1、(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1(2010年南充模拟)已知球面上的三个点A、B、C，且AB6，BC8，AC10，球半径R15，则球心到平面ABC的距离是()A10 B10C15 D15【解析】由题意截面圆的半径为5，球心到截面距离d10.【答案】B2(2008年江西)连结球面上两点的线段称为球的弦半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于2、4，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：弦AB、CD可能相交于点M弦AB、CD可能相交于点NMN的最大值为5MN的最小值为1其中真命题的个数为()A1个 B2个C
2、3个 D4个【解析】当AB，CD相交时，是一个球的一个截面圆的两条弦，由ABCD得，是真命题，是假命题；当以AB，CD为直径的两个小圆所在平面互相平行且在球心O的两侧时，MN最大，此时M，O，N三点共线，OM3，ON2，故MN的最大值为5；当以AB，CD为直径的两个小圆所在平面互相平行且在球心O的同侧时，MN最小，故MN的最小值为1，是真命题，故选C.【答案】C3(2008年湖北)用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为()A. B.C8 D.【解析】S圆r21r1，而截面圆圆心与球心的距离d1，球的半径为R，VR3，故选B.【答案】B4(2008年湖南)长方体ABCDA1
3、B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，且AB2，AD，AA11，则顶点A、B间的球面距离是()A2 B.C. D.【解析】记长方体的外接球球心为O，半径为R，连结OA、OB，则有(2R)222()2128，R22，OA2OB22，在AOB中，OA2OB2AB24，AOB.因此，顶点A、B间的球面距离等于，选C.【答案】C5已知三棱锥SABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO底面ABC，ACr，则球的体积与三棱锥体积之比是()A B2C3 D4【解析】SO底面ABC，SO为三棱锥的高线，SOr，又O在AB上，AB2r，ACr，ACB90，BCr，VSABCrrrr3.又球的体
4、积Vr3， 4.【答案】D6球的直径为d，体积为V球，一正方体的棱长为a，体积为V正，若它们的表面积相同，则有()Ada，V球V正 Bda，V球V正Cda，V球V正 Dda，V球V正【解析】由于球的体积为R3V球，表面积为4R2，因直径为d，故表面积为d2，而正方体的表面积为6a2d2，da，从而正方体的体积为a3d3，而V球3d3.1，V球V正【答案】A二、填空题(每小题6分，共18分)7在半径为R的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是_【解析】沿球面距离运动其路程最短，2()2R.【答案
5、】R8(2008年浙江)如图所示，已知球O的面上四点A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DAABBC，则球O的体积等于_【解析】将四面体补成一个球的内接正方体，由题意可得DC为正方体的体对角线，即球O的直径则4R23339，可得R2，R，故V3.【答案】9球面上有三个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这三点的小圆周长为4，那么这个球的半径为_【解析】如图所示，O为球心，设球面上A、B、C三点任意两点的球面距离都等于大圆周长的，则AOBBOCCOA，四面体OABC是正四面体经过A、B、C三点的小圆周长为4，小圆的圆心为O1，小圆半径O1A2，又O1AAB，AB，球的半径为.【
6、答案】三、解答题(10,11每题15分，12题16分，共46分)10球面上三点A，B，C组成这个球的一个截面的内接三角形AB18，BC24，AC30，且球心到该截面的距离为球半径的一半(1)求球的体积；(2)求A，C两点的球面距离【解析】(1)AB2BC2AC2，过A，B，C三点的截面圆的半径为15.设球的半径为R，根据题意R22152，R2152，R2300，R10，V球R3(10)34 000.(2)由(1)可知AOC120，A、C两点的球面距离为：2R10.11如图所示，球O的截面BCD把球的直径分成13的两部分，BC是截面圆的直径，D为圆周上的一点，CA是球O的直径，若D分为12，求A
7、C与BD所成角的余弦值【解析】在BCD内作CEBD交圆面于E点，连结BE、AE，则AC与CE所成角为AC与BD所成角BC为小圆的直径，CEBD，设小圆面圆心为O1，球半径为R.面BCD将球O的直径分成13，OO1R，BCR.又D分成为12，BDR.又AB2OO1R，在RtACE中，AE2R，CER，cosACE，即AC与BD所成角的余弦值为.12正三棱锥ABCD的高为1，底面边长为2，内有一个球O与四个面都相切，求棱锥的全面积和球的表面积【解析】方法一：过侧棱AB与球心O作截面(如图)，在正三棱锥中，BE是底面正三角形的高，O1是底面正三角形的中心，且AE为斜高因为底面边长为2，O1E，且AE.S棱锥全32(2)296.作OFAE于F，设内切球半径为r，则OFr，AO1r.RtAFORtAO1E，.，r2，S球8(52).方法二：在RtAO1E中，设E，则sin ，cos ，tan .连结OE.在RtOO1E中，OO1O1Etan2，S球8(52).连结OA、OB、OC、OD，则VABCDVOABCVOABDVOACDVOBCD.设内切球的半径为r，则VABCD(2)2rS棱锥全，S棱锥全96，S棱锥全96.w.w.w.k.&s.5*u.c.#om高.考.资.源.网高考资源网w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
