1、2016年黑龙江省哈尔滨一中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合M=x|y=x2+1，N=y|y=，则MN=（）A（0，1）Bx|x1Cx|x0Dx|x12设复数z满足（z+i）（1+i）=1i（i是虚数单位），则|z|=（）A1B2C3D43命题P：“xR，x2+12x”的否定P为（）AxR，x2+12xBxR，x2+12xCxR，x2+12xDxR，x2+12x4ABC中，“A”是“sinA”的（）A必要不充分条件B充分必要条件C充分不必要条件D既不充分也不必要条件5设等差数列an的前n项和
2、为Sn，若a6=S3=12，则a8=（）A16B14C12D106为了得到函数y=sin（2x）的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度7如果执行如图所示的程序框图，输入x=6，则输出的y值为（）A2B0C1D8函数f（x）=2cosx（x，）的图象大致为（）ABCD9已知F是抛物线x2=4y的焦点，直线y=kx+1与该抛物线相交于A，B两点，且在第一象限的交点为点A，若|AF|=3|FB|，则k的值是（）ABCD10设P是双曲线C：=1（a0，b0）右支上的任意一点，已知A（a，b），B（a，b），若=+（O为
3、坐标原点），则2+2的最小值为（）A abBC abD11设平行于y轴的直线分别与函数y1=log2x及y2=log2x+2的图象交于B，C两点，点A（m，n）位于函数y2的图象上，若ABC为正三角形，则m2n=（）A8B12C12D1512已知f（x）定义在R上的函数，f（x）是f（x）的导函数，若f（x）1f（x），且f（0）=2，则不等式exf（x）ex+1（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A（0，+）B（，0）（1，+）C（1，+）D（，1）（0，+）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分13计算定积分（2x+）dx=3+ln2，则a=_14有七名同学站成一排照毕业纪念照
4、，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有_种15已知x8=a0+a1（x1）+a2（x1）2+a8（x1）8，则a7=_16已知双曲线，（a，bR+）的离心率e，则一条渐近线与实轴所成的角的取值范围是_三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知函数f（x）=sin2xcos2x（xR）（1）当x，时，求函数f（x）取得最大值和最小值时x的值；（2）设锐角ABC的内角A、B、C的对应边分别是a，b，c，且a=1，cN*，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）平行，求c的值18学校重视高三学生对数学选修课程的学习，在选修系列4中开设了41，42
5、，43，44，45共5个专题课程，要求每个学生必须且只能选修其中1门课程，设A、B、C、D是高三某班的4名学生（1）求恰有2个专题没有被这4名学生选择的概率；（2）设这4名学生中选择44专题的人数为，求的分布列及数学期望E（）19在四棱锥PABCD中，AD平面PDC，PDDC，底面ABCD是梯形，ABDC，AB=AD=PD=1，CD=2（1）求证：平面PBC平面PBD；（2）设Q为棱PC上一点， =，试确定 的值使得二面角QBDP为6020我校同学设计了一个如图所示的“蝴蝶形图案”（阴影区域）来庆祝数学学科节目的成功举办，其中AC，BD是过抛物线C的焦点F的两条弦，且F（0，1），=0，点E为
6、y轴上一点，记EFA=a，其中a为锐角（1）求抛物线的方程；（2）当“蝴蝶形图案”的面积最小时，求a的大小21已知函数f（x）=ex（其中e为自然对数的底数），g（x）=x+m（m，nR）（1）若T（x）=f（x）g（x），m=1，求T（x）在0，1上的最大值；（2）若n=4时方程f（x）=g（x）在0，2上恰有两个相异实根，求m的取值范围；（3）若m=，nN*，求使f（x）的图象恒在g（x）图象上方的最大正整数n注意：7e2请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修4-1：几何证明选讲22如图，已知AD是ABC的对角EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延
7、长DA交ABC的外接圆于点F，连结FB，FC（1）求证：FB=FC；（2）若FA=2，AD=6，求FB的长选修4-4：坐标系与参数方程23已知圆锥曲线和定点，F1，F2是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求直线AF2的极坐标方程；（）经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交此圆锥曲线于M，N两点，求|MF1|NF1|的值选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x1|（1）解不等式f（x）+f（x+4）8；（2）若|a|1，|b|1，且a0，求证：f（ab）|a|f（）2016年黑龙江省哈尔滨一中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：
8、本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合M=x|y=x2+1，N=y|y=，则MN=（）A（0，1）Bx|x1Cx|x0Dx|x1【考点】交集及其运算【分析】求出M中x的范围确定出M，求出N中y的范围确定出N，找出两集合的交集即可【解答】解：由M中y=x2+1，得到xR，即M=R，由N中y=0，得到N=x|x0，则MN=x|x0，故选：C2设复数z满足（z+i）（1+i）=1i（i是虚数单位），则|z|=（）A1B2C3D4【考点】复数求模【分析】变形已知条件可得z+i=，化简可得z，可得模长【解答】解：（z+i）（1+i）=1i，z
9、+i=i，z=2i|z|=2故选：B3命题P：“xR，x2+12x”的否定P为（）AxR，x2+12xBxR，x2+12xCxR，x2+12xDxR，x2+12x【考点】命题的否定【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题P：“xR，x2+12x”的否定P为：xR，x2+12x故选：C4ABC中，“A”是“sinA”的（）A必要不充分条件B充分必要条件C充分不必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】利用充要条件的概念即可判断是什么条件，从而得到答案要注意三角形内角和是，不要丢掉这个大前提【解答
10、】解：在ABC中，“sinA”“A”“A”必要性成立；反之，“A不能“sinA”，如A=时，sinA=sin=sinsin=，即sinA，即充分性不成立，可判断A是sinA的必要而不充分条件故选A5设等差数列an的前n项和为Sn，若a6=S3=12，则a8=（）A16B14C12D10【考点】等差数列的性质【分析】利用等差数列的通项公式及其求和公式即可得出【解答】解：设等差数列an的公差为d，a6=S3=12，a1+5d=12，3a1+3d=12，解得a1=d=2，则a8=2+72=16故选：A6为了得到函数y=sin（2x）的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）A向右平移个单位长度B向右
11、平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】先根据诱导公式进行化简，再由左加右减上加下减的原则可确定函数y=sin（2x）到y=cos2x的路线，确定选项【解答】解：y=sin（2x）=cos（2x）=cos（2x）=cos（2x）=cos2（x），将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度故选B7如果执行如图所示的程序框图，输入x=6，则输出的y值为（）A2B0C1D【考点】程序框图【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，当x=1，y=时，满足条件|yx|1，退出循环，输出y的值为【解答】解：执行程序框图，可得x=
12、6y=2不满足条件|yx|1，x=2，y=0不满足条件|yx|1，x=0，y=1不满足条件|yx|1，x=1，y=满足条件|yx|1，退出循环，输出y的值为故选：D8函数f（x）=2cosx（x，）的图象大致为（）ABCD【考点】函数的图象【分析】由f（x）=2cos（x）=2cosx=f（x），得出f（x）为偶函数，则图象关于y轴对称，排除A、D，再令x=代入f（x）的表达式即可得到答案【解答】解：f（x）=2cos（x）=2cosx=f（x），f（x）为偶函数，则图象关于y轴对称，排除A、D，把x=代入得f（）=21=0.5，故图象过点（，0.5），C选项适合，故选：C9已知F是抛物线x2
13、=4y的焦点，直线y=kx+1与该抛物线相交于A，B两点，且在第一象限的交点为点A，若|AF|=3|FB|，则k的值是（）ABCD【考点】抛物线的简单性质【分析】根据直线方程可知直线恒过定点F（0，1），过A、B分别作BQl于Q，APl于P，BCAP，垂足为C，由|AF|=3|FB|，则|AP|=3|BQ|，进而求得直线的斜率【解答】解：设抛物线C：x2=4y的准线为l：y=1，直线y=kx+1（k0）恒过定点F（0，1）过A、B分别作APl于P，BQl于Q，BCAP，垂足为C，由|AF|=3|FB|=3m，则|AP|=3|BQ|=3m，|AC|=2m，|AB|=4m，|BC|=2mk=，故选
14、B10设P是双曲线C：=1（a0，b0）右支上的任意一点，已知A（a，b），B（a，b），若=+（O为坐标原点），则2+2的最小值为（）A abBC abD【考点】双曲线的简单性质【分析】确定A，B的坐标，根据=+，确定坐标之间的关系，可得4=1，利用基本不等式，即可得出结论【解答】解：由题意，设P（x，y），则=+，x=（+）a，y=（）bP为双曲线C右支上的任意一点，（+）2（）2=14=12+22=2+2的最小值为故选：D11设平行于y轴的直线分别与函数y1=log2x及y2=log2x+2的图象交于B，C两点，点A（m，n）位于函数y2的图象上，若ABC为正三角形，则m2n=（）A8B
15、12C12D15【考点】函数的图象【分析】根据题意，设出A、B、C的坐标，由线段BCy轴，ABC是等边三角形，得出AB、AC与BC的关系，求出p、q的值，计算出结果【解答】解：根据题意，设A（m，n），B（x0，log2x0），C（x0，2+log2x0），线段BCy轴，ABC是等边三角形，BC=2，2+log2m=n，m=2n2，4m=2n；又x0m=，m=x0，x0=m+；又2+log2x0n=1，log2x0=n1，x0=2n1=；m+=；2m+2=2n=4m，m=，2n=4；m2n=4=12；故选：B12已知f（x）定义在R上的函数，f（x）是f（x）的导函数，若f（x）1f（x），且
16、f（0）=2，则不等式exf（x）ex+1（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A（0，+）B（，0）（1，+）C（1，+）D（，1）（0，+）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】构造函数g（x）=exf（x）ex，（xR），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设g（x）=exf（x）ex，（xR），则g（x）=exf（x）+exf（x）ex=exf（x）+f（x）1，f（x）1f（x），f（x）+f（x）10，g（x）0，y=g（x）在定义域上单调递增，exf（x）ex+1，g（x）1，又g（0）=e0f（0）e0=1，g（x）g（0），x0，不等式的解集
17、为（0，+）故选：A二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分13计算定积分（2x+）dx=3+ln2，则a=2【考点】定积分【分析】根据函数的积分公式进行化简求解即可【解答】解：（2x+）dx=3+ln2，（x2+lnx）|=3+ln2，即a2+lna1ln1=3+ln2，则a2+lna=4+ln2，则得得a=2，故答案为：214有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有192种【考点】排列、组合的实际应用【分析】由于甲必须站中央，故先安排甲，两边一边三人，不妨令乙丙在甲左边，求出此种情况下的站法，再乘以2即可得到所有的站法总数，
18、计数时要先安排乙丙两人，再安排甲左边的第三人，最后余下三人，在甲右侧是一个全排列【解答】解：不妨令乙丙在甲左侧，先排乙丙两人，有A22种站法，再取一人站左侧有C41A22种站法，余下三人站右侧，有A33种站法考虑到乙丙在右侧的站法，故总的站法总数是2A22C41A22A33=192故答案为19215已知x8=a0+a1（x1）+a2（x1）2+a8（x1）8，则a7=8【考点】二项式系数的性质【分析】将x写成1+（x1），利用二项展开式的通项公式求出通项，令x1的指数为7，求出a7【解答】解：x8=1+（x1）8，其展开式的通项为Tr+1=C8r（x1）r，令r=7得a7=C87=8故答案为：
19、816已知双曲线，（a，bR+）的离心率e，则一条渐近线与实轴所成的角的取值范围是【考点】双曲线的简单性质【分析】设经过一、三象限的渐近线与实轴所成的角为，则tan=，根据 24，求出的范围，即得tan的范围，从而得到 的范围【解答】解：设经过一、三象限的渐近线与实轴所成的角为，则tan= 由题意可得 24，1，即 1tan，故答案为：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知函数f（x）=sin2xcos2x（xR）（1）当x，时，求函数f（x）取得最大值和最小值时x的值；（2）设锐角ABC的内角A、B、C的对应边分别是a，b，c，且a=1，cN*，若向量=（1，sinA）与
20、向量=（2，sinB）平行，求c的值【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；余弦定理【分析】（1）首先，化简函数解析式，利用辅助角公式，化简给定的函数，然后，结合三角函数的图象与性质进行求解；（2）根据向量共线的条件，同时结合余弦定理进行求解【解答】解：（1）f（x）=sin2x，=sin2xcos2x1，=sin（2x）1，x，2x，sin（2x）1，当sin（2x）=1时，即2x=，得x=，f（x）取得最大值；当sin（2x）=时，即2x=，得x=，f（x）取得最小值；（2）向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）平行，所以sinB=2sinA，根据正弦定理的推论，得b=2
21、a，a=1，b=2，由余弦定理c2=1+4212cosC=54cosC，0C，0cosC1，1c25，1c，cN*，c=2，经检验符合三角形要求，c的值218学校重视高三学生对数学选修课程的学习，在选修系列4中开设了41，42，43，44，45共5个专题课程，要求每个学生必须且只能选修其中1门课程，设A、B、C、D是高三某班的4名学生（1）求恰有2个专题没有被这4名学生选择的概率；（2）设这4名学生中选择44专题的人数为，求的分布列及数学期望E（）【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）每个学生必须且只需选修1门专题课程，每一人都有种选择，总共有54，恰有2门
22、专题课程没有被这3名学生选择的概率，则有C52C42A33，从而求解；（2）某一专题课程被这3名学生选择的人数为，则=0，1，2，3，4，分别算出P（=0），P（=1），P（=2），P（=3），P（=4），再利用期望公式求解【解答】解：（1）根据每个学生必须且只需选修1门专题课程，每一人都有种选择，总共有54，恰有2门专题课程没有被这3名学生选择的概率，则有C52C42A33，恰有2门专题课程这4名学生都没选择的概率：P2=（2）设A专题课程被这4名学生选择的人数为，则=0，1，2，3，4P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，P（=3）=，P（=4）=分布列如下： 01234PE=0+1+
23、2+3+4=19在四棱锥PABCD中，AD平面PDC，PDDC，底面ABCD是梯形，ABDC，AB=AD=PD=1，CD=2（1）求证：平面PBC平面PBD；（2）设Q为棱PC上一点， =，试确定 的值使得二面角QBDP为60【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定【分析】（1）在梯形ABCD中，过点作B作BHCD于H，通过面面垂直的判定定理即得结论；（2）过点Q作QMBC交PB于点M，过点M作MNBD于点N，连QN则QNM是二面角QBDP的平面角，在Rt三角形MNQ中利用tanMNQ=计算即可【解答】（1）证明：AD平面PDC，PD平面PCD，DC平面PDC，图1所示ADPD，AD
24、DC，在梯形ABCD中，过点作B作BHCD于H，在BCH中，BH=CH=1，BCH=45，又在DAB中，AD=AB=1，ADB=45，BDC=45，DBC=90，BCBDPDAD，PDDC，ADDC=DAD平面ABCD，DC平面ABCD，PD平面ABCD，BC平面ABCD，PDBC，BDPD=D，BD平面PBD，PD平面PBDBC平面PBD，BC平面PBC，平面PBC平面PBD；（2）解：过点Q作QMBC交PB于点M，过点M作MNBD于点N，连QN由（1）可知BC平面PDB，QM平面PDB，QMBD，QMMN=M，BD平面MNQ，BDQN，图2所示QNM是二面角QBDP的平面角，QNM=60，
25、QMBC，QM=BC，由（1）知，又PD=1，MNPD，MN=1，tanMNQ=，20我校同学设计了一个如图所示的“蝴蝶形图案”（阴影区域）来庆祝数学学科节目的成功举办，其中AC，BD是过抛物线C的焦点F的两条弦，且F（0，1），=0，点E为y轴上一点，记EFA=a，其中a为锐角（1）求抛物线的方程；（2）当“蝴蝶形图案”的面积最小时，求a的大小【考点】抛物线的简单性质；平面向量数量积的运算【分析】（1）由抛物线的焦点坐标即可得到抛物线的标准方程；（2）由题意结合图形，把A、B、C、D四点的坐标分别用|AF|、|BF|、|CF|、|DF|和表示，代入抛物线方程后最终求得|AF|、|BF|、|C
26、F|、|DF|，对三角形面积化简整理，换元后利用配方法求面积的最小值【解答】解：（1）由题意可得抛物线方程为：x2=4y（2）解：由抛物线焦点F（0，1）得，抛物线方程为x2=4y；设AF=m，则点A（msin，mcos+1），（msin）2=4（1+mcos），即m2sin24mcos4=0解得：m=，m0，|AF|=同理：，|DF|=，|CF|=“蝴蝶形图案”的面积S=SAFB+SCFD=，令t=sincos，则=，当时，即时“蝴蝶形图案”的面积最小为821已知函数f（x）=ex（其中e为自然对数的底数），g（x）=x+m（m，nR）（1）若T（x）=f（x）g（x），m=1，求T（x）在
27、0，1上的最大值；（2）若n=4时方程f（x）=g（x）在0，2上恰有两个相异实根，求m的取值范围；（3）若m=，nN*，求使f（x）的图象恒在g（x）图象上方的最大正整数n注意：7e2【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）T（x）=f（x）g（x）=ex（x+m）=ex（x+1）；求导T（x）=ex（x+1）；从而确定函数的最大值；（2）n=4时，方程f（x）=g（x）可化为m=ex2x；求导m=ex2，从而得到函数的单调性及取值，从而求m的取值范围；（3）由题意，f（x）=ex，g（x）=x；故f（x）的图象恒在g（x）图象上方可化为F（x）=f（x）
28、g（x）=exx+0恒成立；从而化为最值问题【解答】解：（1）T（x）=f（x）g（x）=ex（x+m）=ex（x+1）；故T（x）=ex（x+1）；则当n2时，T（x）0；故T（x）在0，1上的最大值为T（1）=e；当n2时，x0，）时，T（x）0；x（，1时，T（x）0；T（x）在0，1上的最大值为T（）=；（2）当n=4时，方程f（x）=g（x）可化为m=ex2x；m=ex2，故当x0，ln2）时，m0；当x（ln2，2时，m0；m（ln2）=22ln2；m（0）=1，m（2）=e24；故由题意知，22lnm1；（3）由题意，f（x）=ex，g（x）=x；故f（x）的图象恒在g（x）图象
29、上方可化为F（x）=f（x）g（x）=exx+0恒成立；F（x）=ex；故F（x）在（，ln）上是减函数，在（ln，+）上是增函数；故可化为F（ln）0；即（1ln）+0；令G（n）=（1ln）+；故G（n）=（ln+1）0；故G（n）=（1ln）+是1，+）上的减函数，而G（2e2）=e2+0；G（14）=7（1ln7）+0；G（15）=7.5（1ln7.5）+0；故最大正整数n为14请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修4-1：几何证明选讲22如图，已知AD是ABC的对角EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交ABC的外接圆于点F，连结FB，
30、FC（1）求证：FB=FC；（2）若FA=2，AD=6，求FB的长【考点】与圆有关的比例线段【分析】（1）欲证FB=FC，可证FBC=FCB由A、C、B、F四点共圆可知FBC=CAD，又同弧所对的圆周角相等，则FCB=FAB，而FAB=EAD，则FCB=EAD，AD是ABC外角EAC的平分线，得CAD=EAD，故FBC=FCB；（2）由（1）知，求FB的长，即可以转化为求FC的长，联系已知条件：告诉FA与AD的长度，即可证FACFCD【解答】（1）证明：A、C、B、F四点共圆FBC=DAC又AD平分EACEAD=DAC又FCB=FAB（同弧所对的圆周角相等），FAB=EADFBC=FCBFB=
31、FC；（2）解：BAC=BFC，FAB=FCB=FBCFCD=BFC+FBC=BAC+FAB=FACAFC=CFD，FACFCDFA：FC=FC：FDFB2=FC2=FAFD=16，FB=4选修4-4：坐标系与参数方程23已知圆锥曲线和定点，F1，F2是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求直线AF2的极坐标方程；（）经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交此圆锥曲线于M，N两点，求|MF1|NF1|的值【考点】椭圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（）消去参数可得曲线C的方程为+y2=1，先得直线的普通方程，化为极坐标方程即可；（）易得l的方程，解
32、方程组可得交点坐标，由两点间的距离公式可得【解答】解：（）消去参数可得曲线C的方程为+y2=1，可得F1（，0），F2（，0），直线AF2的斜率为k=1，故直线方程为y=（x0），即x+y=，极坐标方程为cos+sin=；（）经过点F1（，0）且与直线AF2垂直的直线l斜率为1，故l的方程为y0=x+，即y=x+，联立可解得M（，），N（，），由两点间的距离公式可得|MF1|NF1|=选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x1|（1）解不等式f（x）+f（x+4）8；（2）若|a|1，|b|1，且a0，求证：f（ab）|a|f（）【考点】绝对值不等式的解法；不等式的证明【分析】（）根据
33、f（x）+f（x+4）=|x1|+|x+3|=，分类讨论求得不等式f（x）+f（x+4）8的解集（）要证的不等式即|ab1|ab|，根据|a|1，|b|1，可得|ab1|2|ab|20，从而得到所证不等式成立【解答】解：（）f（x）+f（x+4）=|x1|+|x+3|=，当x3时，由2x28，解得x5；当3x1时，f（x）8不成立；当x1时，由2x+28，解得x3所以，不等式f（x）+f（x+4）4的解集为x|x5，或x3（）f（ab）|a|f（），即|ab1|ab|因为|a|1，|b|1，所以|ab1|2|ab|2=（a2b22ab+1）（a22ab+b2）=（a21）（b21）0，所以|ab1|ab|，故所证不等式成立2016年9月23日