1、江西省2021届高三数学4月教学质量检测试题 理（含解析）一、选择题（每小题5分）.1集合Ax|ylog2（x1），Bx|xa0，且（RA）B（0，1，则a（）A1B0C1D22已知m，nR，且mi（1+2i）n+4i（其中i为虚数单位），则m+n（）A2B4C2D43某几何体的三视图如图所示，已知图中圆的半径都为1，则此几何体的体积为（）ABCD4已知F是抛物线C：y24x的焦点，若点A（x0，2）在抛物线上，则|AF|（）A3B2C4D2+15根据下面给出的某地区2014年至2020年环境基础设施投资额（单位：亿元）的表格，以下结论中错误的是（）年份20142015201620172018
2、20192020投资额/亿元47535662122140156A该地区环境基础设施投资额逐年增加B2018年该地区环境基础设施投资增加额最大C2018年和2019年该地区环境基础设施投资总额比2014年至2017年的投资总额小D2020年该地区环境基础设施投资增加额相比2019年有所减少6函数f（x）cos2x的图象为（）ABCD7已知定义在R上的函数f（x），则“f（x）的周期为2”是“f（x）”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件8（x+2y+3z）5的展开式中xy2z2的系数为（）A5B30C1080D21609如图是公元前约400年古希腊数学家泰特托斯
3、用来构造无理数，的图形之一，此图形中BAD的余弦值是（）ABCD10已知动直线l：xcos+ysin1与圆C1：x2+y22相交于A，B两点，圆C2：x2+y21下列说法：l与C2有且只有一个公共点；线段AB的长度为定值；线段AB的中点轨迹为C2其中正确的个数是（）A0B1C2D311定义：若存在n个正数x1，x2，xn，使得f（xi）f（xi）（i1，2，n），则称函数yf（x）为“n阶奇性函数”若函数g（x）是“2阶奇性函数”，则实数m的取值范围是（）A（，0）B（0，1）C（1，+）D（0，1）（1，+）12已知函数f（x）2sin（x+）（0，）的一个周期的图象如图所示，其中f（0）1
4、，f（1）0f（x1）f（x2），则f（x2x12）（）ABCD二、填空题（每小题5分）.13设，为非零向量，且|2+3|23|，则，的夹角为 14若x，y满足约束条件，则z的最大值是 15已知F是双曲线1（a0，b0）的右焦点，过点F作渐近线的垂线FH（点H为垂足），并交双曲线的右支于点A，若A为线段FH的中点，则双曲线的离心率为 16如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，所有棱长均为a，且A1ABA1ADDAB60，点E在棱A1D1上，且A1E2ED1，平面过点E且平行于平面A1DB，则平面与平行六面体ABCDA1B1C1D1各表面交线围成的多边形的面积是 三、解答题：共70分解答
5、应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17已知正项数列an的前n项和为Sn，且Sn+1Sn+an+2，a32S1S5，（1）求数列an的通项公式；（2）设bna，求数列bn的前n项和Tn18如图，已知四边形ABCD是菱形，BAD60，AB2，四边形BDEF是平行四边形，DBF45，BF2，FAFC（1）求证：FD平面ABCD；（2）求二面角ADEB的余弦值19在某学校某次射箭比赛中，随机抽取了100名学员的成绩（单位：环），并把所得数据制成了如下所示的频数分布表：成绩分组4，5）5，6）6，7
6、）7，8）8，9）9，10频数5182826176（1）求抽取的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知这次比赛共有2000名学员参加，如果近似地认为这次成绩Z服从正态分布N（，2）（其中近似为样本平均数，2近似为样本方差s21.61），且规定8.27环是合格线，那么在这2000名学员中，合格的有多少人？（3）已知样本中成绩在9，10的6名学员中，有4名男生和2名女生，现从中任选3人代表学校参加全国比赛，记选出的男生人数为，求的分布列与期望E附：若ZN（，2），则P（Z+）0.6827，P（2Z+2）0.9545，1.27，结果取整数部分20如图，已知椭圆E：1（ab0
7、）的离心率为，A，B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆E上异于A，B的一个动点，直线l过点B且垂直于x轴，直线AP与l交于点Q，圆C以BQ为直径当点P在椭圆短轴端点时，圆C的面积为（1）求椭圆E的标准方程；（2）设圆C与PB的另一交点为点R，记AQR的面积为S1，BQR的面积为S2，试判断是否为定值，若是定值，求出这个定值，若不是定值，求的取值范围21已知函数f（x）xex+ax+bcosx（1）当b0时，讨论函数f（x）极值点的个数；（2）当b2，x0时，都有f（x）2ex4，求实数a的取值范围（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标
8、系与参数方程22在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin24cos（1）求曲线C1和C2的直角坐标方程；（2）已知点P（1，），曲线C1与C2相交于A，B两点，求|选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+a|+|x|（a0）（1）求证：f（x）2；（2）当a时，f（x）x2+4x+m恒成立，求m的取值范围参考答案一、选择题（每小题5分）.1集合Ax|ylog2（x1），Bx|xa0，且（RA）B（0，1，则a（）A1B0C1D2解：Ax|x1，Bx|xa，RAx|x1，且（RA）B（0，1，a0
9、故选：B2已知m，nR，且mi（1+2i）n+4i（其中i为虚数单位），则m+n（）A2B4C2D4解：由mi（1+2i）n+4i，得2m+min+4i，即m+nm4故选：B3某几何体的三视图如图所示，已知图中圆的半径都为1，则此几何体的体积为（）ABCD解：根据几何体三视图转换为几何体的直观图，该几何体为个球体；故故选：D4已知F是抛物线C：y24x的焦点，若点A（x0，2）在抛物线上，则|AF|（）A3B2C4D2+1解：点A（x0，2）在抛物线上，可得124x0，解得x03，所以|AF|x0+3+14故选：C5根据下面给出的某地区2014年至2020年环境基础设施投资额（单位：亿元）的表
10、格，以下结论中错误的是（）年份2014201520162017201820192020投资额/亿元47535662122140156A该地区环境基础设施投资额逐年增加B2018年该地区环境基础设施投资增加额最大C2018年和2019年该地区环境基础设施投资总额比2014年至2017年的投资总额小D2020年该地区环境基础设施投资增加额相比2019年有所减少解：由表格中的数据信息可知，该地区环境基础设施投资额逐年增加，故选项A正确；20152020年的投资增额分别为：6，3，6，60，18，16，所以2018年该地区环境基础设施投资增加额最大，故选项B正确；2018年和2019年该地区环境基础设
11、施投资总额为262亿元，2014年至2017年的总额为218亿元，故选项C错误；2019年的投资增额为18，2019年的投资增额为16，所以2020年该地区环境基础设施投资增加额相比2019年有所减少，故选项D正确故选：C6函数f（x）cos2x的图象为（）ABCD解：f（x）cos（2x）cos2xf（x），函数f（x）为奇函数，排除选项A和C，又f（）cos20，排除选项B，故选：D7已知定义在R上的函数f（x），则“f（x）的周期为2”是“f（x）”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：当f（x）时，有f（x）f（x+2）， 则f（x）的周期为2，当f
12、（x）的周期为2，例如f（x）sinx，当x为整数时，f（x）f（x+1）0，则f（x）无意义，综上所述：f（x）的周期为2是f（x）的必要不充分条件故选：B8（x+2y+3z）5的展开式中xy2z2的系数为（）A5B30C1080D2160解：（x+2y+3z）5表示5个因式x+2y+3z的乘积，故它的展开式中，含xy2z2的项是由其中一个因式取x，其中两个因式取2y，剩下的两个因式取3z得到的，故xy2z2的系数为223256491080故选：C9如图是公元前约400年古希腊数学家泰特托斯用来构造无理数，的图形之一，此图形中BAD的余弦值是（）ABCD解：由题意，在BCD中，DCB135，
13、由余弦定理可得BD2CD2+BC22CDBCcosDCB1+1+22，所以在BAD中，cosBAD故选：C10已知动直线l：xcos+ysin1与圆C1：x2+y22相交于A，B两点，圆C2：x2+y21下列说法：l与C2有且只有一个公共点；线段AB的长度为定值；线段AB的中点轨迹为C2其中正确的个数是（）A0B1C2D3解：C2的圆心到直线l的距离d1，直线l与圆C2相切，故正确；由知l为C2的切线，而C1，C2 是同心圆，设C1半径为R，则R，设C2半径为r，则r1，则|AB|222，线段AB的长度为定值，故正确；根据对称性，l与C2的切点即线段AB的中点，故线段AB的中点轨迹为C2，故正
14、确；故选：D11定义：若存在n个正数x1，x2，xn，使得f（xi）f（xi）（i1，2，n），则称函数yf（x）为“n阶奇性函数”若函数g（x）是“2阶奇性函数”，则实数m的取值范围是（）A（，0）B（0，1）C（1，+）D（0，1）（1，+）解：由题意可得，方程g（x）g（x）有且只有两个正根，即m（x）+mxlnx有且只有两个正根，方程可化为：xlnxm（x1），因此转化为函数yxlnx与ym（x1）在y轴右侧的图象有两个交点，先研究函数yxlnx的图象，因为ylnx+1，当0x时，y0，当x时，y0，且当x1时，y0，y1，在x1处切线的斜率为1，如图所示：而ym（x1）过点（1，0）
15、斜率为m，由图象有两个交点，则只需m0且m1，故m的实数取值范围为（0，1）（1，+），故选：D12已知函数f（x）2sin（x+）（0，）的一个周期的图象如图所示，其中f（0）1，f（1）0f（x1）f（x2），则f（x2x12）（）ABCD解：由f（0）1，可得sin，又，所以，由f（1）0，可得+2k+，可得2k+，kZ，又因为周期T4（10），所以4，可得0，所以，所以T12，所以f（x）2sin（x+），因为f（x1）2sin（x1+），所以sin（x1+），因为f（4）2sin2，所以点（x1，），（x2，）关于直线x4对称，所以设（4+）（x1+），则sin（）sin（x1+），
16、可得cos，又（x2+）（x1+）2，可得（x2x1）2，所以f（x2x12）2sin（x2x1）+2sin（+2）2cos22（21）故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13设，为非零向量，且|2+3|23|，则，的夹角为解：根据题意，为非零向量，若|2+3|23|，则有|2+3|2|23|2，变形可得：42+12+924212+92，即0，则，的夹角为故答案为：14若x，y满足约束条件，则z的最大值是2解：由约束条件作出可行域如图，联立 ，解得A（1，2），z的几何意义为可行域内的点与定点O（0，0）连线的斜率kOA2，z的最大值等于2故答案为：215已知F是双曲线1（a
17、0，b0）的右焦点，过点F作渐近线的垂线FH（点H为垂足），并交双曲线的右支于点A，若A为线段FH的中点，则双曲线的离心率为解：由题意可知，FH的方程为 y（xc），与渐近线方程为 yx，可得H的坐标为 （，），A是线段AF2的中点 （，），根据中点A在双曲线C上，2，故 e，故答案为：16如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，所有棱长均为a，且A1ABA1ADDAB60，点E在棱A1D1上，且A1E2ED1，平面过点E且平行于平面A1DB，则平面与平行六面体ABCDA1B1C1D1各表面交线围成的多边形的面积是a2解：如图，符合条件的截面是六边形EFGHMN，且EFGHMNa，FGH
18、MNE，六边形内角均为120，连接EG，GM，ME，可知三角形EGM为等边三角形，所以面积为，故答案为：三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17已知正项数列an的前n项和为Sn，且Sn+1Sn+an+2，a32S1S5，（1）求数列an的通项公式；（2）设bna，求数列bn的前n项和Tn解：（1）正项数列an的前n项和为Sn，且Sn+1Sn+an+2，整理得an+1an2（常数），所以数列an是以a1为首项，2为公差的等差数列，因为a32S1S5，所以，解得a11或4
19、（负值舍去），故an2n1（2）因为an2n1，所以，所以（22+23+2n+1）（1+1+1）2n+2n+418如图，已知四边形ABCD是菱形，BAD60，AB2，四边形BDEF是平行四边形，DBF45，BF2，FAFC（1）求证：FD平面ABCD；（2）求二面角ADEB的余弦值解：（1）证明：连接AC交BD于O，连接OF，因为四边形ABCD是菱形，所以O点是AC中点，ACBD，又因为FAFC，所以OFAC，又因为BDACO，所以AC平面FBD，因为FD平面FBD，所以ACFD，因为四边形ABCD是菱形，BAD60，AB2，所以BD2，又因为DBF45，BF2，所以FD2，于是BF2BD2+
20、DF2，所以FDBD，因为ACBDO，所以FD平面ABCD（2）建立如图所示的空间直角坐标系，（，1，0），（0，2，2），设平面ADE的法向量为（x，y，z），则，令y，（1，），平面BED的法向量为（1，0，0），因为二面角ADEB为锐角，所以二面角ADEB的余弦值为19在某学校某次射箭比赛中，随机抽取了100名学员的成绩（单位：环），并把所得数据制成了如下所示的频数分布表：成绩分组4，5）5，6）6，7）7，8）8，9）9，10频数5182826176（1）求抽取的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知这次比赛共有2000名学员参加，如果近似地认为这次成绩Z服从
21、正态分布N（，2）（其中近似为样本平均数，2近似为样本方差s21.61），且规定8.27环是合格线，那么在这2000名学员中，合格的有多少人？（3）已知样本中成绩在9，10的6名学员中，有4名男生和2名女生，现从中任选3人代表学校参加全国比赛，记选出的男生人数为，求的分布列与期望E附：若ZN（，2），则P（Z+）0.6827，P（2Z+2）0.9545，1.27，结果取整数部分解：（1）由所得数据列成的频数分布表，得样本平均数4.50.05+5.50.18+6.50.28+7.50.26+8.50.17+9.50.067（2）由（1）知ZN（7，1.61），所以P（Z8.27）0.15865，
22、所以在这2000名学员中，合格的有20000.15865317人（3）由已知得的可能取值为1，2，3，P（1），P（2），P（3），所以的分布列为：123P 所以E（）1+2+32（人）20如图，已知椭圆E：1（ab0）的离心率为，A，B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆E上异于A，B的一个动点，直线l过点B且垂直于x轴，直线AP与l交于点Q，圆C以BQ为直径当点P在椭圆短轴端点时，圆C的面积为（1）求椭圆E的标准方程；（2）设圆C与PB的另一交点为点R，记AQR的面积为S1，BQR的面积为S2，试判断是否为定值，若是定值，求出这个定值，若不是定值，求的取值范围解：（1）由已知，当点P在短轴端点时，
23、由AOP相似于ABQBQ2b，所以圆C的面积为b2，所以b1，a2，所以椭圆的标准方程为+y21（2）设P（x0，y0），则+y021，A，B的坐标分别为（2，0），（2，0），所以kAP，直线AP的方程为y（x+2），令x2时，Q（2，），又kBP，点R在圆上，所以QRBR，因此kQR，所以直线RQ的方程为y（x2），即y0（x0+2）y4y02（4x02）（x2），由是得到4x024y02，代入直线RQ的方程，化简为4y0x（x0+2）y4y00，设A，B两点到直线RQ的距离分别为d1，d2，则3，为定值21已知函数f（x）xex+ax+bcosx（1）当b0时，讨论函数f（x）极值点的个
24、数；（2）当b2，x0时，都有f（x）2ex4，求实数a的取值范围解：（1）b0，f（x）xex+axf（x）（x+1）ex+a，记g（x）f（x），g（x）（x+2）ex，令g（x）0，得x2，f（2）a，当x2时，g（x）0，g（x）单调递减，af（x）a，当x2时，g（x）0，g（x）单调递增，f（x）a，当a0，即a，f（x）0，f（x）单调递增，无极值点；当a0且a0，即0a时，f（x）0有两个不同的根，f（x）有两个极值点，当a0时，f（x）0有一个根，f（x）有一个极值点（2）依题意（x2）ex+axx2cosx+40对任意的x0恒成立，记h（x）（x2）ex+axx2cosx+
25、4，h（0）0，h（x）（x1）ex+a+2sinx，h（0）a1，h（x）xex+2cosx，所以x0，时，xex0，2cosx0h（x）0，x，+）时，xexe2，h（x）2+2cosx0，所以h（x）在（0，+）上单调递增，a10即a1时，h（x）h（0）a10，所以h（x）在（0，+）上单调递增，所以h（x）h（0）0恒成立，a10即a1时，h（0）0，h（4a）（3a）e4a+a+2sin（4a）3a+a+2sin（4a）0，所以存在x0（0，4a），使得h（x0）0，当0xx0时，h（x）0，所以h（x）在0，x0上的单调递减，当0xx0时，h（x）h（0）0，与题意不符，综上所述
26、，a的取值范围是1，+）（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin24cos（1）求曲线C1和C2的直角坐标方程；（2）已知点P（1，），曲线C1与C2相交于A，B两点，求|解：（1）曲线C1的参数方程为（t为参数），消去参数t得：曲线C2的极坐标方程为sin24cos，根据转换为直角坐标方程为y24x（2）曲线C1的参数方程为（t为参数），转换为标准式为（t为参数），代入y24x，得到
27、：，所以，故选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+a|+|x|（a0）（1）求证：f（x）2；（2）当a时，f（x）x2+4x+m恒成立，求m的取值范围解：（1）证明：f（x）|x+a|+|x|（x+a）（x）|a+|a+2，当且仅当a1且1x1时，等号成立所以f（x）2；（2）当a时，f（x）x2+4x+m恒成立，即为|x+|+|x2|x2+4x+m恒成立，即有mx24x+|x2|+|x+|，设g（x）x24x+|x2|+|x+|，由yx24x（x2）244，当x2时，取得等号；又y|x2|+|x+|x2x|，当x2时，取得等号，所以g（x）x24x+|x2|+|x+|的最小值为g（2）4+，则m，即m的取值范围是（，