1、第6讲正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理和余弦定理一、知识梳理1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容2R(R为ABC外接圆半径)a2b2c22bccos A；b2c2a22cacos B；c2a2b22abcos C变形(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)abcsin Asin Bsin C；(3)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos A；cos B；cos C2.ABC的面积公式(1)SABCah(h表示边a上的高)(2)SABCabsin Cacsin Bbcsin A.(3)SABCr(abc)(r为内切圆
2、半径). 3三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aab解的个数一解两解一解一解注意上表中A为锐角时，absin A，无解A为钝角或直角时，ab，ab均无解常用结论1三角形内角和定理在ABC中，ABC；变形：.2三角形中的三角函数关系(1)sin(AB)sin C.(2)cos(AB)cos C.(3)sincos .(4)cossin .3三角形中的射影定理在ABC中，abcos Cccos B；bacos Cccos A；cbcos Aacos B.二、教材衍化 1在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若cbcos A，则ABC为()A钝角三角形B
3、直角三角形C锐角三角形 D等边三角形答案：A2在ABC中，AB5，AC3，BC7，则BAC()A. B.C. D解析：选C.因为在ABC中，设ABc5，ACb3，BCa7，所以由余弦定理得cosBAC，因为BAC为ABC的内角，所以BAC.故选C.3在ABC中，A60，AC4，BC2，则ABC的面积等于 解析：设ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，由题意及余弦定理得cos A，解得c2.所以Sbcsin A42sin 602.答案：2一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比()(2)在ABC中，若sin Asin B，则AB.(
4、)(3)在ABC中的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素()答案：(1)(2)(3)二、易错纠偏(1)利用正弦定理求角，忽视条件限制出现增根；(2)不会灵活运用正弦、余弦定理1ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C60，b，c3，则A 解析：由题意：，即sin B，结合bc可得B45，则A180BC75.答案：752设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2，cos C，3sin A2sin B，则c 解析：由3sin A2sin B及正弦定理，得3a2b，所以ba3.由余弦定理cos C，得，解得c4.答案：4利用正弦、余弦定理解三角形(师生共研) (1)(20
5、19高考全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin Absin B4csin C，cos A，则()A6B5C4 D3(2)(2020济南市学习质量评估)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ca2bcos A.求角B的大小；若a5，c3，边AC的中点为D，求BD的长【解】(1)选A.由题意及正弦定理得，b2a24c2，所以由余弦定理得，cos A，得6.故选A.(2)由2ca2bcos A及正弦定理，得2sin Csin A2sin Bcos A，又sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，所以2sin Acos Bsin A0
6、，因为sin A0，所以cos B，因为0B，所以B.由余弦定理得b2a2c22accosABC52325349，所以b7，所以AD.因为cosBAC，所以BD2AB2AD22ABADcosBAC923，所以BD.(1)正、余弦定理的选用利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；利用余弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的(2)三角形解的个数的判断已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角
7、形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断1(一题多解)(2020江西五市联考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a1，b，A30，B为锐角，那么ABC为()A113 B123C132 D141解析：选B.法一：由正弦定理，得sin B.因为B为锐角，所以B60，则C90，故ABC123，选B.法二：由a2b2c22bccos A，得c23c20，解得c1或c2.当c1时，ABC为等腰三角形，B120，与已知矛盾，当c2时，abc，则ABC，排除选项A，C，D，故选B.2(2020河南南阳四校联考)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b
8、8，c3，A60，则此三角形外接圆的半径R()A. B.C. D解析：选D.因为b8，c3，A60，所以a2b2c22bccos A64928349，所以a7，所以此三角形外接圆的直径2R，所以R，故选D.3(2019高考全国卷改编)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C.(1)求A；(2)若ab2c，求C.解：(1)由已知得sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，故由正弦定理得b2c2a2bc.由余弦定理得cos A.因为0A180，所以A60.(2)由(1)知B120C，由题设及正弦定理得sin Asin(120
9、C)2sin C，即cos Csin C2sin C，可得cos(C60).由于0C120，所以C60135，即C75.判断三角形的形状(典例迁移) (1)(一题多解)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D不确定(2)在ABC中，若cacos B(2ab)cos A，则ABC的形状为 【解析】(1)法一：因为bcos Cccos Bbca，所以asin Aa即sin A1，故A，因此ABC是直角三角形法二：因为bcos Cccos Basin A，所以sin Bcos Csin C
10、cos Bsin2 A，即sin(BC)sin2 A，所以sin Asin2 A，故sin A1，即A，因此ABC是直角三角形(2)因为cacos B(2ab)cos A，所以由正弦定理得sin Csin Acos B2sin Acos Asin Bcos A，所以sin(AB)sin Acos B2sin Acos Asin Bcos A，故cos A(sin Bsin A)0，所以cos A0或sin Asin B，即A或AB，故ABC为等腰或直角三角形【答案】(1)A(2)等腰或直角三角形【迁移探究】(变条件)若将本例(1)条件改为“2sin Acos Bsin C”，试判断ABC的形状
11、解：法一：由已知得2sin Acos Bsin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，即sin(AB)0，因为AB0，所以cos B2sin B0，从而cos B.基础题组练1设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2，c2，cos A且bc，则b()A3B2C2 D解析：选C.由余弦定理b2c22bccos Aa2，得b26b80，解得b2或b4，因为ba，所以B60或120，故满足条件的三角形有两个3(2020湖南省湘东六校联考)在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，其中b2ac，且sin Csin B，则其最小内角的余弦值为()A B.C. D解析
12、：选C.由sin Csin B及正弦定理，得cb.又b2ac，所以ba，所以c2a，所以A为ABC的最小内角由余弦定理，知cos A，故选C.4在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，以下四个结论中，正确的是()A若abc，则sin Asin Bsin CB若ABC，则sin Asin Bsin CCacos Bbcos Acsin CD若a2b2c2，则ABC是锐角三角形解析：选A.对于A，由于abc，由正弦定理2R，可得sin Asin Bsin C，故A正确；对于B，ABC，由大边对大角定理可知，则abc，由正弦定理2R，可得sin Asin Bsin C，故B错误；对于C，根据
13、正弦定理可得acos Bbcos A2R(sin Acos Bsin Bcos A)2Rsin(BA)2Rsin(C)2Rsin Cc，故C错误；对于D，a2b2c2，由余弦定理可得cos C0，由C(0，)，可得C是钝角，故D错误5(2020长春市质量监测(一)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bacos Cc，则角A等于()A60 B120C45 D135解析：选A.法一：由bacos Cc及正弦定理，可得sin Bsin Acos Csin C，即sin(AC)sin Acos Csin C，即sin Acos Ccos Asin Csin Acos Csin C，所以
14、cos Asin Csin C，又在ABC中，sin C0，所以cos A，所以A60，故选A.法二：由bacos Cc及余弦定理，可得bac，即2b2b2a2c2bc，整理得b2c2a2bc，于是cos A，所以A60，故选A.6在ABC中，角A，B，C满足sin Acos Csin Bcos C0，则三角形的形状为 解析：由已知得cos C(sin Asin B)0，所以有cos C0或sin Asin B，解得C90或AB.答案：直角三角形或等腰三角形7(2019高考天津卷改编)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bc2a，3csin B4asin C，则cos B
15、解析：在ABC中，由正弦定理，得bsin Ccsin B，又由3csin B4asin C，得3bsin C4asin C，即3b4a.因为bc2a，得到ba，ca.由余弦定理可得cos B.答案：8(2020河南期末改编)在ABC中，B，AC，且cos2Ccos2Asin2Bsin Bsin C，则C ，BC 解析：由cos2Ccos2Asin2Bsin Bsin C，可得1sin2C(1sin2A)sin2Bsin Bsin C，即sin2Asin2Csin2Bsin Bsin C结合正弦定理得BC2AB2AC2ACAB，所以cos A，A，则CAB.由，解得BC.答案：9(2020江西赣
16、州模拟)已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin Bbcos A0.(1)求角A的大小；(2)若a2，b2，求边c的长解：(1)因为asin Bbcos A0，所以sin Asin Bsin Bcos A0，即sin B(sin Acos A)0，由于B为三角形的内角，所以sin Acos A0，所以sin0，而A为三角形的内角，所以A.(2)在ABC中，a2c2b22cbcos A，即20c244c，解得c4(舍去)或c2.10在ABC中，A2B.(1)求证：a2bcos B；(2)若b2，c4，求B的值解：(1)证明：因为A2B，所以由正弦定理，得，所以a2bcos
17、B.(2)由余弦定理，a2b2c22bccos A，因为b2，c4，A2B，所以16cos2B41616cos 2B，所以cos2B，因为AB2BB，所以B，所以cos B，所以B.综合题组练1在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则cos A()A. B.C D解析：选C.如图，过点A作ADBC.设BCa，则BC边上的高ADa.又因为B，所以BDADa，ABa，DCaBDa，所以ACa.在ABC中，由余弦定理得cos A.2(2020郑州市调研测试)已知ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，若ab4，则c的取值范围为()A(0，4) B2，4)C1，4) D(2，4解析：选B.根
18、据正弦定理可得，即，由三角形内角和定理可得sin(AB)sin C，所以sin2Asin2Bsin2Csin Asin B，再根据正弦定理可得a2b2c2ab.因为ab4，ab2，所以ab4，(ab)216，得a2b2162ab，所以162abc2ab，所以16c23ab，故16c212，c24，c2，故2c4，故选B.3(2020广东佛山顺德第二次质检)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2bsin Ccos Aasin A2csin B.(1)证明：ABC为等腰三角形；(2)若D为BC边上的点，BD2DC，且ADB2ACD，a3，求b的值解：(1)证明：因为2bsin Cco
19、s Aasin A2csin B，所以由正弦定理得2bccos Aa22cb，由余弦定理得2bca22bc，化简得b2c22bc，所以(bc)20，即bc.故ABC为等腰三角形(2)法一：由已知得BD2，DC1，因为ADB2ACDACDDAC，所以ACDDAC，所以ADCD1.又因为cosADBcosADC，所以，即，得2b2c29，由(1)可知bc，得b.法二：由已知可得CDa1，由(1)知，ABAC，所以BC，又因为DACADBC2CCCB，所以CABCDA，所以，即，所以b.4(综合型)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos Bbcos A.(1)求cos B的值；(2)若a2，cos C，求ABC外接圆的半径R.解：(1)因为cos Bbcos A，所以结合正弦定理，得cos Bsin Bcos A，所以sin Ccos Bsin(AB)sin C又因为sin C0，所以cos B.(2)由(1)知，sin B.因为cos C，所以sin C，所以sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C，所以R.