1、3.2.2复数代数形式的乘除运算内容标准学科素养1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算；2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律；3.理解共轭复数的概念.严格数学概念提升数学运算恰当转化化归授课提示：对应学生用书第56页基础认识知识点一复数的乘法法则怎样进行复数的乘法？提示：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成1，并且把实部与虚部分别合并即可知识梳理(1)复数乘法的运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)是任意两个复数，那么它们的积(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.(2)复数乘法的运算律对任意复数 z1，z2，z3C，有交换律z1z
2、2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z3知识点二共轭复数共轭复数有何性质？提示：设zabi(a，bR)，则abi.则z2a；z2bi；z|z|2.知识梳理当两个复数的实部相等、虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，z的共轭复数用表示即zabi，则abi.知识点三复数的除法法则如何理解复数的除法运算法则？提示：复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)知识梳理复数除法的运算法则对于复数z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，(abi) (cdi)i(c
3、di0)思考：1.实数集和复数集内的乘法、乘方有何不同？提示：实数集内乘法、乘方的一些重要结论和运算法则在复数集内不一定成立，如：(1)当zR时，有|z|2z2；当zC时，有|z|2R，而z2C，故|z|2和z2不能进行比较例如，当z1i时，|z|22，z22i，此时2和2i不能进行比较(2)当m，nR时，有m2n20mn0；当z1，z2C时，zz0D/z1z20，但z1z20zz0.需注意：z1z20的充要条件是z10或z20.依据复数的乘法运算可得z1z20|z1z2|0|z1|z2|0z10或z20.2你是怎样理解共轭复数的？提示：(1)实数的共轭复数是它本身，即zzR，利用这个性质可证
4、明一个复数为实数(2)若z0且z0，则z为纯虚数，利用这个性质可证明一个复数为纯虚数(3)zR的充要条件是z.设zabi，则zRb0z，所以zR的充要条件是z.(4)z不是z为纯虚数的充要条件设zabi，若z是纯虚数，则a0，b0，此时zbi，bi，从而z；反之，若z，则abi(abi)，所以aa，即a0，此时zbi，当b0时z是纯虚数，当b0时z0.所以z是z为纯虚数的必要不充分条件3如何理解复数的除法？提示：(1)复数的除法与实数的除法有所不同，对于实数的除法，可以直接约分化简，得出结论，但对于复数的除法，因为分母为复数，一般不能直接约分化简(2)复数除法的一般做法：通常先把(abi)(c
5、di)写成的形式，再把分子与分母同乘分母的共轭复数，最后将结果化简，即(abi)(cdi)自我检测1复数(ai)(1i)(aR)的实部与虚部相等，则实数a()A1 B0 C1 D2解析：(ai)(1i)a1(1a)i(aR)，实部与虚部相等，a11a，解得a0.答案：B2复数z与复数i(2i)互为共轭复数，其中i为虚数单位，则 z()A12i B12i C12i D12i解析：i(2i)12i，又复数z与复数i(2i)互为共轭复数，z12i.答案：A3设z1i(i是虚数单位)，则z2_.解析：z2(1i)212ii21i12i11i.答案：1i授课提示：对应学生用书第57页探究一复数的乘除运算
6、例1计算：(1)(1i)(1i)；(2)(23i)(12i)；(3)；(4).解析(1)原式(1i)(1i)(1i2)21i.(2)原式i.(3)1i.(4)1i. 方法技巧(1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算(2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似跟踪探究1.计算：(1)(158i)(12i)；(2).解析：(1)原式(158i)(12i)(1530i8i16i2)(38i1)138i.(2)法一
7、： 2i.法二：2i.探究二i的运算性质例2计算：(1)2 016(2)ii2i2 017解析(1)原式1 008i(1i)(i)1 008ii2(1)1 008 i1 008i1i4252i11i.(2)法一：原式i.法二：因为inin1in2in3in(1ii2i3)0(nN*)所以原式(ii2i3i4)(i5i6i7i8)i2 017i2 017(i4)504i1504ii.方法技巧(1)等差、等比数列的求和公式在复数集C中仍适用，i的周期性要记熟，即inin1in2in30(nN*)(2)记住以下结果，可提高运算速度(1i)22i，(1i)22i；i，i；i.跟踪探究2.(1)计算6_
8、；(2)计算232 016的值为_解析：(1)由i，i，可得原式i6i1i.(2)因为i，所以原式ii2i3i2 016i1232 016ii1 0082 017(i2)5042 0171.答案：(1)1i(2)1探究三共轭复数及应用例3把复数z的共轭复数记作，已知(12i)43i，求z.解析设zabi(a，bR)由已知得：(12i)(abi)(a2b)(2ab)i43i，由复数相等的定义知，解得a2，b1，所以z2i.延伸探究(1)若把本例条件改为(z2)43i，求z.解析：设zxyi(x，yR)则xyi，由题意知，(xyi)(xyi2)43i.得 解得或所以zi或zi.(2)若把条件改为(
9、12i)z43i，求z.解析：设zxyi(x，yR)，则(12i)(xyi)43i，得解得所以z2i.方法技巧已知关于z和的方程求解z或时，常设出z的代数形式，再表示出，代入方程，利用复数相等的充要条件，转化为实数方程组求解跟踪探究3.(1)是z的共轭复数，若z2，(z)i2(i为虚数单位)，则z等于()A1i B1iC1i D1i(2)若z12i，则等于()A1 B1 Ci Di解析：(1)设zabi，a，b为实数，则abi.因为z2a2，所以a1.又(z)i2bi22b2，所以b1.故z1i.故选D.(2)i，故选C.答案：(1)D(2)C授课提示：对应学生用书第58页课后小结(1)复数代
10、数形式的乘除运算复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化(2)共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题(3)复数问题实数化思想复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数zabi(a，bR)，利用复数相等的充要条件转化素养培优误认为|z|2z2致错易错案例：已知复数z满足条件z2|z|60.求复数z.易错分析：求解本题易将复数z的模等同于实数的绝对值，误认为|z|2z2而出错事实上，若zabi(a，bR)，有z2a2b22abi，|z|2a2b2，即z2|z|2，二者不可混淆考查等价转化，数学运算等核心素养自我纠正：设zxyi(x，yR)，则依条件得x2y22xyi60.依复数相等的充要条件得解得或(无解)，即解得故z3或z3.