1、第2课时导数与函数单调性的应用1.命题甲:对任意x(a,b),有f(x)0;命题乙:f(x)在区间(a,b)内递增,则甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A2.已知函数f(x)=x3-ax-1的递减区间是(-1, 1),则a的取值范围是()A.a3B.a0C.a=3D.a3解析:f(x)=3x2-a,由题意知-1与1是方程3x2-a=0的两个解,所以a=3.答案:C3.若函数f(x)=x3-ax2-x+6在区间(0,1)内递减,则实数a的取值范围是()A.1,+)B.a=1C.(-,1D.(0,1)解析:f(x)=3x2-2ax-1.f(x
2、)在(0,1)内递减,当x(0,1)时,f(x)0恒成立,即3x2-2ax-10恒成立.ax-.函数y=x-在(0,1)上是增加的,0y-f(x)恒成立.若常数a,b满足ab,则下列不等式一定成立的是()A.af(b)bf(a)B.af(a)bf(b)C.af(a)bf(b)D.af(b)-f(x),xf(x)+f(x)0,g(x) 0,即g(x)在R上是增函数.又ab,g(a)g(b),即af(a)bf(b).答案:B5.已知函数f(x)(xR)满足f(1)=1,且f(x)的导函数f(x),则f(x)的解集为()A.x|-1x1B.x|x-1C.x|x1D.x|x1解析:构造函数g(x)=f
3、(x)-.则g(x)=f(x)-.f(x),g(x) 0,即g(x)在R上是减函数.g(1)=f(1)-1=0,g(x)过点(1,0)且递减,g(x)1.答案:D6.若函数y=-x3+bx有三个单调区间,则b的取值范围是.解析:若函数y=-x3+bx有三个单调区间,则y=-4x2+b=0有两个不相等的实数根,所以b0.答案:(0,+)7.设p:f(x)=ln x+2x2+mx+1在区间(0,+)上是增加的,q:m-4,则p是q的条件.解析:f(x)=ln x+2x2+mx+1在区间(0,+)上是增加的,可知在(0,+)上,f(x)= +4x+m0恒成立,而+4x4,当且仅当x=时等号成立,=4
4、,故只需要4+m0,即m-4即可.故p是q的充要条件.答案:充要8.已知函数f(x)=2x2-ln x在定义域内的一个子区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数k的取值范围是.解析:显然函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=4x-.由f(x)0,得函数f(x)的递增区间为;由f(x)0,得函数f(x)的递减区间为.因为函数在区间 (k-1,k+1)上不是单调函数,所以k-1k+1,解得-k.又因为 (k-1,k+1)为定义域内的一个子区间,所以k-10,即k1.综上所述,1k.答案:1k0,则0,x0,x,即f(x)的递增区间是.f(x)在2,+)上是增加的,2,a16.故a的取值范
5、围是(-,16.10.已知函数f(x)=x-(x+1)ln(x+1)(x-1).(1)求f(x)的单调区间;(2)证明:当nm0时,(1+n)m(1+m)n.(1)解由f(x)=x-(x+1)ln(x+1),知f(x)=-ln(x+1).当-1x0;当x0时,f(x)0),则g(x)=.由(1)知,f(x)=x-(1+x)ln(1+x)在(0,+)上是减少的,故x-(1+x)ln (1+x)m0,所以g(n)g(m),得,即mln(1+n)nln(1+m),故(1+n)m0知,f(x)与1-x+ex-1同号.令g(x)=1-x+ex-1,则g(x)=-1+ex-1.所以,当x(-,1)时,g (x)0,g(x)在区间(1,+)上是增加的.故g(1)=1是g(x)在区间(-,+)上的最小值,从而g(x)0,x(-,+).综上可知,f(x)0, x(-,+).故f(x)的递增区间为(-,+).