1、2016年黑龙江省大庆市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知全集为R，集合A=x|x1，那么集合RA等于（）Ax|x1Bx|x1Cx|x1Dx|x12复数的实部与虚部的和为（）AB1CD3如图，设，为互相垂直的单位向量，则向量可表示为（）A2B32C2D24已知a0，0b1，则下列结论正确的是（）AaabBaab2Cabab2Dabab25某校高一年级开设了校本课程，现从甲、乙两班各随机抽取了5名学生校本课程的学分，统计如下表，s1，s2分别表示甲，乙两班抽取的5名学生学分的标准差，则（）甲811141522乙67102324As1s2Bs1s2Cs1
2、=s2Ds1，s2大小不能确定6一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A12B6C4D27已知函数f（x）=x3+x2ax+1是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为（）A3，+）B（，C，+）D（，8直线y=k（x+1）（kR）与不等式组，表示的平面区域有公共点，则k的取值范围是（）A2，2B（，22，+）C，D（，+）9执行如图所示的程序框图，则输出的a=（）AB5CD410若x（e1，1），a=lnx，b=，c=elnx，则a，b，c的大小关系为（）AcbaBbcaCabcDbac11已知正项等比数列an满足：a7=a6+2a5，若存在两项am，an，使得=4a1，则+的最小值
3、为（）ABCD12抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线C上一点，且P在第一象限，PMl于点M，线段MF与抛物线C交于点N，若PF的斜率为，则=（）ABCD二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=x，则此双曲线的离心率为_14已知数列an是公差为3的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，则a10=_15已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为 4，底面边长为2，则该球的表面积为_16已知a0且a1，f（x）=x2ax当x（1，1），均有f（x），则实数a取值范围是_三、解答题（共5小题，满分60分）17
4、已知锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ccosA，bcosB，acosC成等差数列（）求角B的值；（）设函数f（x）=sinxcosxcos2x，求f（A）的取值范围18某单位利用周末时间组织员工进行一次“健康之路，携手共筑”徒步走健身活动，有n人参加，现将所有参加人员按年龄情况分为25，30），30，35，35，40），40，45），45，50），50，55六组，其频率分布直方图如图所示已知35，40）岁年龄段中的参加者有8人（1）求n的值并补全频率分布直方图；（2）从30，40）岁年龄段中采用分层抽样的方法抽取5人作为活动的组织者，其中选取2人作为领队，在选取的2名领队
5、中至少有1人的年龄在35，40）内的概率19如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，ABBC，D为AC的中点，A1A=AB=2，BC=3（1）求证：AB1平面BC1D；（2）求四棱锥BAA1C1D的体积20已知椭圆C： +=1（ab0）的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为4+2（1）求椭圆C的标准方程；（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求OPQ面积的取值范围21已知函数f（x）=lnx+（a0）（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线（1e）xy+1=0平行，求a的值；（2）若
6、不等式f（x）a对于x0的一切值恒成立，求实数a的取值范围请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-1：几何证明选讲22如图，已知O是ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是O的直径（1）求证：ACBC=ADAE；（2）过点C作O的切线交BA的延长线于点F，若AF=4，CF=6，求AC的长选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），圆C的方程是x2+y22x4y=0，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求直线l与圆C的极坐标方程；（2）设直线l与圆C的两个交点为M，N，求M，N两点的极
7、坐标（0，02），以及MON的面积选修4-5：不等式选讲24设函数f（x）=|2xa|+5x，其中a0（）当a=5时，求不等式f（x）5x+1的解集；（）若不等式f（x）0的解集为x|x1，求a的值2016年黑龙江省大庆市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知全集为R，集合A=x|x1，那么集合RA等于（）Ax|x1Bx|x1Cx|x1Dx|x1【考点】补集及其运算【分析】根据全集R及A，求出A的补集即可【解答】解：全集为R，集合A=x|x1，RA=x|x1故选：C2复数的实部与虚部的和为（）AB1CD【考点】复数代数形式的乘除运算【分
8、析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求得实部和虚部，然后作和得答案【解答】解：由=，得复数的实部与虚部分别为，1，数的实部与虚部的和为故选：D3如图，设，为互相垂直的单位向量，则向量可表示为（）A2B32C2D2【考点】向量的三角形法则【分析】以，为互相垂直的单位向量所在的直线分别为x轴和y轴，建立直角坐标系，求出向量的终点坐标以及的终点坐标，可得向量的坐标，从而得到答案【解答】解：以，为互相垂直的单位向量所在的直线分别为x轴和y轴，建立直角坐标系，则向量的终点坐标为（3，1），的终点坐标为（2，1），故向量可表示为：（3，1）（2，1）=（1，2）=2，故选 D4已知a0，0b1，则下列结论
9、正确的是（）AaabBaab2Cabab2Dabab2【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据不等式的基本性质，逐一分析四个结论的真假，可得答案【解答】解：a0，0b1，aab，故A错误；b21，aab2，故B错误；ab0，abab2，故C正确，D错误；故选：C5某校高一年级开设了校本课程，现从甲、乙两班各随机抽取了5名学生校本课程的学分，统计如下表，s1，s2分别表示甲，乙两班抽取的5名学生学分的标准差，则（）甲811141522乙67102324As1s2Bs1s2Cs1=s2Ds1，s2大小不能确定【考点】极差、方差与标准差【分析】根据表中数据，计算甲、乙两班的平均数、方差与标准差，即可
10、得出结论【解答】解：根据表中数据，计算甲班的平均数为=（8+11+14+15+22）=14，乙班的平均数为=（6+7+10+23+24）=14；甲班的方差为=（814）2+（1114）2+（1414）2+（1514）2+（2214）2=，乙班的方差为=（614）2+（714）2+（1014）2+（2314）2+（2414）2=，标准差为s1s2故选：B6一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A12B6C4D2【考点】由三视图求面积、体积【分析】几何体为半圆柱，根据三视图判断半圆柱的高与底面半径，把数据代入半圆柱的体积公式计算【解答】解：由三视图知：几何体为半圆柱，且半圆柱的高为3，底面
11、半径为2，几何体的体积V=223=6故选：B7已知函数f（x）=x3+x2ax+1是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为（）A3，+）B（，C，+）D（，【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】求出f（x），由题意f（x）0在R上恒成立，利用二次函数的性质求出a的取值范围即可得到满足题意的a范围【解答】解：f（x）=x3+x2ax+1，f（x）=3x2+2xa，由题意f（x）0在R上恒成立，0，即443a0，解得：a，实数a的取值范围为，+），故答案选：C8直线y=k（x+1）（kR）与不等式组，表示的平面区域有公共点，则k的取值范围是（）A2，2B（，22，+）C，D（，+）【考点】简单
12、线性规划【分析】作出可行域，k表示过定点（1，0）的直线y=k（x+1）的斜率，数形结合可得【解答】解：作出不等式组所对应的可行域（如图ABC），k表示过定点（1，0）的直线y=k（x+1）的斜率，数形结合可得当直线经过点A（0，2）时，直线的斜率取最大值2，当直线经过点B（0，2）时，直线的斜率取最小值2，故选：A9执行如图所示的程序框图，则输出的a=（）AB5CD4【考点】程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当n=1时，满足执行循环的条件，故a=，n=2，当n=2时，满
13、足执行循环的条件，故a=5，n=3，当n=3时，满足执行循环的条件，故a=，n=4，当n=4时，满足执行循环的条件，故a=，n=5，当n=2015时，满足执行循环的条件，故a=5，n=2016，当n=2016时，满足执行循环的条件，故a=，n=2017当n=2017时，不满足执行循环的条件，故输出的a值为，故选：C10若x（e1，1），a=lnx，b=，c=elnx，则a，b，c的大小关系为（）AcbaBbcaCabcDbac【考点】有理数指数幂的化简求值；对数值大小的比较【分析】依题意，由对数函数与指数函数的性质可求得a0，b1，c1，从而可得答案【解答】解：x（e1，1），a=lnxa（1
14、，0），即a0；又y=为减函数，b=1，即b1；又c=elnx=x（e1，1），bca故选B11已知正项等比数列an满足：a7=a6+2a5，若存在两项am，an，使得=4a1，则+的最小值为（）ABCD【考点】数列的应用【分析】设an的公比为q（q0），由等比数列的通项公式化简a7=a6+2a5，求出q，代入aman=16a12化简得m，n的关系式，由“1”的代换和基本不等式求出式子的范围，验证等号成立的条件，由m、n的值求出式子的最小值【解答】解：设正项等比数列an的公比为q，且q0，由a7=a6+2a5得：a6q=a6+，化简得，q2q2=0，解得q=2或q=1（舍去），因为aman=1
15、6a12，所（a1qm1）（a1qn1）=16a12，则qm+n2=16，解得m+n=6，+=（m+n）（+）=（17+）（17+2）=，当且仅当=，解得：m=，n=，因为m n取整数，所以均值不等式等号条件取不到， +，验证可得，当m=1、n=5时，取最小值为故答案选：B12抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线C上一点，且P在第一象限，PMl于点M，线段MF与抛物线C交于点N，若PF的斜率为，则=（）ABCD【考点】抛物线的简单性质【分析】过N作l的垂线，垂足为Q，则|NF|=|NQ|，|PF|=|PM|，于是PFM=PMF=MFO=MNQ，设=，则cosMNQ=，利用二倍角
16、公式求出cosPFx，列出方程解出【解答】解：过N作l的垂线，垂足为Q，则|NF|=|NQ|，设=，则，cosMNQ=cosMFO=|PM|=|PF|，PMF=PFM，PFM=MFO，cosPFx=cos2MFO=12cos2MFO=1tanPFx=，cosPFx=，1=，解得2=10即故选：B二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=x，则此双曲线的离心率为【考点】双曲线的简单性质【分析】利用双曲线的渐近线方程，进而可知a和b的关系，利用c=进而求得a和c的关系式，则双曲线的离心率可得【解答】解：中心在坐标原点，焦点在x轴上的
17、双曲线的渐近线方程为y=x，=，即b=c=ae=故答案为：；14已知数列an是公差为3的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，则a10=【考点】等差数列的通项公式【分析】由已知，利用等比数列的性质列式求得首项，代入等差数列的通项公式得答案【解答】解：在等差数列an中，d=3，且a1，a2，a5成等比数列，即，解得：故答案为：15已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为 4，底面边长为2，则该球的表面积为25【考点】球的体积和表面积【分析】正四棱锥PABCD的外接球的球心在它的高PE上，求出球的半径，求出球的表面积【解答】解：如图，正四棱锥PABCD中，PE为正四棱锥的高，根据球的相关
18、知识可知，正四棱锥的外接球的球心O必在正四棱锥的高线PE所在的直线上，延长PE交球面于一点F，连接AE，AF，由球的性质可知PAF为直角三角形且AEPF，根据平面几何中的射影定理可得PA2=PFPE，因为AE=2，所以侧棱长PA=2，PF=2R，所以20=2R4，所以R=，所以S=4R2=25故答案为：2516已知a0且a1，f（x）=x2ax当x（1，1），均有f（x），则实数a取值范围是，1）（1，2【考点】函数恒成立问题【分析】化简不等式f（x）为x2ax，构造函数h（x）=x2，g（x）=ax，根据图象建立不等式组，求解不等式组即可得到a的取值范围【解答】解：f（x）=x2ax，f（x
19、）可化为x2ax，即x2ax，令h（x）=x2，g（x）=ax，则如图，当x（1，1），不等式f（x）等价于h（x）=x2恒在g（x）=ax下方，即g（1）h（1），且g（1）h（1）解得，又a0且a1，即实数a取值范围是，1）（1，2故答案为：，1）（1，2三、解答题（共5小题，满分60分）17已知锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ccosA，bcosB，acosC成等差数列（）求角B的值；（）设函数f（x）=sinxcosxcos2x，求f（A）的取值范围【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理【分析】（）由等差数列及正弦定理，得到B（）化简f（x），由B的值，得到A
20、的取值范围，由此得到f（A）的范围【解答】解：（I）ccosA，bcosB，acosC成等差数列，2bcosB=ccosA+acosC在ABC中，由正弦定理a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，R为ABC外接圆的半径，可得：2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC，2sinBcosB=sin（A+C），又A+C=B，2sinBcosB=sin（B）=sinB，sinB0，（ II）=，又，故f（A）的取值范围为18某单位利用周末时间组织员工进行一次“健康之路，携手共筑”徒步走健身活动，有n人参加，现将所有参加人员按年龄情况分为25，30），30，35，35，40）
21、，40，45），45，50），50，55六组，其频率分布直方图如图所示已知35，40）岁年龄段中的参加者有8人（1）求n的值并补全频率分布直方图；（2）从30，40）岁年龄段中采用分层抽样的方法抽取5人作为活动的组织者，其中选取2人作为领队，在选取的2名领队中至少有1人的年龄在35，40）内的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图【分析】（I）先求出年龄在35，40）之间的频率，从而求出n，进而得到第二组的频率及矩形高，由此能作出频率分布直方图（II）由已知得30，35）之间的人数为12，35，40）之间的人数为8，从而采用分层抽样抽取5人，其中30，35）内有3人，
22、35，40）内有2人，由此利用列举法能求出选取的2名领队中至少有1人的年龄在35，40）内的概率【解答】解：（I）年龄在35，40）之间的频率为0.045=0.2，第二组的频率为：1（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）5=0.3，矩形高为所以频率分布直方图如右图所示（II）由（ I）知，30，35）之间的人数为0.06540=12，又35，40）之间的人数为8，因为30，35）之间的人数与35，40）之间的人数的比值为12：8=3：2，所以采用分层抽样抽取5人，其中30，35）内有3人，35，40）内有2人记年龄在30，35）岁的3人分别为a1，a2，a3，记年龄在35，40）
23、岁的2人为b1，b2选取2名领队的情况有10种：（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b1），（a2，b1），（a1，b2），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）；其中至少有1人的年龄在35，40）内的情况有7种：（a1，b1），（a2，b1），（a1，b2），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）选取的2名领队中至少有1人的年龄在35，40）内的概率为19如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，ABBC，D为AC的中点，A1A=AB=2，BC=3（1）求证：AB1平面BC1D；（2）求四棱锥BAA1C1D的
24、体积【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】（1）欲证AB1平面BC1D，根据线面平行的判定定理可知只需证AB1与平面BC1D内一直线平行，连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD，根据中位线定理可知ODAB1，OD平面BC1D，AB1平面BC1D，满足定理所需条件；（2）根据面面垂直的判定定理可知平面ABC平面AA1C1C，作BEAC，垂足为E，则BE平面AA1C1C，然后求出棱长，最后根据四棱锥BAA1C1D的体积求出四棱锥BAA1C1D的体积即可【解答】解：（1）证明：连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD，四边形BCC1B1是平行四边形，点O为B1
25、C的中点D为AC的中点，OD为AB1C的中位线，ODAB1OD平面BC1D，AB1平面BC1D，AB1平面BC1D（2）AA1平面ABC，AA1平面AA1C1C，平面ABC平面AA1C1C，且平面ABC平面AA1C1C=AC作BEAC，垂足为E，则BE平面AA1C1C，AB=BB1=2，BC=3，在RtABC中，四棱锥BAA1C1D的体积=3四棱锥BAA1C1D的体积为320已知椭圆C： +=1（ab0）的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为4+2（1）求椭圆C的标准方程；（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求OP
26、Q面积的取值范围【考点】椭圆的简单性质【分析】（ 1）设椭圆的半焦距为c，由已知得，又，a2=b2+c2，联立解出即可得出（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y=kx+m（m0），P（x1，y1），Q（x2，y2），与椭圆方程联立消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4（m21）=0，0，即4k2m2+10由直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，可得=k2解得k利用弦长公式与三角形面积计算公式即可得出【解答】解：（ 1）设椭圆的半焦距为c，由已知得，又，a2=b2+c2，解得，椭圆C的标准方程为（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y=
27、kx+m（m0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由，消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4（m21）=0，则=64k2m216（1+4k2）（m21）=16（4k2m2+1）0，即4k2m2+10，且，故直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，即，又m0，即，又4k2m2+10，0m22，由于直线OP，OQ的斜率存在，m21故=令t=m2，则0t2，且t1，记f（t）=t（2t）=t2+2t，f（t）的值域为（0，1）故OPQ面积的取值范围为（0，1）21已知函数f（x）=lnx+（a0）（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线（1e）xy+1=0平行，求a的值；（2
28、）若不等式f（x）a对于x0的一切值恒成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）对函数求导，f（1）=3ae，由题意得3ae=1e，即可求a的值；（2）将所要证明的式子变形，建立一个函数，求导后再建立一个新的函数，再求导需要用到两次求导再来通过最值确定正负号，再来确实原函数的单调性【解答】解：（ 1）函数的定义域为（0，+），f（1）=3ae，由题意得3ae=1e，解得a=2（2）不等式f（x）a对于x0的一切值恒成立，等价于xlnx+a+e2ax0对于x0的一切值恒成立记g（x）=xlnx+a+e2ax（x0），则g（x）=lnx+1
29、a令g（x）=0，得x=ea1，当x变化时，g（x），g（x）的变化情况如下表：x（0，ea1）ea1（ea1，+）g（x）_0+g（x）极小g（x）的最小值为g（ea1）=a+e2ea1记h（a）=a+e2ea1（a0），则h（a）=1ea1，令h（a）=0，得a=1当a变化时，h（a），h（a）的变化情况如下表：a0（0，1）1（1，+）h（a）+0h（a）极大值e2当0a1时，函数h（a）在（0，1）上为增函数，即g（x）在（0，+）上的最小值h（a）0，满足题意当1a2时，函数h（a）在1，2上为减函数，h（a）h（2）=0，即g（x）在（0，+）上的最小值h（a）0，满足题意当a2时
30、，函数h（a）在（2，+）上为减函数，h（a）h（2）=0，即g（x）在（0，+）上的最小值h（a）0，不满足题意综上，所求实数a的取值范围为0，2请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-1：几何证明选讲22如图，已知O是ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是O的直径（1）求证：ACBC=ADAE；（2）过点C作O的切线交BA的延长线于点F，若AF=4，CF=6，求AC的长【考点】与圆有关的比例线段【分析】（）首先连接BE，由圆周角定理可得C=E，又由AD是ABC的高，AE是ABC的外接圆的直径，可得ADC=ABE=90，则可证得ADC
31、ABE，然后由相似三角形的对应边成比例，即可证得ACAB=ADAE；（）证明AFCCFB，即可求AC的长【解答】（）证明：连接BE，AD是ABC的高，AE是ABC的外接圆的直径，ADC=ABE=90，C=E，ADCABEAC：AE=AD：AB，ACAB=ADAE，又AB=BC故ACBC=ADAE（）解：FC是O的切线，FC2=FAFB又AF=4，CF=6，从而解得BF=9，AB=BFAF=5ACF=CBF，CFB=AFC，AFCCFB选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），圆C的方程是x2+y22x4y=0，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐
32、标系（1）求直线l与圆C的极坐标方程；（2）设直线l与圆C的两个交点为M，N，求M，N两点的极坐标（0，02），以及MON的面积【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（1）直线l的参数方程是（t为参数），消去t可得直角坐标方程：x2y+3=0，把x=cos，y=sin代入可得极坐标方程圆C的方程是x2+y22x4y=0，把2=x2+y2，x=cos，y=sin代入可得极坐标方程（2）联立，消去可得：可得，由0，02，可得极坐标进而得出MON的面积S【解答】解：（1）直线l的参数方程是（t为参数），消去t可得直角坐标方程：x1=2（y2），即x2y+3=0，可得极坐标方程：c
33、os2sin+3=0圆C的方程是x2+y22x4y=0，把2=x2+y2，x=cos，y=sin代入可得极坐标方程：22cos4sin=0，即=2cos+4sin（2）联立，消去可得：2（cos24sin2）+3=0，可得，由0，02，可得：，或点M，N的极坐标分别为：，MON=，MON的面积S=3选修4-5：不等式选讲24设函数f（x）=|2xa|+5x，其中a0（）当a=5时，求不等式f（x）5x+1的解集；（）若不等式f（x）0的解集为x|x1，求a的值【考点】绝对值不等式的解法【分析】（）当a=5时，不等式f（x）5x+1，即|2x5|1，即 2x51，或2x51，由此求得x的范围（）把要解的不等式等价转化为与之等价的两个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得不等式的解集，再根据不等式f（x）0的解集为x|x1，求得a的值【解答】解：（）当a=5时，不等式f（x）5x+1，即|2x5|+5x5x+1，即|2x5|1，即 2x51，或2x51求得x2，或x3，故原不等式的解集为x|x2，或x3（）a0，不等式f（x）0，即，或解可得x，故无解；解可得x，故原不等式的解集为x|x再根据已知原不等式的解集为x|x1，可得=1，a=32016年9月19日