1、江西省南昌县莲塘第一中学2019-2020学年高二数学5月复学考试试题 文（含解析）一、选择题（12*5=60分）1.已知i为虚数单位，则复数的共轭复数为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据完全平方公式化简复数后，再根据共轭复数的概念可得结果.【详解】,所以复数的共轭复数为，故选：D【点睛】本题考查了复数的代数运算，考查了共轭复数的概念，属于基础题.2.已知命题：，那么命题是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】根据全称命题的否定直接判断结果.【详解】把全称量词变为存在量词，再把“”变为“”.所以命题：，那么命题是，.故选：B【点睛】本题考查全
2、称命题的否定，重点考查命题否定的形式，属于基础题型.3.下列式子错误的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，依次计算选项函数的导数，综合即可得答案【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，正确；对于B，错误；对于C，正确；对于D，正确；故选：B【点睛】本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题4.设，则“”关于方程“有实数根”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】以为条件，判断有实数根是否成立；以有实数根为条件，判断是否成立，即可选出正确答案.【详解】解：当时， ，此时有实
3、数根；当有实数根时，即.故选:A.【点睛】本题考查了命题的充分必要条件的判断.一般此类问题分为两步，若，则 是 的充分条件；若，则 是 的必要条件.5.命题“若，则且”的逆否命题是（ ）A. “若且，则”B. “若或，则”C. “若且，则”D. “若或，则”【答案】B【解析】【分析】直接根据逆否命题的定义得到答案.【详解】命题“若，则且”的逆否命题是：若或，则.故选：.【点睛】本题考查了逆否命题，意在考查学生对于逆否命题的理解.6.已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，则该椭圆的离心率是A. B. C. D. 【答案】A【解析】抛物线焦点为，所以，所以，椭圆的离心率为.选A.7.若曲线在点处的
4、切线与直线平行，则a=（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】对函数求导，由切线与直线平行，得出导数在的导数值为，于此可得出实数的值【详解】因为，所以，解得，故选C.【点睛】本题考查导数的几何意义，解题的关键就是要根据直线与切线的位置关系，得出斜率之间的关系，进而列方程求解，考查计算能力，属于基础题8.已知双曲线的一条渐近线过圆的圆心，则的离心率为（ ）A. 3B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】双曲线的渐近线为，把代入，求出后，根据关系可求【详解】解：双曲线渐近线过，故选：B【点睛】通过找的关系求双曲线离心率；基础题.9.方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值
5、范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据椭圆焦点在轴上的方程特征，建立的不等量关系，求解即可.【详解】方程表示焦点在轴上的椭圆，解得.故选：D.【点睛】本题考查椭圆标准方程，熟记椭圆标准方程满足的条件即可，属于基础题.10.已知函数，若，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求导数，判断函数的单调性，再比较的大小可得选项.【详解】因为，所以为增函数，因为，所以，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查比较大小，判断函数的单调性是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.11.过双曲线：（，）的左焦点作圆：的切线，设切点为，延长交双曲线于，
6、若点为线段的中点，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】取双曲线右焦点,连接，由题意可知，为直角三角形，且由勾股定理可知，选A.12.已知函数，若对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先利用换元法将函数，转化为，利用双勾函数的性质求得值域，利用导数法求得的值域，再根据对于任意，总存在，使得成立，则由的值域包含的值域求解.【详解】已知函数，令，所以在上递减，在上递增，当时，当时，当时，所以，即的值域为.因为所以又因为，所以，所以在时递减，所以的值域为.因为对于任意，总存在，使得成立，所以的值域包含的值域即
7、，所以，解得.故选：A【点睛】本题主要考查函数值域的求法以及双变量问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.二、填空题（4*5=60分）13.是虚数单位，则的值为_.【答案】【解析】【分析】利用复数的除法运算将复数化为一般形式，然后利用复数的模长公式可求出的值.【详解】，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题.14.已知命题，则对应的集合为_【答案】【解析】试题分析：，因此为考点：命题的否定15.函数的单调递减区间为_【答案】【解析】【分析】由出导函数，由确定减区间但要注意定义域【详解】函数定义域是，由题意，当时，时
8、，减区间为故答案为：【点睛】本题考查用导数求函数的单调区间，解题时一般先求出导函数，由确定增区间，由确定减区间16.已知是抛物线的焦点，过作直线与相交于两点，且在第一象限，若，则直线的斜率是_【答案】【解析】【分析】作出准线，过作准线的垂线，利用抛物线的定义把抛物线点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用平面几何知识计算出直线的斜率【详解】设是准线，过作于，过作于，过作于，如图，则，直线斜率为故答案为：【点睛】本题考查抛物线的焦点弦问题，解题关键是利用抛物线的定义，把抛物线上点到焦点距离转化为该点到准线的距离，用平面几何方法求解三、解答题（共70分）17.已知函数，当时，有极大值3；（1）求，
9、的值；（2）求函数的极小值及单调区间.【答案】（1）；（2）极小值为，递减区间为：，递增区间为.【解析】【分析】（1）由题意得到关于实数的方程组，求解方程组，即可求得的值；（2）结合（1）中的值得出函数的解析式，即可利用导数求得函数的单调区间和极小值.【详解】（1）由题意，函数，则，由当时，有极大值，则，解得.（2）由（1）可得函数的解析式为，则，令，即，解得，令，即，解得或，所以函数的单调减区间为，递增区间为，当时，函数取得极小值，极小值为.当时，有极大值3.【点睛】本题主要考查了函数的极值的概念，以及利用导数求解函数的单调区间和极值，其中解答中熟记函数的极值的概念，以及函数的导数与原函数的
10、关系，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18.命题：方程有实数解，命题：方程表示焦点在轴上的椭圆(1) 若命题为真，求的取值范围；(2) 若命题为真，求的取值范围【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）原题转化为方程有实数解，；（2）为真，即每个命题都为真，根据第一问得到参数范围，进而得到结果.【详解】（1）有实数解， （2）椭椭圆焦点在轴上,所以，为真，.【点睛】由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假假若p且q真，则p 真，q也真；若p或q真，则p，q至少有一个真；若p且q假，则p，q至少有一
11、个假（2）可把“p或q”为真命题转化为并集的运算；把“p且q”为真命题转化为交集的运算19.己知椭圆的一个顶点坐标为，离心率为，直线交椭圆于不同的两点（）求椭圆的方程；（）设点，当的面积为时，求实数的值【答案】（）：y21；（）m【解析】【分析】（）根据顶点坐标、离心率和的关系可求得，从而得到椭圆方程；（）直线方程与椭圆方程联立，根据有两个交点可得，求得范围；联立后写出韦达定理的形式，代入弦长公式求得，利用点到直线距离公式求得点到直线的距离，从而利用构造方程解得，验证符合的即为结果.【详解】（）由题意知：，则 椭圆的方程为：（）设， 联立得：，解得：，又点到直线的距离为：，解得：【点睛】本题考
12、查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式的应用，需要注意的是联立后要利用判别式大于零确定参数的取值范围.20.已知函数.（1）当时，求函数在区间上的最值；（2）讨论的单调性.【答案】（1），；（2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减.【解析】【分析】（1）求导的定义域，求导函数，利用函数的最值在极值处与端点处取得，即可求得在区间上的最值；（2）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可确定函数的单调性；【详解】解：（1）当时，所以，因为的定义域为，所以由，可得.因为，所以在上，.（2）由题可得，当，即时，所以在
13、上单调递减；当时，所以在上单调递增；当时，由可得，即，由可得，即，所以在上单调递减，上单调递增.综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减.【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，确定函数的单调性，求函数的最值是关键，属于中档题21.已知点是抛物线的焦点，点，在上，且（1）求的值；（2）若直线经过点且与交于，（异于）两点，证明：直线与直线的斜率之积为常数【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式，即可求出的值；（2）由（1）求出，先考虑斜率不存在时，求出直线与直线的斜率之积，当直线斜率存在时，设直线方
14、程与抛物线方程联立，求出两点的纵坐标关系，再将直线与直线的斜率之积用纵坐标表示，化简即可证明结论.详解】（1）由抛物线定义知（2）由（1），得，当直线经过点且垂直于轴时，不妨设，则直线的斜率，直线的斜率，所以当直线不垂直于轴时，设，设直线的斜率为（显然且），则直线的方程为联立，消去，得，所以，则直线的斜率，同理直线的斜率，综上，直线与直线的斜率之积为【点睛】本题考查抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置关系，要熟练掌握根与系数关系设而不求的方法求解相交弦的问题，考查计算求解能力，属于中档题.22.设函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围.【答案】（1
15、）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）【解析】【分析】（1）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）由，可得，令，利用导数可得 的减区间为，增区间为，求得函数的极值与最值，从而可得结果.【详解】（1）因为，所以函数的定义域为，当时，令，得或（舍去）.当时，当时，所以的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）令，令，其中，则，令，得，当时，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为， 又，且，由于函数在上有两个零点，故实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值以及利用导数研究函数的零点，属于中档题. 导数问题有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.
