1、数学注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（ ）A或BCD【答案】B【解析】由题意可知，或，则，故选B2设复数（其中，为实数），若
2、，满足，则（ ）ABCD【答案】C【解析】，故选C3可知，则（ ）ABCD【答案】C【解析】，故选C4古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（称为黄金分割比例），已知一位美女身高，穿上高跟鞋后肚脐至鞋底的长度约，若她穿上高跟鞋后达到黄金比例身材，则她穿的高跟鞋约是（ ）（结果保留一位小数）ABCD【答案】B【解析】设该美女穿的高跟鞋为，则，解得，故选B5函数的图象大致为（ ）ABCD【答案】C【解析】易知函数为偶函数，排除A，B选项；，当时，即，排除D6回文数是指从左往右读与从右往左读都是一样的正整数，如，等，在所有小于的三位回文数中任取两个数，则两个回文数的三
3、位数字之和均大于的概率为（ ）ABCD【答案】B【解析】列出所有小于的三位回文数如下：，共个，从中任取两个数共有种情况，其中两个回文数的三位数字之和均大于有种情况，故所求概率为，故选B7已知非零向量，满足且，则与夹角为（ ）ABCD【答案】C【解析】，则，得，设与夹角为，则，即夹角为8已知为等差数列的前项和，则（ ）ABCD【答案】A【解析】由题意得，解得，故二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9已知直线和直线平行，则（ ）ABCD【答案】AD【解析】直线和直线平行，直线的斜率为，直线的斜率
4、为，则，即，解得或10已知，成递增等比数列，则在的展开式中，下列说法正确的是（ ）A二项式系数之和为B各项系数之和为C展开式中二项式系数最大的项是第项D展开式中第项为常数项【答案】ACD【解析】由，成递增等比数列可得，故的二项式系数之和为，A正确；令，则的各项系数之和为，B错误；的展开式共有项，则二项式系数最大的项是第项，C正确；的展开式中展开式中第项为常数项，D正确，故答案选ACD11若椭圆上的一点到椭圆焦点的距离之积为，当取得最大值时，点的坐标可能为（ ）ABCD【答案】CD【解析】记椭圆的两个焦点分别为，故，可得，当且仅当时取等号，即点位于椭圆的短轴的顶点处时，取得最大值，此时点的坐标为
5、点或12已知函数有唯一零点，则的值可能为（ ）ABCD【答案】BC【解析】，令，则，定义域为，故函数为偶函数，所以函数的图象关于对称，要使得函数有唯一零点，则，即，解得或，故答案选BC第卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分13曲线在处的切线方程为 【答案】【解析】，根据导数的几何意义可知曲线在点处的切线斜率为，切线方程为，即14已知，则 ， 【答案】，【解析】，则，根据，得15兵乓球单打比赛在甲、乙两名运动员进行，比赛采取五局三胜制（即先胜3局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同，且各局比赛结果相互独立，那么甲以获胜的概率为 【答案】【解析】因为利用比赛规则，那么甲以
6、获胜表示甲在前4局中胜2局，最后一局甲赢，则利用独立重复实验的概率公式可知16已知双曲线的两条渐近线分别为直线，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于，两点，且，则该双曲线的离心率为 【答案】【解析】由题意得，由题得，整理得，即，即四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）若数列满足（1）求数列的通项公式；（2）若 ，求数列的前项和，（从这三个条件中任选一个填入第（2）问的横线中，并回答问题）【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1），当时，两式相减得，当时，满足，数列的通项公式为（2）选条件，两式相减得，选条件：，选条件：，当为奇数时，；当为偶数
7、时，18（12分）在锐角三角形中，角，的对边分别为，已知（1）求角的大小；（2）求且，求【答案】（1）；（2）【解析】（1）由正弦定理得，故，即，（2），即，得，又为锐角三角形，则，19（12分）如图，在直三棱柱中，底面是直角三角形，且，其中，分别是，上的点且（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：如下图，分别在，上取点，连接，及，及，且，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面（2）如下图所示，以为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，方向为轴正方向建立空间直角坐标系，则，由题易知平面的法向量为，设平面的法向量为，则，取，则，则二面角的正
8、弦值为20（12分）某厂加工的零件按箱出厂，每箱有个零件，在出厂之前需要对每箱的零件作检验，人工检验方法如下：先从每箱的零件中随机抽取个零件，若抽取的零件都是正品或都是次品，则停止检验；若抽取的零件至少有1个至多有个次品，则对剩下的个零件逐一检验已知每个零件检验合格的概率为，每个零件是否检验合格相互独立，且每个零件的人工检验费为元（1）设1箱零件人工检验总费用为元，求的分布列；（2）除了人工检验方法外还有机器检验方法，机器检验需要对每箱的每个零件作检验，每个零件的检验费为元，现有箱零件需要检验，以检验总费用的数学期望为依据，在人工检验与机器检验中，应该选择哪一个？说明你的理由【答案】（1）分布
9、列见解析；（2）人工检验，详见解析【解析】（1）的可能取值为，则的分布列为（2）由（1）知，1000箱零件的人工检验总费用的数学期望为元1000箱零件的机器检验总费用的数学期望为元，且，应该选择人工检验21（12分）过点的直线与抛物线交于，两点，是抛物线的焦点（1）若直线的斜率为，求的值；（2）若，求【答案】（1）；（2）【解析】设，（1）由题意可知直线的方程为，由，消去，得，（2）由，可知，设直线的方程为，由，消去，得，恒成立，由解得或，得，22（12分）已知函数，当时，证明：（1）有唯一极值点；（2）有个零点【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）的定义域为，当时，单减；当时，单增，有唯一极值点（2）由（1）知在单减，在单增，在时取得极小值为，又，根据零点存在性定理，函数在上有且只有一个零点，时，根据零点存在性定理，函数在上有且只有一个零点，有个零点