1、天津市耀华中学 2020 届高三年级暑假验收考试数学试卷第 1页（共 4页）天津市耀华中学 2020 届高三年级暑假验收考试数学试卷一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知全集UR，集合|Ax yx，2|1By yx，那么集合()U AB A.(，0B.(0，1)C.(0，1D.0，1)2.设 xR，则“|2|1x ”是“220 xx”的A.既不充分也不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.充分而不必要条件3.“十二平均律”是通用的音律体系.明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡
2、献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 12 2.若第一个单音的频率为 f，则第八个单音的频率为A.3 2 fB.322 fC.1252 fD.1272 f4.已知2logae，ln 2b，121log 3c，则 a，b，c 的大小关系为A.abcB.bacC.cbaD.cab5.若将函数2sin 2yx的图象向左平移 12 个单位长度，则平移后图象的对称轴为A.()26kxkZB.()26kxkZC.()212kxkZD.()212kxkZ6.已知()f x 是定义在 R 上的偶函数，且在区间(，0)上单
3、调递增.若实数a 满足|1|(2)(2)aff，则 a 的取值范围是A.(，1)2B.(，13)(22，)C.1(2，3)2D.3(2，)7.已知抛物线28yx的准线与双曲线222116xya 相交于 A，B 两点，点 F 为抛物线的焦点，ABF为直角三角形，则双曲线的离心率为A.3B.21C.2D.38.已知函数2231()ln1xxxf xxx，若关于 x 的方程1()2f xkx恰有四个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是天津市耀华中学 2020 届高三年级暑假验收考试数学试卷第 2页（共 4页）A.1(2，)eB.12，)eC.1(2，eeD.1(2，)ee二、填空题：本大题共 6
4、 小题，每小题 5 分，共 30 分.9.已知i 为虚数单位，则 21ii _.10.在61(2)xx的展开式中2x 的系数为_（用数字作答）.11.已知正方体1111ABCDA B C D的棱长为1，除面 ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点 E、F、G、H、M(如图)，则四棱锥 MEFGH的体积为_.12.直线3ykx与圆22(4)(3)4xy相交于 M、N 两点，|2 3MN，则k的取值范围是_.13.已知 a、b、c 为正实数，20abc，则2bac的最小值为_.14.在 ABC中，60A，3AB，2AC.若2BDDC，AEACAB()R，且 AD4AE ，则 的值为_.三、解
5、答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答时应写出文字说明、演算步骤或证明过程15.（本小题满分 13 分）在 ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.已知4a，2 2c，2cos4A .求b 和sinC 的值；求cos(2)6A的值.16.（本小题满分 13 分）甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为 34、23、12，笔试、口试、实验通过考试分别记 4 分、2 分、4 分，没通过的项目记0 分，各项成绩互不影响若规定总分不低于8 分即可进入复赛，求甲同学进入复赛的概率；记三个项目中通过考试的个数为 X，求随机变量 X 的分布列
6、和数学期望.天津市耀华中学 2020 届高三年级暑假验收考试数学试卷第 3页（共 4页）17.（本小题满分 13 分）如图，在四棱锥 PABCD中，侧棱 PD 底面 ABCD，底面 ABCD 为长方形，且1PDCD，2BC，E 是棱 PC 的中点，过点 E 作 EFPB于点 F.求证：PB 平面 DEF；求直线 BD 与平面 DEF 所成角的正弦值；求二面角 DBPC的余弦值.18.（本小题满分 13 分）设na是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为*()nSnN，nb是等差数列.已知11a，322aa，435abb，5462abb.求na和 nb的通项公式；求1nkkkbS.天津市耀华中
7、学 2020 届高三年级暑假验收考试数学试卷第 4页（共 4页）19.（本小题满分 14 分）已知椭圆C：22221xyab(0)ab的离心率32e，椭圆C 上的点到其左焦点的最大距离为 2+3 求椭圆C 的方程；过点(Aa，0)作直线l 与椭圆相交于点 B，则 y 轴上是否存在点 P，使得线段PAPB，且4PA PBuur uur？如果存在，求出点 P 坐标；否则请说明理由20.（本小题满分 14 分）已知函数2()f xaxx，()lng xbx，且曲线()f x 与()g x 在1x 处有相同的切线求实数 a，b 的值；求证：()()f xg x在(0，)上恒成立；当1n，)时，求方程(
8、)()f xxng x在区间(1，)ne内实根的个数.天津市耀华中学 2020 届高三年级暑假验收考试数学参考答案第 1页（共 4页）天津市耀华中学 2020 届高三年级暑假验收考试数学参考答案一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分题号12345678选项CDDDBCAD二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9.1322i；10.240；11.112；12.1515，15 15；13.8；14.311.三、解答题：本题共 6 小题，共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15.（本小题满分 13 分）由余弦定理得2222cosabc
9、bcA，即22216822 2284bbbb，也即2280bb，解得2b 或 4（舍）.由同角三角函数的基本关系，有214sin1 cos4AA.由正弦定理 sinsinacAC得，7sin4C.由二倍角的正弦和余弦公式，得223cos2cossin4AAA，7sin 22sincos4AAA，73 3cos(2)cos2cossin 2 sin6668AAA.16（本小题满分 13 分）记笔试、口试、实验独立通过考试分别为事件 A、B、C.则事件“甲同学进入复赛”表示为 AC.A、C 相互独立，313()()()428P ACP A P C即甲同学进入复赛的概率为 38.随机变量 X 的所有
10、可能取值为 0，1，2，3，且3211(0)(1)(1)(1)43224P X，1111213111(1)4324324324P X，天津市耀华中学 2020 届高三年级暑假验收考试数学参考答案第 2页（共 4页）12131132111(2)43243243224P X，3211(3)4324P X.随机变量 X 的分布列为：X0123P12414112414数学期望1111123()012324424412E X .17.（本小题满分 13 分）PD 底面 ABCD，BC 平面 ABCD，PDBC.底面 ABCD 为长方形，CDBC.又 PDCDD，BC 平面 PCD.DE 平面 PCD，D
11、EBC.PDCD，E 为 PC 的中点，DEPC.又 PCBCC，DE 平面 PBC.DEPB.又 EFPB，DEEFE，PB 平面 DEF.由题意易知，DA、DC、DP 两两垂直，以 D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0D，0，0)，(0P，0，1)，(0C，1，0)，(2B，1，0).(2BD ，1，0)，(2BP ，1，1)设直线 BD 与平面 DEF 所成角为，且由知 BP为平面 DEF 的法向量.sin|cosBD，30|6BP 即直线 BD 与平面 DEF 所成角的正弦值为306.由知，(0E，12，1)2，(2BD ，1，0)，(2BP ，1，1)可求得平面 PB
12、D 的法向量(1n，2，0)由知 DE 平面 PBC DE为平面 PBC 的法向量，(0DE，12，1)2设二面角 DBPC为，且由图可知，为锐角，则cos|cosDE，10|5n 二面角 DBPC的余弦值为 105.18.（本小题满分 13 分）天津市耀华中学 2020 届高三年级暑假验收考试数学参考答案第 3页（共 4页）解：设等比数列na的公比为 q，由11a，322aa，可得220qq.0q，可得2q.故12nna.设等差数列 nb的公差为 d，由435abb，得134bd，由5462abb，得131316bd，11bd.故nbn；解：由，可得1 2211 2nnnS，故211111(
13、21)(2)2(1)222nnnnkkknnkkkknnTkkkkkn19.（本小题满分 14 分）解：2214xy；由知(2A ，0)，设1(B x，1)y，由题意，直线l 斜率存在，设为 k，则直线l 方程为(2)yk x，联立方程得22(2)14yk xxy，整理得2222(14)16(164)0kxk xk，由212164214kxk得2122814kxk则12414kyk，假设 y 轴上存在点 P，使得线段 PAPB，且4PA PBuur uur则由PAPB得点 P 为线段 AB 中垂线与 y 轴交点.设(0P，0)y.设 AB 中点为 M，则 M 的坐标为228(14kk，22)1
14、4kk.以下分两种情况：当0k 时，点(2B，0)，此时 AB 中垂线为 y 轴，于是(2PA uur，0)y，(2PB uur，0)y.由4PA PBuur uur得02 2y .当0k 时，线段 AB 中垂线的方程为222218()1414kkyxkkk 令0 x，解得02614kyk .(2PA PB uur uur，01)(yx，101010)2()yyxyyy 2422222222(28)6464(16151)()41+41+41+41+4(1+4)kkkkkkkkkkk解得147k ，02 145y ，天津市耀华中学 2020 届高三年级暑假验收考试数学参考答案第 4页（共 4页）
15、综上，y 轴上存在点 P，使得线段 PAPB，且4PA PBuur uur，点 P 坐标为(0，2 2)或(0，2 14)5.20.（本小题满分 14 分）解：()21fxax，()bg xx，曲线()()f xg x和在1x 处有相同的切线，(1)21=(1)(1)1(1)0fagbfag，解得1a，1b ；证明：设2()()()lnu xf xg xxxx，0 x.1(21)(1)()21xxu xxxx 当01x时，()0u x，()u x 单调递减；当1x 时，()0u x，()u x 单调递增.()(1)0u xu，即()()f xg x在(0，)上恒成立.设2()()()lnh x
16、f xng xxnx，2222()()222()2nnxxnxnh xxxxx当212n 即12n时，()0h x在(1，)ne上恒成立，即()h x 单调递增，从而()(1)10h xh，所以()h x 零点个数为 0；当212n 即2n 时，2()012nh xx，2()02nnh xxe，从而()h x 在(1，2)2n 上单调递减，在2(2n，)ne上单调递增，有极小值2()(1ln)222nnnh.xex在(1，)ne上恒成立，22()()(+)0nnnnh eenen en，又(1)10h，所以当2()(1ln)0222nnnh时，即 22ne时，()h x 零点个数为 0；当2()(1ln)0222nnnh时，即2ne时，()h x 零点个数为1；当2()(1ln)0222nnnh时，即 2en时，()h x 零点个数为 2；综上所述，12ne时，方程实根个数为 0；2ne时，方程实根个数为1；2en时，方程实根个数为 2.
