1、课时跟踪检测（三十） 等比数列一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2019如东中学检测)已知等比数列an的公比q，则_.解析：2.答案：22(2018盐城期中)在等比数列an中，已知a1a21，a3a42，则a9a10_.解析：设等比数列an的公比为q，则a3a4q2(a1a2)，所以q22，所以a9a10q8(a1a2)16.答案：163(2018苏州期末)设各项均为正数的等比数列的前n项和为Sn，已知a26，a33a112，则S5_.解析：a26，a33a112，且q0，解得a12，q3，S5242.答案：2424在等比数列an中，若a1a516，a48，则a6_.解析：由题意得，a2a4a
2、1a516，所以a22，所以q24，所以a6a4q232.答案：325(2019南京一模)若等比数列的前n项和为Sn，且a11，S63S3，则a7的值为_解析：设等比数列的公比为q，因为a11，S63S3，当q1时，不满足S63S3；当q1时，可得，化简得q313，即q32，所以a7a1q64.答案：46(2018常州期末)已知等比数列an的各项均为正数，且a1a2，a3a4a5a640，则的值为_解析：两式相除可得q2q490，即q210(舍)或q29.又an0，所以q3，故a1，所以a7a8a93435361 053，即117.答案：117二保高考，全练题型做到高考达标1(2018徐州期末
3、)设等比数列的公比为q，前n项和为Sn，若S2是S3与S4的等差中项，则实数q的值为_解析：S2是S3与S4的等差中项，2S2S3S4，2a3a40，解得q2.答案：22(2019如皋模拟)已知数列是正项等比数列，满足log2an11log2an(nN*)，且a1a2a3a4a52，则log2(a51a52a53a54a55)_.解析：log2an11log2an，log21，可得q2.a1a2a3a4a52，log2(a51a52a53a54a55)log2(a1a2a3a4a5)q50log225151.答案：513设等比数列的公比为q(0q1)，前n项和为Sn.若存在mN*，使得am a
4、m2am1，且Sm1 022am1，则m的值为_解析：amam2am1，Sm1 022am1，解得m9，q.答案：94(2018启东检测)数列an满足an1an1(nN*，R且0)，若数列an1是等比数列，则_.解析：由an1an1，得an11an2.因为数列an1是等比数列，所以1，得2.答案：25(2019姜堰模拟)已知等比数列an的前n项和为Sn，且，则_.解析：设等比数列an的公比为q，由，得q1，化简得，解得q.所以q2.答案：6(2018海安中学测试)在各项均为正数的等比数列an中，若am1am12am(m2)，数列an的前n项积为Tn，若T2m1512，则m_.解析：由等比数列的
5、性质可知am1am1a2am(m2)，所以am2，即数列an为常数列，an2，所以T2m122m151229，即2m19，所以m5.答案：57已知数列an中，a12，且4(an1an)(nN*)，则其前9项和S9_.解析：由已知，得a4anan14a，即a4anan14a(an12an)20，所以an12an，所以数列an是首项为2，公比为2的等比数列，故S921021 022.答案：1 0228(2019徐州调研)已知正项等比数列的前n项和为Sn且S82S46，则a9a10a11a12的最小值为_解析：因为S82S46，所以S8S4S46.由等比数列的性质可得，S4，S8S4，S12S8成等
6、比数列，所以S4(S12S8)(S8S4)2，所以a9a10a11a12S12S8S41224，当且仅当S46时等号成立故a9a10a11a12的最小值为24.答案：249在公差不为零的等差数列an中，a11，a2，a4，a8成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2an，Tnb1b2bn，求Tn.解：(1)设等差数列an的公差为d，则依题意有解得d1或d0(舍去)，所以an1(n1)n.(2)由(1)得ann，所以bn2n，所以2，所以bn是首项为2，公比为2的等比数列，所以Tn2n12.10(2018苏州高三期中调研)已知数列an各项均为正数，a11，a22，且anan3an1a
7、n2对任意nN*恒成立，记an的前n项和为Sn.(1)若a33，求a5的值；(2)证明：对任意正实数p，a2npa2n1成等比数列；(3)是否存在正实数t，使得数列Snt为等比数列若存在，求出此时an和Sn的表达式；若不存在，说明理由解：(1)因为a1a4a2a3，所以a46，又因为a2a5a3a4，所以a5a49.(2)证明：由两式相乘得anan1an3an4an1aan3，因为an0，所以anan4a(nN*)，从而an的奇数项和偶数项均构成等比数列，设公比分别为q1，q2，则a2na2q2q，a2n1a1qq，又因为，所以2，即q1q2，设q1q2q，则a2npa2n1q(a2n2pa2
8、n3)，且a2npa2n10恒成立，所以数列a2npa2n1是首项为2p，公比为q的等比数列(3)法一：在(2)中令p1，则数列a2na2n1是首项为3，公比为q的等比数列，所以S2k(a2ka2k1)(a2k2a2k3)(a2a1)S2k1S2ka2k且S11，S23，S33q，S433q，因为数列Snt为等比数列，所以即即解得或(舍去)所以S2k4k122k1，S2k122k11，从而对任意nN*有Sn2n1，此时Snt2n，2为常数，满足Snt成等比数列，当n2时，anSnSn12n2n12n1，又a11，所以an2n1(nN*)，综上，存在t1使数列Snt为等比数列，此时an2n1，S
9、n2n1(nN*)法二：由(2)知a2n2qn1，a2n1qn1，且S11，S23，S33q，S433q，因为数列Snt为等比数列，所以即即解得或(舍去)所以a2n2qn122n1，a2n122n2，从而对任意nN*有an2n1，所以Sn2021222n12n1，此时Snt2n，2为常数，满足Snt成等比数列，综上，存在t1使数列Snt为等比数列，此时an2n1，Sn2n1(nN*). 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1各项均为正数的等比数列an中，若a11，a22，a33，则a4的取值范围是_解析：设an的公比为q，则根据题意得q，q2，a4a3q，a4a2q28，a4.答案：2(2018泰州
10、中学高三学情调研)设正项等比数列an满足2a5a3a4，若存在两项an，am，使得a14，则mn_.解析：设等比数列an的公比为q.正项等比数列an满足2a5a3a4，则2a3q2a3(1q)，可得2q2q10，q0，解得q，若存在两项an，am，使得a14，可得a14 ，所以mn6.答案：63(2019苏锡常镇调研)已知数列an的前n项和为Sn，a13，且对任意的正整数n，都有Sn1Sn3n1，其中常数0.设bn(nN*)(1)若3，求数列的通项公式；(2)若1且3，设cnan3n(nN*)，证明数列是等比数列；(3)若对任意的正整数n，都有bn3，求实数的取值范围解：因为Sn1Sn3n1，
11、nN*，所以当n2时，SnSn13n，从而an1an23n，n2，nN*在Sn1Sn3n1中，令n1，可得a2a1231，满足上式，所以an1an23n，nN*.(1)当3时， an13an23n，nN*，从而，即bn1bn，又b11，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，所以bn1(n1).(2)证明：当0且3且1时，cnan3nan123n13nan13n1(33)cn1，又c130，所以是首项为，公比为的等比数列，故cnn1.(3)在(2)中，若1，则cn0也可使an有意义，所以当3时，cnn1.从而由(1)和(2)可知an当3时，bn，显然不满足条件，故3.当3时，bnn1.若3, 0，bnbn1，nN*，bn1，)，不符合，舍去若01，0，0，bnbn1，nN*，且bn0.所以只需b113即可，显然成立故01符合条件；若1，bn1，满足条件故1符合条件；若13，0，0，从而bnbn1，nN*，因为b110.故bn，要使bn3恒成立，只需3即可所以1.综上所述，实数的取值范围是.