1、2017年镇海中学数学竞赛模拟试卷（2） 姓名_1若集合，则集合（ ） A BC D2若函数（，且）的值域为，则实数的取值范围为（ ）A B C D 3如图，在四面体中，已知两两互相垂直，且则在该四面体表面上与点距离为的点形成的曲线段的总长度为（ ）A BC D 4中，“”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件5已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）A BC D6记为三个数中的最小数，若二次函数有零点，则 的最大值为（ ）A2 B C D1二、填空题（每小题8分，共64分）7数学竞赛后，小明、小乐和小强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，
2、一人得铜牌，老师猜测：“小明得金牌，小乐不得金牌，小强得的不是铜牌”结果老师只猜对了一个，由此推断：得金牌、银牌、铜牌的依次是 8省中医院5月1号至5月3号拟安排6位医生值班，要求每人值班1天，每天安排2人若6位医生中的甲不能值2号，乙不能值3号，则不同的安排值班的方法共有 种9已知函数，若对于任意的，存在，使得成立，则的取值范围为 10已知，则的取值范围为 11已知是偶函数，时， (符号表示不超过的最大整数)，若关于的方程恰有三个不相等的实根，则实数的取值范围为 12已知点为椭圆的右焦点，椭圆的离心率为，过点的直线交椭圆于两点(点在轴的上方)，且，则直线的斜率为 13方程的正整数解为 （写出
3、所有可能的情况)14一个有限项的数列满足：任何3 个连续项之和都是负数，且任何4个连续项之和都是正数，则此数列项数的最大值为 三、解答题 （共56分） 15已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图象上（）求实数的值；（）当方程有两个不等实根时，求的取值范围；（）设，求证，16如图，椭圆的离心率，短轴的两个端点分别为，焦点为，四边形的内切圆半径为（）求椭圆的方程；（）过左焦点的直线交椭圆于两点，交直线于点，设，试证为定值，并求出此定值17已知函数，直线为曲线的切线（）求实数的值；（）用表示中的最小值，设函数，若函数为增函数，求实数的取值范围试卷答案一、选择题1D解：依题意，由，知； ，知或所以，
4、或，即2A解：当时，函数的值域为，当时，即时，且时恒成立，的取值范围为3B解：如图，设 (在上，在上，在上)由，知，在面内与点距离为的点形成的曲线段(图中弧) 长为同理，在面内与点距离为的点形成的曲线段长为同理，在面内与点距离为的点形成的曲线段长为同理，在面内与点距离为的点形成的曲线段长为所以，该四面体表面上与点距离为的点形成的曲线段的总长度为4C解：5D解法1令，则函数为奇函数且在实数上为增函教，不等式转化为解法二：关于中心对称且在实数上为增函数6B解：可以不妨设，因为，所以，故所以，所以（当且仅当时取等号)二、填空题7小乐，小强，小明842解： 分两类(1) 甲、乙同一天值班，则只能排在1
5、号，有种排法；(2) 甲、乙不在同一天值班，有种排法，故共有42 种方法9解法一： 函数视作为的函数问题等价于对于，由于，所以所以问题等价于，即，所以解法二： 由题意得对于则只需设此时所以对于 只需，所以解法三： 若对任意的，存在 使得当时符合条件；当时等价于若对任意的，存在使得或若则因为，所以所以函数在为减函数，在为增函数所以当时，进而有；当 时，进而有；所以若，则 所以应有： 这与矛盾，舍去综上：10解：由及有，所11解：作出函数与的草图(如图所示)易知直线恒过点，是方程的一个根从图像可知，当，即时，两个函数的图像恰有三个不同的交点的取值范围为 12解：极点在右焦点的极坐标方程为，所以，从
6、而，可得，所以直线的斜率为13解：，由，知，因此，若，则，将，代入题中方程，得若，则，由知，不存在若，则以，又，因此，经验证只有符合将代入题中方程，得符合条件的正整数解有或145解：一方面可以构造5 项的数列：符合题设；另一方面，证明满足条件的数列不超过5项否则取出前6 项，作出如下排列：由每行的和为负数，知这12 个数之和为负数；由每列的和为正数，知这12 个数之和为正数矛盾三、解答题15解：（）函数的图像恒过定点，点的坐标为又因为点在上，则即 ， （） 即，由图像可知：，故的取值范围为（），16解：（）如图所示，设四边形的内切圆与边的切点为，连接由，得又，解得，故椭圆的方程为（）根据巳知条件，可设直线的方程为，代入椭圆方程，整理得(设，则，又，由，得，为定值17解：（）对求导得，设直线与曲线切于点，则，解得所以的值为1（）记函数 ，下面考察函数的符号对函数求导得当时恒成立当时，从而在上恒成立，故在上单调递减，又曲线在上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知惟一的)，使；，从而由函数为增函数，且曲线在上连续不断知在上恒成立当时，在上恒成立，即在上恒成立记，则，当变化时，变化情况如下表：30+减函数极小值增函数故“在上恒成立”只需，即当时，当时，在上恒成立综合(1) (2) 知，当时，函数为增函数故实数的取值范围是