1、模块学习评价(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中的横线上)1(2013重庆高考)设复数z12i(i是虚数单位)，则|z|_.【解析】z12i，|z|.【答案】2正方形的对角线互相平分；平行四边形的对角线互相平分；正方形是平行四边形根据“三段论”推理推出一个结论，则这个结论是_(填序号)【解析】根据三段论的一般形式，可以得到大前提是，小前提为，故得到结论为.【答案】3设复数z满足i，i为虚数单位，则z等于_【解析】i，z2i.【答案】2i4用反证法证明某命题时，对结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数“正确的反设为_【答案】a，
2、b，c中至少有两个偶数或都是奇数5已知aR，复数z在复平面内对应的点位于y轴的负半轴上，那么实数a的值是_【解析】zi，z对应的点位于y轴的负半轴上，0且0，解得a1.a1.【答案】16如图1(1)中，小正方体的个数为1，图(2)中，小正方体的个数为5，图(3)中，小正方体的个数为14，依此规律堆积，则第6个图形中小正方体的个数为_图1【解析】an1222n2，a612226291.【答案】917(2013广东高考改编)若i(xyi)34i，x，yR，则复数xyi的模是_【解析】法一因为i(xyi)34i，所以xyi43i，故|xyi|43i|5.法二因为i(xyi)34i，所以yxi34i，
3、所以x4，y3，故|xyi|43i|5.法三因为i(xyi)34i，所以(i)i(xyi)(i)(34i)43i，即xyi43i，故|xyi|43i|5.【答案】58下列推理：留长头发的都是艺术家，小孙留了长头发，所以小孙也是艺术家；因为a1时，指数函数yax是增函数，而atan 1，所以y(tan )x是增函数；平行四边形的对角线互相平分，因为菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；无理数都是实数，是实数，所以是无理数其中错误的命题序号是_【解析】中“留长头发的都是艺术家”不正确，大前提错误；中0atan 1，小前提错误；中小前提中的特殊对象必须是大前提中一般对象的子集，正确的小前提应为
4、“”是无理数；只有的推理是正确的错误【答案】9(2013湖北高考改编)在复平面内，复数z(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于第_象限【解析】z1i，所以1i，故复数z的共轭复数对应的点位于第四象限【答案】四10若三角形内切圆半径为r，三边长为a、b、c，则三角形的面积Sr(abc)，运用类比思想，对于空间中的四面体的内切球，存在一个类似的结论为_【解析】“面积”类比为“体积”，“长度”类比为“面积”【答案】若四面体内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则四面体的体积为VR(S1S2S3S4)11在古希腊毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28，这些数叫做三角形数
5、，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形图2则第n个三角形数为_【解析】转化为anan1nan2(n1)nan3(n2)(n1)n123n.【答案】n(n1)12设a，b，c，则a，b，c的大小关系为_【解析】b，c，显然bc，acb.【答案】acb13(2013无锡高二检测)对于两个复数：i，i，有如下几个结论：在复平面内，表示的点关于实轴对称；2；2 0102 0102；.其中正确结论的序号为_【解析】正确因为，对应的点分别为(，)，(，)，关于实轴对称错误，i，2(i)2i，2.正确，3(i)31，3(i)31，2 010(3)670(1)21，2 010(3)670(1)21.错误，因
6、为复数不能比较大小【答案】14(2013徐州高二检测)在平面几何中，ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比，把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中(如图3所示)，面DEC平分二面角ACDB且与AB相交于E，则得到的类比的结论是_图3【解析】CE平分角ACB，而面CDE平分二面角ACDB，可类比成，故结论为.【答案】二、解答题(本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分14分)已知：xR，ax21，b2x2.求证：a，b中至少有一个不小于0.【证明】假设a，b中没有一个不小于0，即a0，b0，则ab0，又abx212x2x22x1(x1)20.这与假设所
7、得结论矛盾，故假设不成立，a，b中至少有一个不小于0.16(本小题满分14分)(2013湛江高二检测)已知关于x的方程x2(6i)x9ai0(aR)有实根b.(1)求实数a，b的值；(2)若复数z满足|abi|2|z|0，则z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值【解】(1)因为b是方程的根，所以(b26b9)(ab)i0，故解得ab3.(2)设zxyi(x，y是实数)，由|33i|2|z|，得：(x3)2(y3)24(x2y2)，即(x1)2(y1)28.z的对应点Z的轨迹是以(1,1)为圆心，2为半径的圆所以z1i时，|z|最小值为.17(本小题满分14分)已知：sin2 30si
8、n290sin2150，sin25sin265sin2125，通过观察上述两等式的规律，请你写出一个一般性的结论，并给出证明【解】一般性的结论为：sin2(60)sin2sin2(60).证明：左边cos(2120)cos 2cos(2120)(cos 2cos 120cos 2cos 2cos 120)2cos 2()cos 2.左边右边，故一般性结论成立18(本小题满分16分)(2013连云港高二检测)设实部为正数的复数z满足|z|，且(12i)z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上(1)求复数z；(2)若(mR)为纯虚数，求m的值【解】(1)设zabi(a0，bR)(12i)z(
9、12i)(abi)(a2b)(2ab)i，由题意可知由得a3b.a0，b0.解得a3，b1，z3i.(2)由(1)知z3i，3i，3ii.为纯虚数，m50且m10，即m5.故实数m的值是5.19(本小题满分16分)图4(2013山东高考)如图4，四棱锥PABCD中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点(1)求证：CE平面PAD；(2)求证：平面EFG平面EMN.(1)【证明】法一如图(1)，取PA的中点H，连接EH，DH.因为E为PB的中点，所以EHAB，EHAB.又因为ABCD，CDAB，所以EHCD，EHCD.所以四边形DCE
10、H是平行四边形所以CEDH.又DH平面PAD，CE平面PAD，所以CE平面PAD.(2)法二如图(2)，连接CF.因为F为AB的中点，所以AFAB.又因为CDAB，所以AFCD.又因为AFCD，所以四边形AFCD为平行四边形所以CFAD.又因为CF平面PAD，所以CF平面PAD.因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EFPA.又因为EF平面PAD，所以EF平面PAD.因为CFEFF，故平面CEF平面PAD.又因为CE平面CEF，所以CE平面PAD.(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EFPA.又因为ABPA，所以ABEF.同理可证ABFG.又因为EFFGF，EF平面EFG，FG平面EF
11、G，因此AB平面EFG.又因为M，N分别为PD，PC的中点，所以MNDC.又因为ABDC，所以MNAB，所以MN平面EFG.又因为MN平面EMN，所以平面EFG平面EMN.20(本小题满分16分)已知ABC的三边长为a、b、c，且其中任意两边长均不相等，若，成等差数列(1)比较与的大小，并证明你的结论(2)求证B不可能是钝角【解】(1)大小关系为，证明如下：要证明，只需证明，又a，b，c大于0，只需证明b2ac，(*)，成等差数列，2，因此b2ac，(*)a，b，c均不相等，(*)式等号不成立，则b2ac成立，故成立(2)假设B为钝角，则cos B0，又cos B0，这与cos B0矛盾，故假设不成立，所以角B不可能是钝角
