1、12.4平面与平面的位置关系木工师傅用气泡式水准仪在桌面上交叉放两次，如果水准仪的气泡都是居中的，就可以判定这个桌面和水平面平行想一想，这是依据什么道理？如右图，检查工件的相邻两个平面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否与这个面密合就可以了你知道这是为什么吗？1两个平面之间有两种位置关系：两个平面平行没有公共点；两个平面相交有一条公共直线2(1)画两个平行平面时，表示平面的平行四边形的对应边平行(2)画两个相交平面时，先画表示平面的平行四边形的相交两边，再画出表示两个平面相交的线段，然后在各点引同向且相等的线段，成图时注意：不可见的部分画
2、成虚线或不画3两个平面平行的判定定理(1)文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(2)符号语言：若a，b，a，b，abP，则.4利用判定定理证明两个平面平行，必须具备的两个条件是：有两条直线平行于另一个平面；这两条直线必须相交5由两个平面平行的判定定理可以得到推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内两条直线，那么这两个平面平行即aa，bb，abP，a，b，a，b.6两个平面平行的性质定理(1)文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行，简记为：“若面面平行，则线线平行”(2)符号语言：若，a，b，则ab.(3)
3、若两个平面平行，则其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面，简记为：“若面面平行，则线面平行”用符号表示是：若，a，则a(4)若两个平面平行，则夹在两个平行平面间的平行线段长度相等7与两个平行平面都垂直的直线叫做这两个平行平面的公垂线，公垂线夹在这两个平行平面间的线段叫做这两个平行平面的公垂线段，公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离8二面角的概念：一条直线和由这条直线出发的两个半平面所成的图形叫做二面角9(1)二面角的平面角：在二面角l的棱l上任取一点O，以O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角l的平面角二面角的大小用它的平面角来度量二
4、面角的范围是0，180，其中当两个半平面重合时，二面角为0；当两个半平面合成一个平面时，二面角为180.(2)作出二面角的平面角时应抓住三个要素：确定二面角的棱上一点；经过这点分别在两个面内引射线；所引的射线都垂直于棱(3)求二面角的平面角的大小步骤是：作出(或找出)二面角的平面角；证明这个角是二面角的平面角；作出这个角所在的三角形，解三角形，求出角10两平面垂直的判定定理(1)文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直简称：“若线面垂直，则面面垂直”(2)符号语言：若AB，AB，则.11两个平面垂直的性质定理(1)文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂
5、直于它们交线的直线垂直于另一个平面(2)符号语言：若，CD，AB且ABCD于点B，则AB.,一、两个平面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行该定理是证明两个平面平行的重要方法，定理告诉我们“欲证明两个平面平行只需证明一个平面内的两条相交直线同时与另一个平面平行即可，而证明线面平行只需要证明线线平行”，其证明思路为：线线平行线面平行面面平行两个平面平行的判定定理的推论是：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行用数学符号表示为aa，bb，abP，a，b，a，b.如果两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行二
6、、两个平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行简称：“若面面平行，则线线平行”该定理给出了两个平行平面所具备的性质，是证明线线平行和线面平行的重要依据结合线面平行的判定定理我们可以得出两个平面平行的另一条性质，即“若两个平面平行，则其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面”三、二面角的平面角在二面角l的棱l上任取一点O，以O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线OA和OB构成的AOB叫做二面角l的平面角二面角的平面角范围是0，180平面角是直角的二面角叫做直二面角二面角的大小是通过二面角的平面角来表示的，应当特别指出的是AOB的特征是：“OAl，OBl
7、”；AOB的大小与点O在l上的位置无关四、两个平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直该定理告诉我们证明两平面垂直的问题可以转化为直线与平面垂直的问题进而转化为线线垂直的问题定理体现了“直线与平面垂直”与“平面与平面垂直”互相转化的数学思想另外，利用定义证明两平面垂直也是一种常用的方法，即通过计算给出证明五、两个平面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面从性质定理可以看出，由平面与平面垂直可以得到直线与平面垂直而由判定定理可以看出，由直线与平面垂直可以得到平面与平面垂直其转化关系可表示为： 这种相互转化关系
8、是解决空间图形问题的重要思想方法该定理也可以视为直线和平面垂直的判定定理，运用该性质定理证明相关问题时，一般需要作辅助线过其中一个平面内一点作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后，进一步转化为线线垂直知识点一平面与平面平行的判定定理和性质定理1平面内内有两条直线a，b都平行于平面，则与的位置关系是(D)A平行B相交C重合 D不能确定解析：两条直线不一定相交，所以两个平面的位置关系不能确定2下列说法中：(1)若平面内有两条平行直线分别平行于平面，则；(2)若平面内有无数条直线分别平行于平面，则；(3)若平面内任意一条直线都与平面平行，则；(4)两个平面平行于同一直线，则这两个平面平行；(5)过已
9、知平面外一条直线，必能作一个平面与已知平面平行；(6)平面、，若，则有 .正确说法的序号是_答案：(3)(6)3平面，直线a平面，下列命题：a与内的所有直线平行；a与内的无数条直线平行；a与内的任何直线都不平行；a与没有公共点其中正确说法的序号是_解析：利用面面平行的性质判断答案：知识点二平面与平面垂直的判定定理和性质定理4自二面角内一点分别向两个面引垂线，它们所成的角与二面角的平面角_解析：这两个角恰好为具有外接圆的四边形的对角答案：互补5直线a与b垂直，b平面，则a与的位置关系是_解析：由线面垂直的性质可得答案：a或a6已知两个平面垂直，下列命题一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任
10、意一条直线；一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；过一个平面内一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题的序号是_解析：根据面面垂直的性质可知错误，正确答案：综合点一平面与平面平行的综合应用7已知平面平面，P是、外一点，过点P的直线m与、分别交于点A、C，过点P的直线n与、分别交于点B、D，且PA6，AC9，PD8，则BD的长为_解析：分点P在两面中间和点P在两面的一侧两种情况来计算答案：24或8如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四
11、边形EFGH及其内部运动时，则M满足条件_时，有MN平面B1BDD1.解析：取B1C1的中点R，连接FR、NR，可证面FHNR面B1BDD1，当M线段FH时，有MN面FHNR.MN面B1BDD1.答案：M线段FH9如图，在棱长为 2 cm的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，A1B1的中点是 P ，问过点 A1 作与截面 PBC1 平行的截面也是三角形吗？并求该截面的面积解析：如图，取AB的中点M，取C1D1的中点N，连接A1M、A1N、CM、CN.由于A1N綊PC1綊MC，所以四边形A1MCN是平行四边形由于A1NPC1，A1N平面PBC1，则A1N平面PBC1.同理，A1M平面PBC1.
12、于是，平面A1MCN平面PBC1.过A1有且仅有一个平面与平面PBC1平行故过点A1作与截面PBC1平行的截面是平行四边形A1MCN.因为A1MMC，A1N綊MC, 所以四边形A1MCN是菱形，连接MN.因为MB綊NC1，所以四边形MBC1N是平行四边形，所以MNBC12 cm.在菱形A1MCN中，A1M cm，所以A1C22(cm)所以S菱形A1MCNA1CMN 22 2(cm2)综合点二两个平面垂直的综合应用10如右图所示，P是四边形ABCD所在平面外一点，四边形ABCD是DAB60且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG平
13、面PAD；(2)求证：ADPB.证明：(1)在菱形ABCD中，DAB60，连接BD，则ABD为正三角形因为G为AD的中点，所以BGAD.又因为平面PAD平面ABCD，所以BG平面PAD.(2)连接PG，PAD为正三角形，G为AD中点，PGAD.由(1)知BGAD，PGBGG，AD平面PBG.又PB平面PBG，ADPB.综合点三面面平行证明中的一题多解11如右下图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，其棱长为1.求证：平面AB1C平面A1C1D.证明：方法一AA1綊CC1AA1C1C为平行四边形ACA1C1.平面AB1C平面A1C1D.方法二易知AA1和CC1确定一个平面ACC1A1，于是，
14、A1C1AC.A1C1平面AB1C.平面AB1C平面A1C1D.综合点四探求面面垂直关系12在直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，ABBC，能否在侧棱BB1上找到一点E，使得截面A1EC侧面AA1C1C？若能找到，指出点E的位置；若不能找到，说明理由解析：如下图所示，作EMA1C于点M.因为截面A1EC侧面AA1C1C，所以EM侧面AA1C1C.取AC的中点N，因为ABBC，所以BNAC.又因为平面ABC侧面AA1C1C，所以BN侧面AA1C1C.所以BNEM .因为平面BEMN侧面AA1C1CMN，BE侧面AA1C1C，所以BEMNA1A .因为ANNC，所以A1MMC.又因为四边形BEMN为矩形，所以BEMNA1A.故BEBB1，即E为BB1的中点