1、2006-10-15 2006-10-15-1-2006 年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案一、（本题满分 50 分）以0B 和1B 为焦点的椭圆与01AB B 的边iAB 交于iC（0,1i=）.在0AB 的延长线上任取点0P，以0B 为圆心，00B P 为半径作圆弧 00PQ 交10C B 的延长线于0Q；以1C 为圆心，10C Q 为半径作圆弧 0 1Q P 交1B A 的延长线于1P；以1B 为圆心，1 1B P 为半径作圆弧 11PQ 交10B C的延长线于1Q；以0C 为圆心，01C Q 为半径作圆弧 10Q P，交0AB的延长线于0P.试证：（1）点0P与点0P 重合，且圆弧
2、 00PQ 与 01PQ 相内切于0P；（2）四点0011,P Q Q P 共圆.【证明】（1）显然0000B PB Q=，并由圆弧 00PQ 和 0 1Q P，0 1Q P 和 11PQ，11PQ 和 10Q P 分别相内切于点011,Q P Q，得10001 1C BB QC P+=,111 11001B CC PB CC Q+=+以及010000.C QC BB P=+四式相加，利用11101000B CC BB CC B+=+以及0P 在00B P 或其延长线上，有0000B PB P=.从而可知点0P与点0P 重合。由于圆弧 10Q P 的圆心0C,圆弧 00PQ 的圆心0B 以及0
3、P 在同一直线上，所以圆弧 10Q P 和 00P Q 相内切于点0P.（2）现在分别过点0P 和1P 引上述相应相切圆弧的公切线0PT 和1PT 交于点 T.又过点1Q 引相应相切圆弧的公切线11R S，分别交0PT 和1PT 于点1R 和1S.连接01PQ 和11PQ，得等腰三角形011PQ R 和111PQ S.基于此，我们可由 ()()01 101111110101011 10 PQ PPQ RPQ SPPTQ P PP PTQ PP=2006-10-15 2006-10-15-2-而 01 11011 10PQ PQ P PQ PP =+，代入上式后，即得()01 1100112PQ
4、 PPPTP PT=+.同理可得()001100112PQ PPPTP PT=+.所以四点0011,P Q Q P 共圆.二、（本题满分 50 分）已知无穷数列 na满足yaxa=10,，1111+=nnnnnaaaaa,2,1=n.1)对于怎样的实数 x 与 y，总存在正整数0n，使当0nn 时na 恒为常数？2)求通项na.【解】1)我们有 2111111nnnnnnnnnna aaaaaaaaa+=+，1,2,.n=（2.1）所以，如果对某个正整数 n，有1nnaa+=，则必有 21na=,且 10nnaa+.如果该1n=，我们得 1y=且 xy.（2.2）如果该1n，我们有 12121
5、2121(1)(1)11nnnnnnnnnaaaaaaaaa+=+,2n （2.3）和 121212121(1)(1)11nnnnnnnnnaaaaaaaaa+=+=+,2.n （2.4）将式（2.3）和（2.4）两端相乘，得 222121212111nnnnnnnaaaaaaa=+,2.n （2.5）由（2.5）递推，必有（2.2）或 1x=且 yx.（2.6）反之，如果条件（2.2）或（2.6）满足，则当2n 时，必有na=常数，且常数是 1 或1.2）由（2.3）和（2.4），我们得到 1212111111nnnnnnaaaaaa=+,2.n （2.7）2006-10-15 2006-1
6、0-15-3-记11nnnaba=+,则当2n 时，2232122322334334()()nnnnnnnnnnnnnbbbbbbbbbbbbb=由此递推，我们得到 12111111nnFFnnayxayx=+,2,n （2.8）这里 12nnnFFF=+，2n,011FF=.（2.9）由（2.9）解得 1111515225nnnF+=.（2.10）上式中的 n 还可以向负向延伸，例如 120,1FF=.这样一来，式（2.8）对所有的0n 都成立.由（2.8）解得 21212121(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)nnnnnnnnFFFFnFFFFxyxyaxyxy+=+,0n.
7、（2.11）式（2.11）中的12,nnFF 由（2.10）确定.三、（本题满分 50 分）解方程组=+=+=+=+.66,20,6,2444433332222wzyxwzyxwzyxwzyx【解】令,pxz qxz=+=我们有 222333444222,3,42,pxzqpxzpqpxzp qq=+=+=+同样，令,syw tyw=+=有 222333444222,3,42.sywtsywstsyws tt=+=+=+在此记号系统下，原方程组的第一个方程为 2ps=+.（3.1）于是 2006-10-15 2006-10-15-4-2233244344,6128,8243216,psspss
8、spssss=+=+=+现在将上面准备的234,ppp 和234,ss s 的表达式代入，得 2222333324422442232244,336128,42428243216,xzqywtsxzpqywstssxzp qqyws ttsss+=+=+=+利用原方程组的第二至四式化简，得 222223221,(3.2)244,(3.3)224121625,qtspqstssp qqs ttsss=+=+=+(3.4)将（3.1）和（3.2）代入（3.3），得 1.2st=（3.5）将（3.5）代入（3.2），得 52.2qs=（3.6）将（3.1）（3.5）（3.6）代入（3.4），得 2.s=所以有 0,4,3.tpq=这样一来，,x z 和,y w 分别是方程2430XX+=和220YY=的两根,即 3,1xz=或 1,3xz=且 2,0yw=或 0,2.yw=详言之，方程组有如下四组解：3,2,1,0 xyzw=；或 3,0,1,2xyzw=；或 1,2,3,0 xyzw=；或 1,0,3,2xyzw=.注：如果只得到一组解，或者不完整，最多得 40 分。关于加试试题的背景说明可陆续见王兴华教授 http:/wangxinghua.name 和浙江省数学会网站 http:/www.zjms.org.有兴趣的同志敬请关注。