1、第2课时数列的通项公式与递推公式学习目标1.了解递推公式是给出数列的一种方法.(数学抽象)2.理解递推公式的含义,能够根据递推公式写出数列的前几项.(数学抽象)3.掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式的方法.(逻辑推理)必备知识自主学习导思1.数列的递推公式的含义是什么?2.数列递推公式与通项公式有什么关系?数列递推公式(1)定义:条件已知数列的第1项(或前几项);从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示.结论具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式 (2)本质:递推公式是给出数列的一种重要方法,是关于项数n的恒等式.(3)作用:
2、写出数列的任意一项;分析数列的性质.数列递推公式与通项公式有什么区别和联系?提示:不同点相同点通项公式可根据某项的序号,直接用代入法求出该项都可确定一个数列,都可求出数列的任何一项递推公式可根据第1项或前几项的值,通过一次或多次赋值逐项求出数列的项,直至求出所需的项1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”).(1)所有的数列都有递推公式.()(2)由公式an+1=an-2(n1)可写出数列an的所有项.()(3)若数列an满足an+1=an(n1),则该数列是常数列.()提示:(1).并不是所有的数列都有递推公式.例如精确到1,0.1,0.01,0.001, 的不足近似值排列成一列数:1,1.4,
3、1.41,1.414,就没有递推公式.(2).还需知道数列中至少一项的值.(3).该数列每一项都相同.2.在数列an中,a1=-1,an+1=an-3,则a3等于()A.-7B.-4C.-1D.2【解析】选A.a2=a1-3=-1-3=-4,a3=a2-3=-4-3=-7.3.(教材二次开发:练习改编)已知数列an满足a10,=2(nN*),则数列an是数列(填“递增”或“递减”).【解析】由已知a10,an+1=2an(nN*),得an0(nN*).又an+1-an=2an-an=an1);(2)a1=1,an=(n1).【解析】1.选C.由已知得a2=2a1+1=21+1=3,a3=2a2
4、+1=23+1=7,a4=2a3+1=27+1=15.2.选D.因为a1=-2,an+1=1-,所以a2=1+=,a3=1-=1-=,a4=1-=1-3=-2,所以数列an是周期T=3的周期数列,所以a2 021=a2=.3.(1)因为a1=1,an=-1(n1),所以a2=12-1=0,a3=02-1=-1,a4=(-1)2-1=0,a5=02-1=-1.(2)因为a1=1,an=(n1),所以a2=,a3=,a4=,a5=.由递推公式写出数列的项的方法(1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.(2)解答这类问题时还需注意:若知道的是首项,通常将所
5、给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式.(3)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.【补偿训练】 根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前5项,并归纳出通项公式.(1)a1=0,an+1=an+(2n-1)(nN*),(2)a1=1,an+1=(nN*),(3)a1=3,an+1=3an-2(nN*).【解析】(1)因为a1=0,a2=1,a3=4,a4=9,a5=16,所以an=(n-1)2.(2)因为a1=1,a2=,a3=,a4=,a5=,所以an=.(3)因为a1=3=1+230,a2=7=1+231,a3=19=1+232,a4=55=1+233,a5=
6、163=1+234,所以an=1+23n-1.类型二由递推公式求通项公式(数学抽象、逻辑推理)角度1累加法【典例】在数列an中,a1=2,an+1=an+ln,求数列的通项公式an.【思路导引】将递推公式整理为an+1-an=f(n),累加求通项公式.【解析】an+1-an=ln=ln(1+n)-ln n,a1=2,a2-a1=ln 2,a3-a2=ln 3-ln 2,a4-a3=ln 4-ln 3,an-an-1=ln n-ln(n-1)(n2),以上各式相加得an=2+ln 2+(ln 3-ln 2)+ln n-ln(n-1).所以an=2+ln n(n2).因为a1=2也适合上式,所以a
7、n=2+ln n.将本例的条件改为“在数列an中,a1=1,an=an-1+(n2)”,求数列的通项公式.【解析】因为an=an-1+(n2),所以an-an-1=-,所以a1=1,a2-a1=-,a3-a2=-,a4-a3=-,an-an-1=-.所以an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+(an-an-1)=1+(-)+(-)+(-)+(-)=-+1.当n=1时,a1=1也适合上式,所以an=-+1.角度2累乘法【典例】设数列an中,a1=1,an=an-1(n2),求数列的通项公式an.【思路导引】将递推公式整理为=f(n),累乘求通项公式.【解析】因为a1=1,an
8、=an-1(n2),所以=,an=a1=1=.又因为n=1时,a1=1,符合上式,所以an=.1.用“累加法”求数列的通项公式当an-an-1=f(n)(n2)满足一定条件时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1累加来求通项an.2.用“累乘法”求数列的通项公式当=g(n)(n2)满足一定条件时,常用an=a1累乘来求通项an.1.已知数列an满足a1=2,an+1=3an(nN*),求这个数列的通项公式.【解析】由an+1=3an得=3.因此可得=3,=3,=3,=3.将上面的n-1个式子相乘可得=3n-1.即=3n-1,所以an=a13n-1,又a1=
9、2,故an=23n-1.2.已知数列an满足a1=-1,an+1=an+,nN*,求通项公式an.【解题指南】先将an+1=an+变形为an+1-an=-,再用累加法求an.【解析】因为an+1-an=,所以a2-a1=;a3-a2=;a4-a3=;an-an-1=(n2).以上各式累加得an-a1=+=+=1-.所以an+1=1-,所以an=-(n2).又因为n=1时,a1=-1,符合上式,所以an=-(nN*).【补偿训练】 已知数列an中,a1=1,当nN*且n2时,(2n+1)an=(2n-3)an-1,求通项公式an.【解析】当n2,因为(2n+1)an=(2n-3)an-1,所以=
10、,所以=.所以=,所以an=,当n=1时符合上式,所以an=,nN*.类型三数列的函数性质(数学抽象)【典例】已知数列an的通项公式是an=(n+1),试问该数列有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的序号;若没有,请说明理由.四步内容理解题意条件:数列an的通项公式是an=(n+1)结论:判断该数列有没有最大项思路探求方法一:作差法分析an+1与an的大小关系;方法二:依据求最大项.书写表达方法一:an+1-an=(n+2)当n0,即an+1an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n9时,an+1-an0,即an+1an,则an是单调递增数列;若an+10,则数列an是单调
11、递增数列;若an+1-an1(an0,nN*)或1(an0,nN*),则数列an是单调递增数列;若0,nN*)或1(anan+1,所以-2n2+n-2(n+1)2+(n+1),解得4n+2,因为数列4n+2单调递增,所以n=1时取得最小值6,所以6.2.已知数列an中,an=(nN*),求数列an的最大项.【解析】an=1+,当n16时,an1且an单调递减.因此数列an的最大项是第16项,a16=40.3.数列an的通项公式为an=n2-5n+4.(1)数列中有多少项是负数?(2)当n为何值时,an有最小值?并求出最小值.【解析】(1)令an=n2-5n+40,得1n4,nN*,所以数列中仅
12、有两项a2,a3是负数.(2)an=n2-5n+4=-,其对称轴为n=,又nN*,所以n取2,3时,an有最小值-2.课堂检测素养达标1.符合递推关系式an=an-1的数列是()A.1,2,3,4,B.1,2,2,C.,2,2,D.0,2,2,【解析】选B.B中从第二项起,后一项是前一项的倍,符合递推公式an=an-1.2.已知数列an的通项公式为an=,则数列an为()A.递增数列B.递减数列C.常数列D.无法确定数列的增减性【解析】选B.因为an=2+,所以n2时,an-an-1=2+-2-=-0,所以anan-1,所以数列an为递减数列.3.在数列an中,a1=2,an+1-an-3=0
13、,则an的通项公式为()A.an=3n+2B.an=3n-2C.an=3n-1D.an=3n+1【解析】选C.因为a1=2,an+1-an-3=0,所以n2时,an-an-1=3,an-1-an-2=3,an-2-an-3=3,a2-a1=3,以上各式相加,则有an-a1=(n-1)3,所以an=2+3(n-1)=3n-1.a1=2也符合上式,所以an=3n-1.4.已知数列an中,a1=2,an=-(n2),则a2 020=.【解析】因为a2=-=-,a3=-=2,a4=-=a2,所以an的周期为2,所以a2 020=a2=-.答案:-5.(教材二次开发:例题改编)设数列an中,满足a1=1,an+1=2+(n1),写出这个数列的前5项.【解析】由题意可知a1=1,a2=2+=2+=3,a3=2+=2+=,a4=2+=2+=,a5=2+=2+=.
