1、第六节 平行、垂直的综合问题考点一 平行、垂直关系的证明与体积的计算【典例1】如图,ABC和BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,ABC=DBC=120,点E,F,G分别为AC,DC,AD的中点.(1)求证:EF平面BCG.(2)求三棱锥D-BCG的体积.附:锥体的体积公式V=Sh,其中S为底面面积,h为高.【解题导引】(1)可利用条件先证明AD平面BCG,然后根据ADEF证明EF平面BCG.(2)面面垂直的条件一般转化为线面垂直;求几何体的体积时如果底面积和高不好找,可以考虑变换顶点和底面.【规范解答】(1)由已知得,ABCDBC,因此AC=DC.又G为AD的中点,则CGAD.同理
2、,BGAD.又CGBG=G,因此AD平面BCG.由题意知,EF为DAC的中位线,所以EFAD,所以EF平面BCG.(2)在平面ABC内作AOCB,交CB的延长线于点O,由于平面ABC平面BCD,平面ABC平面BCD=BC,所以AO平面BCD.又G为AD的中点,因此G到平面BCD的距离h是AO.在AOB中,AO=ABsin60=,所以VD-BCG=VG-BCD=SBCDh=BDBCsin120h=.【母题变式】1.若本例条件不变,试证明:平面BCG平面ACD.【证明】由已知得,ABCDBC,因此AC=DC.又点G为AD的中点,则CGAD;同理,BGAD.又CGBG=G,因此AD平面BCG.因为A
3、D平面ACD,所以平面BCG平面ACD.2.若本例中的条件ABC=DBC=120改为ABC=DBC=90,其他条件与结论不变,请尝试解答.【解析】(1)由已知得,ABCDBC,因此AC=DC.又G为AD的中点,则CGAD;同理,BGAD.又CGBG=G,因此AD平面BCG.由题意,EF为DAC的中位线,所以EFAD,所以EF平面BCG.(2)由于平面ABC平面BCD,平面ABC平面BCD=BC,ABC=90,所以AB平面BCD.又点G为AD的中点,因此点G到平面BCD的距离h是AB=1.所以VD-BCG=VG-BCD=SBCDh=BDBCh=.【规律方法】1.空间线面的位置关系的判定方法(1)
4、证明直线与平面平行,设法在平面内找到一条直线与已知直线平行,解答时合理利用中位线性质、线面平行的性质,或构造平行四边形,寻求比例关系确定两直线平行.(2)证明直线与平面垂直,主要途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直.解题时注意观察几何图形,寻求隐含条件.2.空间面面的位置关系的判定方法(1)证明面面平行,需要证明线面平行,要证明线面平行需证明线线平行,将“面面平行”问题转化为“线线平行”问题.(2)证明面面垂直,将“面面垂直”问题转化为“线面垂直”问题,再将“线面垂直”问题转化为“线线垂直”问题.3.计算几何体体积的关键及注意点计算几何体的体积时,能直接用公式时,关键是确定几何体的高,
5、而不能直接用公式时,注意进行体积的转化.【变式训练】(2017合肥模拟)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,ABCD是直角梯形,PC底面ABCD,ABCD,ABAD,AB=2AD=2CD=2,点E是PB的中点.(1)证明:平面EAC平面PBC.(2)若PC=,求点C到平面ABE的距离.【解析】(1)由已知得AB=2,则AB2=AC2+BC2,所以ACBC.又因为PC底面ABCD,AC平面ABCD,所以PCAC.因为BCPC=C,所以AC平面PBC.因为AC平面EAC,所以平面EAC平面PBC.(2)因为PC=,所以PA=PB=AB=2,所以SPAB=22=,SABC=设点C到平面ABE的距离为h
6、,由VP-ABC=VC-PAB得SABCPC=SPABh,解得h=.【加固训练】1.(2017广州模拟)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,ACBC,ABBB1,AC=BC=BB1=2,D为AB的中点,且CDDA1.(1)求证:平面A1B1B平面ABC.(2)求多面体DBC-A1B1C1的体积.【解析】(1)因为AC=BC,D为AB的中点,所以CDAB,又CDDA1,ABDA1=D,所以CD平面A1B1B,又因为CD平面ABC,故平面A1B1B平面ABC.(2)因为平面A1B1B平面ABC,平面A1B1B平面ABC=AB,BB1平面A1B1B,ABBB1,所以BB1平面ABC,因此=SABC
7、AA1-SADCAA1=SABCAA1-SABCAA1=SABCAA1=.2.如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1平面ABCD,ABCD,ADAB,AB=2,AD=,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3.(1)证明:BE平面BB1C1C.(2)求点B1到平面EA1C1的距离.【解析】(1)过点B作CD的垂线交CD于点F,则BF=AD=,EF=AB-DE=1,FC=2.在RtBFE中,BE=,在RtCFB中,BC=.在BEC中,因为BE2+BC2=9=EC2,所以BEBC,又由BB1平面ABCD得BEBB1,又BB1BC=B,故BE平面BB1C1C.(2)在RtA1D1C1
8、中,A1C1=同理,EC1=A1E=设点B1到平面EA1C1的距离为d,则三棱锥B1-EA1C1的体积为所以点B1到平面EA1C1的距离为.考点二 平面图形折叠成空间几何体问题【典例2】(2017大同模拟)如图1,在直角梯形ABCD中,ADBC,ADC=90,AB=BC.把BAC沿AC折起到PAC的位置,使得点P在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上,如图2所示.点E,F分别为棱PC,CD的中点.(1)求证:平面OEF平面APD.(2)求证:CD平面POF.(3)若AD=3,CD=4,AB=5,求四棱锥E-CFO的体积.【解题导引】(1)先证点O是AC的中点,再利用三角形的中位线证明OEP
9、A,OFAD.(2)证明CDOF,CDPO.(3)先求点P到平面CFO的距离,再利用点E是PC的中点,求点E到平面CFO的距离.【规范解答】(1)因为点P在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上,所以PO平面ADC,所以POAC.因为AB=BC,所以PA=PC,所以O是AC的中点,所以OEPA,同理OFAD.又OEOF=O,PAAD=A,所以平面OEF平面APD.(2)因为OFAD,ADCD,所以OFCD.又PO平面ADC,CD平面ADC,所以POCD.又OFPO=O,所以CD平面POF,(3)因为ADC=90,AD=3,CD=4,所以SACD=34=6,而点O,F分别是AC,CD的中点,所
10、以SCFO=SACD=,由题意可知ACP为边长为5的等边三角形,所以OP=即点P到平面ACD的距离为,又点E为PC的中点,所以点E到平面CFO的距离为,故VE-CFO=【易错警示】解答本例会出现以下错误:(1)第(1)问中说明平面与平面平行时,易漏掉两直线相交这个条件而致误.(2)第(2)问中证明线面垂直时,易漏掉平面内两条直线相交这个条件而致误.【规律方法】折叠问题的求解策略(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量.一般情况下,长度是不变量,而位置关系往往会发生变化.(2)在解决问题时,要综合考虑折叠前后的图形,既要分析折叠后的图形,也要分析折叠前的图形.进而将其转化为
11、立体几何的常规问题求解.【变式训练】如图1所示,在RtABC中,AC=6,BC=3,ABC=90,CD为ACB的平分线,点E在线段AC上,且CE=4.如图2所示,将BCD沿CD折起,使得平面BCD平面ACD,连接AB,设点F是AB的中点.(1)求证:DE平面BCD.(2)若EF平面BDG,其中G为直线AC与平面BDG的交点,求三棱锥B-DEG的体积.【解析】(1)在题图1中,因为AC=6,BC=3,ABC=90,所以A=30,ACB=60.因为CD为ACB的平分线,所以BCD=ACD=30,所以CD=2 .因为CE=4,DCE=30,由余弦定理可得cos30=解得DE=2.则CD2+DE2=E
12、C2,所以CDE=90,DEDC.在题图2中,因为平面BCD平面ACD,平面BCD平面ACD=CD,DE平面ACD,且DEDC,所以DE平面BCD.(2)在题图2中,因为EF平面BDG,EF平面ABC,平面ABC平面BDG=BG,所以EFBG.因为点E在线段AC上,CE=4,点F是AB的中点,所以AE=EG=CG=2.作BHCD于点H.因为平面BCD平面ACD,所以BH平面ACD.由已知可得SDEG=SACD=ACCDsin30=,所以三棱锥B-DEG的体积V=SDEGBH=【加固训练】(2017重庆模拟)如图,在边长为3的正三角形ABC中,G,F为边AC的三等分点,E,P分别是AB,BC边上
13、的点,满足AE=CP=1,今将BEP,CFP分别沿EP,FP向上折起,使边BP与边CP所在的直线重合,B,C折后的对应点分别记为B1,C1.(1)求证:C1F平面B1GE.(2)求证:PF平面B1EF.【证明】(1)取EP的中点D,连接FD,C1D.因为BC=3,CP=1,所以折起后C1为B1P的中点.所以在B1EP中,DC1EB1.又因为AB=BC=AC=3,AE=CP=1,所以,所以EP=2且EPGF.因为G,F为AC的三等分点,所以GF=1.又因为ED=EP=1,所以GF=ED,所以四边形GEDF为平行四边形.所以FDGE.又因为DC1FD=D,GEB1E=E,所以平面DFC1平面B1G
14、E.又因为C1F平面DFC1,所以C1F平面B1GE.(2)连接EF,B1F,由已知得EPF=60,且FP=1,EP=2,由余弦定理,得EF2=12+22-212cos60=3,所以FP2+EF2=EP2,可得PFEF.因为B1C1=PC1=1,C1F=1,得FC1=B1C1=PC1,所以PB1F的中线C1F=PB1,可得PB1F是直角三角形,即B1FPF.因为EFB1F=F,EF,B1F平面B1EF,所以PF平面B1EF.考点三线面位置关系中的存在性问题【考情快递】命题角度命题视角平行关系中的存在性问题主要考查线面、面面平行的判定与性质定理垂直关系中的存在性问题主要考查线面、面面垂直的判定与
15、性质定理【考题例析】命题角度1:平行关系中的存在性问题【典例3】(2017保定模拟)如图,四棱锥P-ABCD中,BCAD,BC=1,AD=3,ACCD,且平面PCD平面ABCD.(1)求证:ACPD.(2)在线段PA上,是否存在点E,使BE平面PCD?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.【解题导引】(1)利用面面垂直的性质定理即可证明.(2)线段PA上存在点E,使BE平面PCD.在PAD中,分别取PA,PD靠近点P的三等分点E,F,连接EF,BE,CF.由平行线分线段成比例定理在三角形中的应用,即可得到EFAD,EF=AD=1.利用已知条件即可得到EFBC,得到四边形BCFE为平行四边形,再
16、利用线面平行的判定定理即可证明.【规范解答】(1)因为平面PCD平面ABCD,平面PCD平面ABCD=CD,ACCD,AC平面ABCD,所以AC平面PCD,因为PD平面PCD,所以ACPD.(2)线段PA上存在点E,使BE平面PCD.下面给出证明:因为AD=3,所以在PAD中,分别取PA,PD靠近点P的三等分点E,F,连接EF,BE,CF.因为,所以EFAD,EF=AD=1.又因为BCAD,所以BCEF,且BC=EF=1,所以四边形BCFE是平行四边形,所以BECF,BE平面PCD,CF平面PCD,所以BE平面PCD.【典例4】(2017商丘模拟)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD
17、是边长为a的正方形,侧面PAD底面ABCD,且PA=PD=AD,若E,F分别为PC,BD的中点.(1)求证:EF平面PAD.(2)求三棱锥F-DEC的体积.(3)在线段CD上是否存在一点G,使得平面EFG平面PDC?若存在,请说明其位置,并加以证明;若不存在,请说明理由.【解题导引】(1)由中位线性质,证明EFPA即可.(2)转化为求VE-FDC.(3)假设在CD上存在点G为CD的中点,使平面EFG平面PDC,通过相关证明验证正确与否.【规范解答】(1)连接AC,因为四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形且点F为对角线BD的中点,所以对角线AC经过F点.又在PAC中,点E为PC的
18、中点,所以EF为PAC的中位线,所以EFPA,又PA平面PAD,EF平面PAD,所以EF平面PAD.(2)过点P作AD的垂线PH,垂足为H,因为侧面PAD底面ABCD,PH平面PAD,侧面PAD底面ABCD=AD,所以PH平面ABCD,因为E为PC的中点,所以三棱锥E-FDC的高h=PH,又PA=PD=AD且AD=a,所以PH=,所以h=.所以三棱锥F-DEC的体积VF-DEC=VE-FDC=SFDCh(3)在线段CD上存在一点G为CD的中点,使得平面EFG平面PDC.因为底面ABCD是边长为a的正方形,所以CDAD.又侧面PAD底面ABCD,CD平面ABCD,侧面PAD平面ABCD=AD,所
19、以CD平面PAD.又EF平面PAD,所以CDEF.取CD中点G,连接FG,EG.因为F为AC中点,所以FGAD.又CDAD,所以FGCD,又FGEF=F,所以CD平面EFG,又CD平面PDC,所以平面EFG平面PDC.【技法感悟】解决探索性问题的方法(1)对命题条件的探索的三种途径途径一:先猜后证,即先观察与尝试给出条件再证明;途径二:先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明充分性.途径三:将几何问题转化为代数问题,探索出命题成立的条件.(2)对命题结论的探索方法从条件出发,探索出要求的结论是什么,对于探索结论是否存在,求解时常假设结论存在,再寻找与条件相容或者矛盾的结论.【题组通
20、关】1.(2017长春模拟)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1平面ABC,四边形A1ACC1是菱形,异面直线A1C与BC1所成的角为90.(1)求证:A1C平面ABC1.(2)设点D是棱A1C1的中点,判断在线段BB1上是否存在点E,使DE平面ABC1;若存在,请给予证明,若不存在,请说明理由.【解析】(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,因为BB1平面ABC,所以A1A平面ABC,所以A1AAC,因为四边形A1ACC1是菱形,所以四边形A1ACC1是正方形,所以A1CAC1,因为异面直线A1C与BC1所成的角为90,所以BC1A1C,又AC1BC1=C1,所以A1C平面ABC1.(
21、2)在线段BB1上存在点E,E为BB1的中点,使DE平面ABC1.理由如下:取A1A的中点F,连接EF,FD,DE,如图所示,当E为B1B的中点时,EFAB,因为EF平面ABC1,AB平面ABC1,所以EF平面ABC1.因为EFDF=F,所以平面EFD平面ABC1,因为ED平面EFD,所以ED平面ABC1.2.(2017成都模拟)在四棱锥E-ABCD中,底面ABCD是正方形,AC与BD交于点O,EC底面ABCD,点F为BE的中点.(1)求证:DE平面ACF.(2)若AB=CE,在线段EO上是否存在点G,使CG平面BDE?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)连接OF,由四边形A
22、BCD是正方形可知,点O为BD的中点.又F为BE的中点,所以OFDE.又OF平面ACF,DE平面ACF,所以DE平面ACF.(2)方法一:若CG平面BDE,则必有CGOE,于是作CGOE于点G.由EC底面ABCD,所以BDEC,又底面ABCD是正方形,所以BDAC,又ECAC=C,所以BD平面ACE.而CG平面ACE,所以CGBD.又OEBD=O,所以CG平面BDE.又AB=CE,所以CO=AB=CE,所以点G为EO的中点,所以方法二:取EO的中点G,连接CG.在四棱锥E-ABCD中,AB=CE,CO=AB=CE,所以CGEO.又由EC底面ABCD,BD底面ABCD,所以ECBD,由四边形AB
23、CD是正方形可知,ACBD,又ACEC=C,所以BD平面ACE,而BD平面BDE,所以,平面ACE平面BDE,且平面ACE平面BDE=EO,因为CGEO,CG平面ACE,所以CG平面BDE,故在线段EO上存在点G,使CG平面BDE.由点G为EO的中点,得规范解答20 空间位置关系的证明【典例】(12分)(2017郑州模拟)如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,ABBC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.(1)求证:平面ABE平面B1BCC1.(2)求证:C1F平面ABE.(3)求三棱锥E-ABC的体积.【解题导思】【规范解答】(阅卷标准 体会规范
24、)(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1底面ABC,又AB平面ABC,所以BB1AB.又因为ABBC,BB1BC=B,所以AB平面B1BCC1,3分因为AB平面ABE,所以平面ABE平面B1BCC1.4分(2)如图所示,取AB的中点G,连接EG,FG.因为G,F分别是AB,BC的中点,所以FGAC,且FG=AC.因为ACA1C1,E为A1C1的中点,且AC=A1C1,所以FGEC1,且FG=EC1,所以四边形FGEC1为平行四边形,6分 所以C1FEG,又因为EG平面ABE,C1F平面ABE,所以C1F平面ABE.8分所以C1FEG,又因为EG平面ABE,C1F平面ABE,所以C1F平面
25、ABE.8分(3)因为AA1=AC=2,BC=1,ABBC,所以AB=10分所以三棱锥E-ABC的体积【得分技巧】1.注意答题的规范性在解题过程中,注意答题要求,严格按照直线、平面垂直的判定定理与性质定理条件的要求,有序进行论证说明.如本例(1)证明面面垂直时,要论证平面ABE内的直线垂直平面B1BCC1,再交待其在平面ABE内,从而利用面面垂直的判定定理得证.2.关键步骤要全面阅卷时,主要看关键步骤、关键点,有则得分,无则扣分,所以解题时要写全关键步骤,不能漏掉,否则扣分.3.涉及运算要准确在解题过程中,涉及有关长度、角、面积、体积等计算问题时,一定要细心准确,否则思路正确,由于运算失误而扣分,非常可惜.A卷B卷