1、第一节集_合1集合的相关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性.(2)元素与集合的两种关系：属于，记为；不属于，记为.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法(4)五个特定的集合：集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或NZQR2集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A的元素都是集合B的元素xAxB真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于AAB，且x0B，x0AAB或BA相等集合A，B的元素完全相同AB，BAAB空集不含任何元素的集合空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集x，x，A，B(B) 3集合的基本运算集
2、合的并集集合的交集集合的补集符号表示ABAB若全集为U，则集合A的补集为UA图形表示意义x|xA，或xBx|xA，且xBx|xU，且xA元素互异性，即集合中不可能出现相同的元素此性质常用于题目中对参数的取舍任何集合是其自身的子集(1)注意，0和的区别：是集合，不含任何元素；0含有一个元素0；含有一个元素，且和都正确(2)在涉及集合之间的关系时，若未指明集合非空，则要考虑空集的可能性，如若AB，则要考虑A和A两种可能.(1)求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为UA.(2)补集UA是针对给定的集合A和U(AU)相
3、对而言的一个概念，一个确定的集合A，对于不同的集合U，它的补集不同.熟记常用结论1AB，BCAC；AB，BCAC.2含有n个元素的集合Aa1，a2，an有2n个子集，有2n1个真子集，有2n2个非空真子集3AA，AAA，ABBA，A(AB)，B(AB)4A，AAA，ABBA，ABA，ABB.5ABABAB.6ABABAABB(UA)(UB)A(UB).7(UA)(UB)U(AB)，(UA)(UB)U(AB)8AUAU，AUA，U(UA)A，AA，AA.小题查验基础一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)x|x1t|t1()(2)x|yx21y|yx21(x，y)|yx21()(3)任何一个集
4、合都至少有两个子集()(4)若ABAC，则BC.()答案：(1)(2)(3)(4)二、选填题1设集合Ax|2x2，Z为整数集，则集合AZ中元素的个数是()A3 B4 C5 D6解析：选CA中包含的整数元素有2，1,0,1,2，共5个，所以AZ中的元素个数为5.2已知集合Ay|y|x|1，xR，Bx|x2，则下列结论正确的是()A3A B3B CABB DABB解析：选C由题意知Ay|y1，Bx|x2，故ABx|x2B.3设全集U1,2,3,4，集合S1,3，T4，则(US)T()A2,4 B4 C D1,3,4解析：选A由补集的定义，得US2,4，从而(US)T2,4，故选A.4集合1,0,1
5、共有_个子集解析：因为集合有3个元素，所以集合共有238个子集答案：85已知集合Am2,2m2m，若3A，则m的值为_解析：由题意得m23或2m2m3，则m1或m.当m1时，m23且2m2m3，根据集合元素的互异性可知不满足题意；当m时，m2，而2m2m3，故m.答案：考点一基础自学过关 集合的含义及表示 题组练透1(2018全国卷)已知集合A(x，y)|x2y23，xZ，yZ，则A中元素的个数为()A9B8C5 D4解析：选A法一：将满足x2y23的整数x，y全部列举出来，即(1，1)，(1,0)，(1,1)，(0，1)，(0,0)，(0,1)，(1，1)，(1,0)，(1,1)，共有9个故
6、选A.法二：根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2y23中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A.2若集合AxR|ax23x20中只有一个元素，则a()A. B.C0 D0或解析：选D当a0时，显然成立；当a0时，(3)28a0，即a.3设a，bR，集合1，ab，a，则ba()A1 B1C2 D2解析：选C因为1，ab，a，a0，所以ab0，则1，所以a1，b1，所以ba2.4已知集合AxN|1xlog2k，若集合A中至少有3个元素，则k的取值范围为()A(8，) B8，)C(16，) D16，)解析：选C因为集合A中至少有3个元素，所以log2k4，所以k24
7、16，故选C.名师微点与集合中的元素有关问题的求解策略(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合(2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性考点二师生共研过关 集合的基本关系 典例精析(1)设Py|yx21，xR，Qy|y2x，xR，则()APQ BQPCRPQ DQRP(2)已知集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1，若BA，则实数m的取值范围为_解析(1)因为Py|yx21，xRy|y1，Qy|y2x，xRy|y0，所以RPy|y
8、1，所以RPQ，故选C.(2)BA，若B，则2m1m1，此时m2.若B，则解得2m3.由可得，符合题意的实数m的取值范围为(，3答案(1)C(2)(，31(变条件)在本例(2)中，若“BA”变为“BA”，其他条件不变，如何求解？解：BA，若B，成立，此时m2.若B，则或解得2m3.由可得m的取值范围为(，32(变条件)在本例(2)中，若“BA”变为“AB”，其他条件不变，如何求解？解：若AB，则即所以m的取值范围为.解题技法1集合间基本关系的2种判定方法和1个关键两种方法(1)化简集合，从表达式中寻找两集合的关系；(2)用列举法(或图示法等)表示各个集合，从元素(或图形)中寻找关系一个关键关键
9、是看它们是否具有包含关系，若有包含关系就是子集关系，包括相等和真子集两种关系2根据两集合的关系求参数的方法已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解(1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性；(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到过关训练1设M为非空的数集，M1,2,3，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有()A6个 B5个C4个 D3个解析：选A由题意知，M1，3，1,2，1,3，2,3，1,2,32已知集合A1,2，Bx|
10、x2mx10，xR，若BA，则实数m的取值范围为_解析：若B，则m240，解得2m2.若1B，则12m10，解得m2，此时B1，符合题意；若2B，则222m10，解得m，此时B，不合题意综上所述，实数m的取值范围为2,2)答案：2,2)考点三师生共研过关 集合的基本运算典例精析(1)(2018天津高考)设集合A1,2,3,4，B1,0，2,3，CxR|1x2，则(AB)C()A1,1 B0,1C1,0,1 D2,3,4(2)已知集合Ax|x2x120，Bx|xm若ABx|x4，则实数m的取值范围是()A(4,3) B3,4C(3,4) D(，4解析(1)A1,2,3,4，B1,0,2,3，AB
11、1,0,1,2,3,4又CxR|1x2，(AB)C1,0,1(2)集合Ax|x3或x4，ABx|x4，3m4，故选B.答案(1)C(2)B解题技法1集合基本运算的方法技巧(1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算(2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解对于端点处的取舍，可以单独检验2集合的交、并、补运算口诀过关训练1口诀第1句集合My|yx2，xR，Nx|x2y22，xR，则MN()A(1，1)，(1，1) B1C1,0 D，0解析：选D由yx2，xR，得y0，所以集合M(，0，由x2y22，xR，得N，所以MN，0，故选D.2口诀第2句若集
12、合Ax|1x1，xR，Bx|y，xR，则AB()A0,1) B(1，)C(1,1)2，) D解析：选C由题意得Bx|x2，所以ABx|1x1或x23口诀第3句已知集合Ax|x2x20，则RA()Ax|1x2 Bx|1x2Cx|x1x|x2 Dx|x1x|x2解析：选Bx2x20，(x2)(x1)0，x2或x1，即Ax|x2或x1则RAx|1x2故选B.4设集合Mx|1x2，Nx|xa，若MN，则实数a的取值范围是_解析：Mx|1x2，Nx|xa，且MN，a1.答案：(1，)考点四师生共研过关 集合的新定义问题典例精析(1)如图所示的Venn图中，A，B是两个非空集合，定义集合AB为阴影部分表示
13、的集合若x，yR，Ax|y，By|y3x，x0，则AB为()Ax|0x2 Bx|1x2Cx|0x1或x2 Dx|0x1或x2(2)给定集合A，若对于任意a，bA，有abA，且abA，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：集合A4，2,0,2,4为闭集合；集合An|n3k，kZ为闭集合；若集合A1，A2为闭集合，则A1A2为闭集合其中正确结论的序号是_解析(1)因为Ax|0x2，By|y1，ABx|x0，ABx|1x2，所以ABAB(AB)x|0x1或x2(2)中，4(2)6A，所以不正确；中，设n1，n2A，n13k1，n23k2，k1，k2Z，则n1n2A，n1n2A，所以正确；中，令A1n
14、|n3k，kZ，A2n|nk，kZ，则A1，A2为闭集合，但3kk(A1A2)，故A1A2不是闭集合，所以不正确答案(1)D(2)解题技法解决集合新定义问题的2个策略紧扣新定义先分析新定义的特点，常见的新定义有新概念、新公式、新运算和新法则等，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到解题的过程中，这是解答新定义型问题的关键所在用好集合的性质集合的性质(集合中元素的性质、集合的运算性质等)是解答集合新定义问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些条件，在关键之处用好集合的性质过关训练1定义集合的商集运算为，已知集合A2,4,6，B，则集合B中的元素个数为()A
15、6 B7C8 D9解析：选B由题意知，B0,1,2，则B，共有7个元素，故选B.2设P和Q是两个集合，定义集合PQx|xP，且xQ，如果Px|log2x1，Qx|x2|1，那么PQ()Ax|0x1 Bx|0x1Cx|1x2 Dx|2x3解析：选B由log2x1，得0x2，所以Px|0x2由|x2|1，得1x3，所以Qx|1x3由题意，得PQx|0x1.一、题点全面练1已知集合Mx|x2x20，N0,1，则MN()A2,0,1B1C0 D解析：选A集合Mx|x2x20x|x2或x12,1，N0,1，则MN2,0,1故选A.2设集合Ax|x2x20，集合Bx|1x1，则AB()A1,1 B(1,1
16、C(1,2) D1,2)解析：选BAx|x2x20x|1x2，Bx|1x1，ABx|1x1故选B.3设集合Mx|x2k1，kZ，Nx|xk2，kZ，则()AMN BMNCNM DMN解析：选B集合Mx|x2k1，kZ奇数，Nx|xk2，kZ整数，MN.故选B.4.设集合U1,2,3,4,5，A2,4，B1,2,3，则图中阴影部分所表示的集合是()A4 B2,4C4,5 D1,3,4解析：选A图中阴影部分表示在集合A中但不在集合B中的元素构成的集合，故图中阴影部分所表示的集合是A(UB)4，故选A.5(2018湖北天门等三地3月联考)设集合A1,2,3，B4,5，Mx|xab，aA，bB，则M中
17、元素的个数为()A3 B4C5 D6解析：选Ba1,2,3，b4,5，则M5,6,7,8，即M中元素的个数为4，故选B.二、专项培优练(一)易错专练不丢怨枉分1已知集合Mx|ylg(2x)，Ny|y，则()AMN BNMCMN DNM解析：选B集合Mx|ylg(2x)(，2)，Ny|y0，NM.故选B.2(2019皖南八校联考)已知集合A(x，y)|x24y，B(x，y)|yx，则AB的真子集个数为()A1 B3C5 D7解析：选B由得或即AB(0,0)，(4,4)，AB的真子集个数为2213.3已知集合Py|y2y20，Qx|x2axb0若PQR，且PQ(2,3，则ab()A5 B5C1 D
18、1解析：选A因为Py|y2y20y|y2或y1由PQR及PQ(2,3，得Q1,3，所以a13，b13，即a2，b3，ab5，故选A.4已知集合M，集合N，则()AMN BMNCNM DMNM解析：选B由题意可知，M，N，所以MN，故选B.5(2018安庆二模)已知集合A1,3，a，B1，a2a1，若BA，则实数a()A1 B2C1或2 D1或1或2解析：选C因为BA，所以必有a2a13或a2a1a.若a2a13，则a2a20，解得a1或a2.当a1时，A1,3，1，B1,3，满足条件；当a2时，A1,3,2，B1,3，满足条件若a2a1a，则a22a10，解得a1，此时集合A1,3,1，不满足
19、集合中元素的互异性，所以a1应舍去综上，a1或2.故选C.6(2018合肥二模)已知A1，)，B，若AB，则实数a的取值范围是()A1，) B.CD(1，)解析：选A因为AB，所以解得a1.(二)难点专练适情自主选7已知全集UxZ|0x8，集合M2,3,5，Nx|x28x120，则集合1,4,7为()AM(UN) BU(MN)CU(MN) D(UM)N解析：选C由已知得U1,2,3,4,5,6,7，N2,6，M(UN)2,3,51,3,4,5,73,5，MN2，U(MN)1,3,4,5,6,7，MN2,3,5,6，U(MN)1,4,7，(UM)N1,4,6,72,66，故选C.8(2018日照
20、联考)已知集合M，N，则MN()A B(4,0)，(3,0)C3,3 D4,4解析：选D由题意可得Mx|4x4，Ny|yR，所以MN4,4故选D.9(2019河南八市质检)在实数集R上定义运算*：x*yx(1y)若关于x的不等式x*(xa)0的解集是集合x|1x1的子集，则实数a的取值范围是()A0,2 B2，1)(1,0C0,1)(1,2 D2,0解析：选D依题意可得x(1xa)0.因为其解集为x|1x1的子集，所以当a1时，01a1或11a0，即1a0或2a1.当a1时，x(1xa)0的解集为空集，符合题意所以2a0.10非空数集A满足：(1)0A；(2)若xA，有A，则称A是“互倒集”给
21、出以下数集：xR|x2ax10；x|x24x10；.其中“互倒集”的个数是()A4 B3C2 D1解析：选C对于，当2a2时为空集，所以不是“互倒集”；对于，x|x24x10x|2x2，所以，即22，所以是“互倒集”；对于，y0，故函数y是增函数，当x时，ye,0)，当x(1，e时，y，所以不是“互倒集”；对于，y且，所以是“互倒集”故选C.11已知集合Ax|33x27，Bx|log2x1(1)分别求AB，(RB)A；(2)已知集合Cx|1xa，若CA，求实数a的取值范围解：(1)33x27，即313x33，1x3，Ax|1x3log2x1，即log2xlog22，x2，Bx|x2ABx|2x3RBx|x2，(RB)Ax|x3(2)由(1)知Ax|1x3，CA.当C为空集时，满足CA，a1；当C为非空集合时，可得1a3.综上所述，实数a的取值范围是(，3
