关系式不可能成立的是()A.0abB.ab0C.0bb0,ab0,a=b=0.而0ab不可能成立.
