1、1.4生活中的优化问题举例内容标准学科素养1.通过实例体会导数在解决实际问题中的应用；2.能够利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.培养数学建模实践化归转化提升数学运算授课提示：对应学生用书第19页基础认识知识点生活中的优化问题知识梳理(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题(2)利用导数解决优化问题的实质是求函数最值(3)解决优化问题的基本思路：上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程思考：解决生活中优化问题应当注意哪些问题？提示：(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去(2)在实际问题中，有时会
2、遇到函数在区间内只有一个点使f(x)0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不将该点处的函数值与区间端点处的函数值比较，也可以知道函数在该点处取得最大(小)值(3)在解决优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示出来，还应确定出函数关系中自变量的定义区间自我检测1已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数解析式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A13万件 B11万件C9万件 D7万件解析：yx281，所以当x9时，y0；当x(0,9) 时，y0，所以函数yx381x234在(0,9)上单调递增，在(9，)上单调递减，所
3、以x9是函数的极大值点，又因为函数在(0，)上只有一个极大值点，所以函数在x9处取得最大值答案：C2已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的体积V最大时，圆柱的高h的值为_解析：设圆柱的底面半径为r，底面面积为S1，侧面面积为S2，则S12r2，S22rh，所以S2r22rh，所以h，又圆柱的体积Vr2h(S2r2)，V，令V0得S6r2，所以h2r，因为只有一个极值点，故当h2r时圆柱的体积最大又r，所以h2r2.即当圆柱的体积V最大时，圆柱的高h为.答案：授课提示：对应学生用书第19页探究一面积、容积的最值问题例1请你设计一个包装盒，如图，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所
4、示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AEFBx(cm)(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值解析设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm.由已知得ax，h(30x)，0x30.(1)S4ah8x(30x)8(x15)21 800，所以当x15时，S取得最大值(2)Va2h2(x330x2)，V6x(20x)由V0，得x0(舍
5、去)或x20.当x(0,20)时，V0；当x(20,30)时，V0.所以当x20时，V取得极大值，也是最大值此时，即包装盒的高与底面边长的比值为.方法技巧(1)解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值(2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f(x)0，则只需要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较跟踪探究1.三棱锥OABC中，OA，OB，OC两两垂直，OC2x，OAx，OBy，且xy3，则三棱锥OABC
6、体积的最大值为()A4 B8 C. D.解析：Vy(0x3)，V2xx2x(2x)令V0，得x2或x0(舍去)所以x2时，V最大为.答案：C2在半径为r的圆内，作内接等腰三角形，当底边上的高为_时它的面积最大解析：如图，设OBC，则0，ODrsin ，BDrcos .所以SABCrcos (rrsin )r2cos r2sin cos .令Sr2sin r2(cos2sin2)0，所以cos 2sin ，所以12sin2sin ，解得sin ，又0，所以.即当时，ABC的面积最大，即高为OAOD时面积最大答案：探究二费用(用料)最省问题例2为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外
7、墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值解析(1)由题设，每年能源消耗费用为C(x)，再由C(0)8，得k40，因此C(x).又建造费用为C1(x)6x，故隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)20C(x)C1(x)206x6x(0x10)(2)f(x)6，令
8、f(x)0，即6，解得x5或x(舍去)当0x5时，f(x)0；当5x10时，f(x)0，故x5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)6570.故当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小，为70万元方法技巧(1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f(x)0时，如果函数在这点有极大(小)值 ，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值跟踪探究3.某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端
9、桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？解析：(1)设需新建n个桥墩，则(n1)xm，即n1.所以yf(x)256n(n1)(2)x256(2)xm2m256.(2)由(1)知，f(x)mx(x512)令f(x)0，得x512，所以x64.当0x64时，f(x)0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当64x640时，f(x)0，f(x)在区间(64,640
10、)内为增函数，所以f(x)在x64处取得最小值此时n119.故需新建9个桥墩才能使y最小探究三利润最大问题例3某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解析(1)因为x5时，y11，所以1011，a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y10(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3x6
11、.从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)单调递增极大值42单调递减由表可得，x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点所以，当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42，即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大方法技巧解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有(1)利润收入成本；(2)利润每件产品的利润销售件数跟踪探究4.某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，再准备在该厂附近建一职工宿舍
12、，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关若建造宿舍的所有费用p(万元)和宿舍与工厂的距离x(km)的关系为：p(2x8)为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条简易便道，已知修路每公里成本为5万元，工厂一次性补贴职工交通费(x225)万元设f(x)为建造宿舍、修路费用与给职工的补贴之和(1)求f(x)的表达式(2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f(x)最小，并求最小值解析：(1)f(x)5x(x225)整理得f(x)(x5)2(2x8)(2)f(x)(x5)由f(x)0得x5；所以f(x)在2,5上单调递减，在5,8上单调递增；故当x5时，f(x)取得最小值150.
13、综上所述，宿舍应建在离工厂5 km处，可使总费用f(x)最小，最小值为150万元.授课提示：对应学生用书第20页课后小结(1)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)；求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值(2)正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用题的主要思路，另外需要特别注意：合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；与实际问题相联系；必要时注意分类讨论思想的应用 素养培优解决实际优化问题时忽略定义域致误
14、易错案例：甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b(b0)，固定部分为a元(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？易错分析：解决实际应用题时，要注意问题中某些关键量的实际限制条件或隐含条件，否则会造成漏解或解题过程不规范主要考查数学建模，基本运算等学科核心素养自我纠正：(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为yabv2s，故所求函数及其定义域为ys，v(0，c(2)由题意知s，a，b，v均为正数由ys0，得v，v(0，c若c，则v是极值点，即当v时，全程运输成本y最小若c，因为v(0，c，此时y0，则函数在(0，c上为减函数，所以当vc时，y最小综上所述，为使全程运输成本y最小，当c时，行驶速度v；当c时，行驶速度vc.