1、思维方法数形结合观点 解析几何是数形结合的科学，其显著特点是用代数的方法研究几何图形的性质，从而把代数、几何、三角熔为一炉解题时，要贯穿数形结合的观点，不但要注意把图形数字化和把数式图形化，而且还要留心观察图形的特点，发掘题目中的隐含条件，充分利用图形的几何性质，把数与形有机地结合在一起，去探索问题的最佳解法例1 过圆M：(x-1)2(y-1)2=1外一点P向此圆作两条切线，当这两切线互相垂直时，求动点P的轨迹方程【分析】 本题一般用参数法去解，但运算量大且有一定的技巧，不易求解如果运用数形结合的观点，仔细观察图形的性质，不难发现动点P是正方形PT1MT2的顶点，因此|PM|是定值，立得简捷解
2、法如下【解】 如图110，设切点为T1、T2，连结MT1、MT2、PM，则MT1T1P，MT2PT2，又T1PPT2，且|PT1|=|PT2|，那么MT2PT1设动点P(x，y)，则(x1)2+(y-1)2=2，这就是所求的轨迹方程的对称点为Q，点P绕圆心C依逆时针方向旋转120后到达点R，求线段RQ长度的最大值和最小值)，然后求出点Q、R的坐标，最后用两点间距离公式，求出|RQ|的最值但这种解法运算量较大，还易出错观察图111，在PRQ中，欲求|RQ|，因A是PQ的中点，易想起三角形的中位线，从而取PR的中点B，连结BA，则|RQ|=2|AB|又求|QR|的最值，转化为求点A与所作圆上点的距
3、离的最值过C、A作直线，交所作圆于B1、B2两点，则由平面几何知，|AB|的最大值为x2，求a的值集【分析与解】 本题如果用纯代数法，着眼于求出集合A，就相当麻烦如果用数形结合的观点看待已知不等式，从“形”的角度去考虑可得下列简捷解法：为半径的半圆(如图112)，而y=(a-1)x是过原点的直线束问题转化为：求半圆在动直线上方且0x2时，a的值集易得a-11，即a2故a的值集为a|a2【解说】 由以上三例可知，数与形密切配合，坐标法以图形性质相助，如虎添翼，问题可迎刃而解 习题13 用数形结合观点解证下列各题：1过圆M：(xa)2y2=a2(a0)上一点A(2a，0)作此圆的动弦AB，求AB中点P的轨迹方程必与相应的准线相交u=x2y2的最大值和最小值 习题13答案或提示 1连MP，则MPAB，从而P的轨迹是以AM为直径的圆，方2欲证准线l与以AB为直径的圆相交，即证圆心M到l的距离小于半径设过A、B、M分别作准线l的垂线，重足分别为P、Q、N，(x，y)是以F1(-1，0)、F2(1，0)为焦点、长轴为8的椭圆上的动点umax=16，umin=15b2)1，即(a2b2-1)20，所以a2b2=1
