1、课时跟踪检测(十三)导数的概念及运算、定积分一、题点全面练1曲线yexln x在点(1，e)处的切线方程为()A(1e)xy10B(1e)xy10C(e1)xy10 D(e1)xy10解析：选C由于ye，所以y|x1e1，故曲线yexln x在点(1，e)处的切线方程为ye(e1)(x1)，即(e1)xy10.2曲线f(x)x3x3在点P处的切线平行于直线y2x1，则P点的坐标为()A(1,3) B(1,3)C(1,3)和(1,3) D(1，3)解析：选Cf(x)3x21，令f(x)2，则3x212，解得x1或x1，P(1,3)或(1,3)，经检验，点(1,3)，(1,3)均不在直线y2x1上
2、，故选C.3已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足关系式f(x)x23xf(2)ln x，则f(2)的值等于()A2 B2C D.解析：选C因为f(x)x23xf(2)ln x，所以f(x)2x3f(2)，所以f(2)223f(2)，解得f(2).4.(2019四川名校联考)已知函数f(x)的图象如图所示，f(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是()A0f(2)f(3)f(3)f(2)B0f(3)f(2)f(3)f(2)C0f(3)f(3)f(2)f(2)D0f(3)f(2)f(2)f(3)解析：选C设f(3)，f(3)f(2)，f(2)分别表示直线n，m，l的斜率，数形结合知0
3、f(3)f(3)f(2)0，a，aa2，当且仅当a1时等号成立答案：2，)10(2018烟台期中)设函数F(x)ln x(0x3)的图象上任意一点P(x0，y0)处切线的斜率k恒成立，则实数a的取值范围为_解析：由F(x)ln x(0x3)，得F(x)(0x3 )，则有kF(x0)在(0,3上恒成立，所以amax.当x01时，xx0在(0,3上取得最大值，所以a.答案：二、专项培优练(一)易错专练不丢怨枉分1若f(x)x22f(x)dx，则f(x)dx()A1 BC. D1解析：选Bf(x)x22f(x)dx，f(x)dx2f(x)dx，f(x)dx.2设f(x)则f(x)dx的值为()A.
4、B.3C. D.3解析：选Af(x)dxdx (x21)dx12.3等比数列an中，a12，a84，函数f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，则f(0)()A26 B29C212 D215解析：选C因为f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)(xa1)(xa2)(xa8)x(xa1)(xa2)(xa8)(xa1)(xa2)(xa8)x，所以f(0)(0a1)(0a2)(0a8)0a1a2a8.因为数列an为等比数列，所以a2a7a3a6a4a5a1a88，所以f(0)84212.4若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和yax2x9都相切，则a等于()A1或 B1或C或 D或7解析：选A因
5、为yx3，所以y3x2，设过点(1,0)的直线与yx3相切于点(x0，x)，则在该点处的切线斜率为k3x，所以切线方程为yx3x(xx0)，即y3xx2x.又点(1,0)在切线上，所以x00或x0.当x00时，切线方程为y0.由y0与yax2x9相切可得a；当x0时，切线方程为yx，由yx与yax2x9相切，可得a1.综上，a的值为1或.(二)素养专练学会更学通5逻辑推理已知f1(x)sin xcos x，fn1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn1(x)fn(x)，nN*，则f2 019(x)()Asin xcos x Bsin xcos xCsin
6、 xcos x Dsin xcos x解析：选Af1(x)sin xcos x，f2(x)f1(x)cos xsin x，f3(x)f2(x)sin xcos x，f4(x)f3(x)cos xsin x，f5(x)f4(x)sin xcos x，fn(x)的解析式以4为周期重复出现，2 01945043，f2 019(x)f3(x)sin xcos x.6逻辑推理曲线yln(2x1)上的点到直线2xy80的最短距离是()A2 B2C2 D.解析：选A设M(x0，ln(2x01)为曲线上的任意一点，则曲线在点M处的切线与直线2xy80平行时，点M到直线的距离即为曲线yln(2x1)上的点到直线
7、2xy80的最短距离y，2，解得x01，M(1,0)记点M到直线2xy80的距离为d，则d2.7直观想象如图，yf(x)是可导函数，直线l：ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，则曲线g(x)在x3处的切线方程为_解析：由题图可知曲线yf(x)在x3处的切线斜率等于，即f(3).又g(x)xf(x)，所以g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，由题图可知f(3)1，所以g(3)3f(3)3，g(3)130，则曲线g(x)在x3处的切线方程为y30.答案：y308逻辑推理、数学运算设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y1
8、20.(1)求f(x)的解析式；(2)曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形的面积是否为定值，若是，求此定值；若不是，说明理由解：(1)方程7x4y120可化为yx3，当x2时，y.又f(x)a，所以解得故f(x)x.(2)是定值，理由如下：设P(x0，y0)为曲线yf(x)上任一点，由f(x)1知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，即y(xx0)令x0，得y，得切线与直线x0的交点坐标为.令yx，得yx2x0，得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积S|2x0
9、|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.9逻辑推理、数学运算已知函数f(x)ln x，曲线yf(x)在点处的切线平行于直线y10x1.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设直线l为函数g(x)ln x图象上任意一点A(x0，y0)处的切线，问：在区间(1，)上是否存在x0，使得直线l与曲线h(x)ex也相切？若存在，满足条件的 x0有几个？解：(1)函数f(x)ln x(x0且x1)，f(x)，曲线yf(x)在点处的切线平行于直线y10x1，f28a10，a1，f(x).x0且x1，f(x)0，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)和(1，)，无单调递减区间(2)在区间(1，)上存在唯一一个满足条件的x0.g(x)ln x，g(x)，切线l的方程为yln x0(xx0)，即yxln x01.设直线l与曲线h(x)ex相切于点(x1，ex1)，h(x)ex，ex1，x1ln x0，直线l的方程也可以写成y(xln x0)，即yx.由得ln x01，ln x0.下证在区间(1，)上存在唯一一个满足条件的x0.由(1)可知，f(x)ln x在区间(1，)上单调递增，又f(e)0，f(e2)0，结合零点存在性定理，知方程f(x)0在区间(e，e2)上有唯一的实数根，这个根就是所求的唯一满足条件的x0.