1、第五章第四节一、选择题1(文)在ABC中，()|2，则三角形ABC的形状一定是()A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形答案C解析由条件知|2()()|2|2，AB2AC2BC2，ABC为直角三角形(理)(2013邯郸模拟)设P是曲线y上一点，点P关于直线yx的对称点为Q，点O为坐标原点，则()A0 B1 C2 D3答案C解析设P(x0，)，则Q(，x0)，x0x02.2(文)(2014咸阳诊断)如图，BC是单位圆A的一条直径，F是线段AB上的点，且2，若DE是圆A中绕圆心A运动的一条直径，则的值是()ABCD不确定答案B解析依题意得()()()()22()221，故选B.(理)
2、点M是边长为2的正方形ABCD内或边界上一动点，N是边BC的中点，则的最大值为()A8B6C5D4答案B解析建立直角坐标系如图，正方形ABCD边长为2，A(0,0)，N(2，1)，(2，1)，设M坐标为(x，y)，(x，y)由坐标系可知2xy，设2xyz，易知，当x2，y2时，z取最大值6，的最大值为6，故选B.3(文)(2014东营模拟)设a，b是不共线的两个向量，其夹角是，若函数f(x)(xab)(axb)(xR)在(0，)上有最大值，则()A|a|b|，且是钝角B|a|b|，且是钝角D|a|b|，且是锐角答案D解析f(x)(ab)x2(|a|2|b|2)xab在(0，)上有最大值，|a|
3、b|且为锐角(理)已知a、b为非零向量，matb(tR)，若|a|1，|b|2，当且仅当t时，|m|取得最小值，则向量a、b的夹角为()A.BC.D答案C解析matb，|a|1，|b|2，令向量a、b的夹角为，|m|atb|.又当且仅当t时，|m|最小，即0，cos，.故选C.4(2014湖南十二校联考)设ABC的三个内角为A，B，C，向量m(sinA，sinB)，n(cosB，cosA)，若mn1cos(AB)，则C()A.BC.D答案C解析mnsinAcosBcosAsinBsin(AB)1cos(AB)即sinC1cosC，所以sin(C)，又因为C为ABC的内角，所以C，即C.5(20
4、14广州梅州二模)已知向量(2,2)，(4,1)，在x轴上有一点P，使有最小值，则P点坐标为()A(3,0)B(3,0)C(2,0)D(4,0)答案B解析设P(x,0)，则(x2，2)，(x4，1)，(x2)(x4)(2)(1)x26x10(x3)21，当x3时有最小值，P(3,0)6(文)在平行四边形ABCD中，BAD60，AD2AB，若P是平面ABCD内一点，且满足xy0(x，yR)，则当点P在以A为圆心，|为半径的圆上时，实数x，y应满足关系式为()A4x2y22xy1B4x2y22xy1Cx24y22xy1Dx24y22xy1答案D解析xy0，xy，AD2AB，BAD60，BDAB，|
5、，|2(xy)2x2|2y2|22xyx2|24y2|22xy|cos60(x24y22xy)|2，x24y22xy1，故选D.(理)(2014山西大学附中二模)过抛物线x22py的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则AOB为()A. 锐角三角形B 直角三角形C. 钝角三角形D不确定答案C解析设直线l的方程为ykx，由，得x22pkxp20，x1x2p2，y1y2，(x1，y1)，(x2，y2)，x1x2y1y2p2p20，n0)，则取最小值时，向量a(m，n)的模为_答案解析因为mnm4n，B，P，E三点共线，所以m4n1，(m4n)()14549，当且仅当，即m2n时取等号，
6、此时m，n，所以|a|.8(文)(2014晋江调研)已知平面向量a，b满足|a|1，|b|2，a与b的夹角为.以a，b为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为_答案解析|ab|2|ab|24ab4|a|b|cos40，|ab|ab|，又|ab|2a2b22ab3，|ab|.(理)(2014南京盐城二模)已知|1，|2，AOB，则与的夹角大小为_答案解析令，因为|1，|2，所以|，由，可知四边形OA1CB1为菱形因为菱形对角线平分所对角，因为AOB，所以AOC.9(2014江西南昌二模)关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：若abac，则bc；若a(1，k)，b(2,
7、6)，ab，则k3；非零向量a和b满足|a|b|ab|，则a与ab的夹角为60.其中真命题的序号为_(写出所有真命题的序号)答案解析由abac得a(bc)0，(bc)a，命题错误由两向量平行的充要条件得162k0，k3，故命题正确由|a|b|ab|，再结合平行四边形法则可得a与ab的夹角为30，命题错误三、解答题10(文)(2014漳县二中月考)已知向量a(sin，cos)与b(，1)，其中(0，)(1)若ab，求sin和cos的值；(2)若f()(ab)2，求f()的值域解析(1)ab，sin1cos0，求得tan.又(0，)，.sin，cos.(注：本问也可以结合sin2cos21或化为2
8、sin()0来求解)(2)f()(sin)2(cos1)22sin2cos54sin()5，又(0，)，(，)，sin()1，70，b0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点A，且与另一条渐近线交于点B，若2，则此双曲线的离心率为()A.BC.D2答案D解析设FOA，OAFB，且2，OA为FB的中垂线，FOB2，tan，tan2，()23，3，e2.12(2014江南十校一模)已知向量a(1,1)，b(1，1)，c(cos，sin)，实数m，n满足manbc，则(m1)2(n1)2的最小值为()A.1B1C.D32答案D解析因为manbc，所以m(1,1)n(1，1)(cos，sin)，所
9、以则(mn)2(mn)22，即m2n21，所以点P(m，n)在以原点O为圆心，以1为半径的圆上，(m1)2(n1)2是圆上的点P到点M(1,1)的距离的平方，由圆的性质知(m1)2(n1)2的最小值是(1)232.13(文)(2014四川成都五校联考)如图，在直角梯形ABCD中，ABAD，ADDC1，AB3，点P是BC的中点，设(，R)，则等于()A.BC.D答案D解析建立如图所示的坐标系，B(3,0)，D(0,1)，C(1,1)P为BC的中点，P(2，)，(2，)(0,1)(3,0)(3，)，32，故选D.(理)若函数yAsin(x)(A0，0，|0，b0)的左焦点F1(c,0)(c0)，作
10、圆x2y2的切线，切点为E，延长F1E交双曲线右支于点P，若()，则双曲线的离心率为()A.BC.D答案C解析PF1与圆x2y2相切，OEPF1，且OE，()，E为PF1的中点，又O为F1F2的中点，|PF2|2|OE|a，由双曲线定义知，|PF1|PF2|2a3a，在RtPF1F2中，|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，a29a24c2，e2，e1，e.二、填空题15(2013天津和平区质量调查)在ABC中，AB2，BC3，ABC60，AD为BC边上的高，E为AD的中点，则的值为_答案解析如图，由已知得BD1，CD2，.()，.点评用向量方法解决平面几何问题的步骤(1)建立平面几何与向量
11、的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素(如将线段表示为向量)，将平面几何问题转化为向量问题，要特别注意挖掘题目中的隐含条件；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；(3)把运算结果“翻译”成几何关系建立平面几何与向量的联系主要途径是建立平面直角坐标系，将问题坐标化，利用平面向量的坐标运算解决有关问题16(2015开封四中期中)在等腰ABC中，BAC120，ABAC2，2，3，则的值为_答案解析2，D为BC的中点，()；3，()()|2|22222cos12022.三、解答题17已知点P(0，3)，点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴上，点M满足0，当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程解析设
12、M(x，y)为所求轨迹上任一点，设A(a,0)，Q(0，b)(b0)，则(a,3)，(xa，y)，(x，by)，由0，得a(xa)3y0.由得，(xa，y)(x，by)(x，(yb)，把a代入，得(x)3y0，整理得yx2(x0)18(文)点D是三角形ABC内一点，并且满足AB2CD2AC2BD2，求证：ADBC.分析要证明ADBC，则只需要证明0，可设m，c，b，将用m，b，c线性表示，然后通过向量的运算解决证明设c，b，m，则mc，mb.AB2CD2AC2BD2，c2(mb)2b2(mc)2，即c2m22mbb2b2m22mcc2，m(cb)0，即()0，0，ADBC.(理)已知四边形ABCD是正方形，BEAC，ACCE，EC的延长线交BA的延长线于点F.求证：AFAE.证明如图，建立平面直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，则A(1,1)，B(0,1)，设E(x，y)，则(x，y1)，(1，1)，又，x(1)1(y1)0，xy10.又|，x2y220.由得或(舍去)，即E(，)设F(x，1)，由(x，1)和(，)共线得x0，解得x2，F(2，1)，(1，0)，(，)，|1|，AFAE.