1、2021-2022学年黑龙江省哈师大附中高二（上）开学数学试卷一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）. 1复数（i为虚数单位）的共轭复数是（）A1iB1+iCD2若（3，m），（2，1），且，则实数m的值为（）A3B6C3D63在某次测量中得到的A样本数据如下17，22，37，42，31，58，61，若B样本数据恰好是A样本数据都减2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A平均数B众数C中位数D方差4，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且满足m，则以下结论正确的是（）A若m，n，则mnB若m，则mC若m，m，则D若mn，n，则m5在ABC中，若，则ABC的形状是
2、（）A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D等腰直角三角形6某种心脏手术成功率为0.7，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率先利用计算器或计算机产生09之间取整数值的随机数，由于成功率是0.7，故我们用0、1、2表示手术不成功，3、4、5、6、7、8、9表示手术成功，再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果经随机模拟产生如下10组随机数：812、832、569、683、271、989、730、537、925、907由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（）A0.2B0.3C0.4D0.57设锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B2A，则的取值范围是（）A（+1
3、，+2）B（+1，3）C（3，+2）D（3，+）8点M，N分别是棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中棱BD，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动若PA1面AMN，则PA1的长度范围是（）ABCD2，3二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，下列结论正确的是（）AOMPDBOM平面PCDCOM平面PDADOM平面PBA10甲乙两名同学在本学期的六次考试成绩统计如图，甲乙两组数据的平均值
4、分别为、，则（）A每次考试甲的成绩都比乙的成绩高B甲的成绩比乙稳定C一定大于D甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差11在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c3，b2，B2C，则下列结论正确的是（）AsinCBaCacDSABC212如图，直三棱柱ABCA1B1C1，ABC为等腰直角三角形，ABBC，且ACAA12，E，F分别是AC，A1C1的中点，D，M分别是AA1，BB1上的两个动点，则下列结论正确的是（）AFM与BD一定是异面直线B三棱锥DMEF的体积为定值C直线B1C1与BD所成角为D若D为AA1中点，则四棱锥DBB1FE的外接球体积三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20
5、分）13如图，正方形ABCD的边长为2，P是线段DC上的动点（含端点），则的取值范围是 14若三个原件A，B，C按照如图的方式连接成一个系统，每个原件是否正常工作不受其他元件的影响，当原件A正常工作且B，C中至少有一个正常工作时，系统就正常工作，若原件A，B，C正常工作的概率依次为0.7，0.8，0.9，则这个系统正常工作的概率为 15若复数z满足|z3+2i|1，则|z62i|的最小值为 16已知三棱锥SABC中，SA平面ABC，ABBCCA2，异面直线SC与AB所成角的余弦值为，则三棱锥SABC的体积为 ，三棱锥SABC的外接球的表面积为 三、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字
6、说明、证明过程或演算步骤）17如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1求证：（1）直线DE平面A1C1F；（2）平面B1DE平面A1C1F18今年受疫情影响，我市中小学生全体在家线上学习为了了解学生在家主动锻炼身体的情况，某校随机抽查了部分学生，对他们每天的运动时间进行调查，并将调查统计的结果分为四类：每天运动时间t20分钟的学生记为A类，20分钟t40分钟记为B类，40分钟t60分钟记为C类，t60分钟记为D类收集的数据绘制如图两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：（）这次共抽取了 名学生进行调
7、查统计，抽查的学生每天的运动时间的中位数落 类；（）将条形统计图补充完整，并求扇形统计图中D类所对应的扇形圆心角的度数；（）学校要求学生在家主动锻炼身体的时间必须超过20分钟才能达标，若该校共有3000名学生，请你估计该校达标学生约有多少人？19设ABC是锐角三角形，三个内角A，B，C所对的边分别记为a，b，c，并且（sinAsinB）（sinA+sinB）sin（B）sin（+B）（）求角A的值；（）若12，a2，求b，c（其中bc）20用分层随机抽样从某校高一年级学生的数学期末成绩（满分为100分，成绩都是整数）中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个，再
8、将40个男生成绩样本数据分为6组：40，50），50，60），60，70），70，80），80，90），90，100，绘制得到如图所示的频率分布直方图（）估计男生成绩样本数据的第80百分位数；（）在区间40，50）和90，100内的两组男生成绩样本数据中，随机抽取两个进行调查，求调查对象来自不同分组的概率；（）已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，求总样本的平均数和方差21已知三棱柱ABCA1B1C1中，四边形BCC1B1是正方形，二面用ABCB1为直二面角，ABC90（1）求证：BC1A1C；（2）若BC2AB，M为
9、线段AA1的中点，求直线A1C与平面B1CM所成角的正弦值22如图，在四棱锥PABCD中，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD，E为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90（）在直线PA上找一点M，使得直线CM平面PBE，并求的值；（）若直线CD到平面PBE的距离为，求二面角EPBC的余弦值参考答案一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）. 1复数（i为虚数单位）的共轭复数是（）A1iB1+iCD解：因为复数所以故选：D2若（3，m），（2，1），且，则实数m的值为（）A3B6C3D6解：，6m0，解得m6故选：B3在某次测量中得到的A样本数据如下17，22，37，42，31，5
10、8，61，若B样本数据恰好是A样本数据都减2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A平均数B众数C中位数D方差解：在某次测量中得到的A样本数据如下17，22，37，42，31，58，61，若B样本数据恰好是A样本数据都减2后所得数据，则A样本的平均数、众数、中位数都比B样本的平均数、众数、中位数都大于2，A，B两样本的方差相同故选：D4，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且满足m，则以下结论正确的是（）A若m，n，则mnB若m，则mC若m，m，则D若mn，n，则m解：若m，n，则mn或m与n相交或m与n异面，故A错误；若m，则m或m，又m，所以m，故B正确；若m，m，
11、则或与相交，故C错误；若mn，n，则m或m，故D错误故选：B5在ABC中，若，则ABC的形状是（）A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D等腰直角三角形解：由结合正弦定理可得，即，化简得sinsinsin，又，（0，）此时正弦函数单调递增，故，又A+B+C，故ABC，即ABC为等边三角形故选：B6某种心脏手术成功率为0.7，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率先利用计算器或计算机产生09之间取整数值的随机数，由于成功率是0.7，故我们用0、1、2表示手术不成功，3、4、5、6、7、8、9表示手术成功，再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果经随机模拟产生如下10组随机数：812
12、、832、569、683、271、989、730、537、925、907由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（）A0.2B0.3C0.4D0.5解：根据题意，10组随机数：812、832、569、683、271、989、730、537、925、907，表示“3例心脏手术全部成功”的有569、683、537、989，共4个，则“3例心脏手术全部成功”的概率为0.4；故选：C7设锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B2A，则的取值范围是（）A（+1，+2）B（+1，3）C（3，+2）D（3，+）解：因为B2A，由正弦定理可得，2cosA+2cos2A1+2cos2A4cos2A
13、+2cosA1，因为ABC为锐角三角形，则，即，解得，所以，因为函数y4cos2A+2cosA1在上单调递增，则的取值范围为故选：A8点M，N分别是棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中棱BD，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动若PA1面AMN，则PA1的长度范围是（）ABCD2，3【解答】解取B1C1的中点E，BB1的中点F，连结A1E，A1F，EF，取EF中点O，连结A1O，点M，N分别是棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中棱BC，CC1的中点，AMA1E，MNEF，AMMNM，A1EEFE，平面AMN平面A1EF，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内
14、运动，且PA1面AMN，点P的轨迹是线段EF，A1EA1F，EF，A1OEF，当P与O重合时，PA1的长度取最小值A1O，当P与E（或F）重合时，PA1的长度取最大值为A1EA1FPA1的长度范围为，故选：B二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，下列结论正确的是（）AOMPDBOM平面PCDCOM平面PDADOM平面PBA解：对于A，由于O为BD的中点，M为PB的中点，则OMPD，故正确；对于B，由于OMPD
15、，OM平面PCD，PD平面PCD，则OM平面PCD，故正确；对于C，由于OMPD，OM平面PAD，PD平面PAD，则OM平面PAD，故正确；对于D，由于M平面PAB，故错误故选：ABC10甲乙两名同学在本学期的六次考试成绩统计如图，甲乙两组数据的平均值分别为、，则（）A每次考试甲的成绩都比乙的成绩高B甲的成绩比乙稳定C一定大于D甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差【解答】解甲乙两名同学在本学期的六次考试成绩统计如图，甲乙两组数据的平均值分别为、，则由折线图得：在A中，第二次考试甲的成绩比乙的成绩低，故A错误；在B中，甲的成绩比乙稳定，故B正确；在C中，一定大于，故C正确；在D中，甲的成绩的极差小于
16、乙的成绩的极差，故D错误故选：BC11在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c3，b2，B2C，则下列结论正确的是（）AsinCBaCacDSABC2解：B2C，sinBsin2C2sinCcosC，由正弦定理知，可得，可得cosC，sinC，即选项A正确；由余弦定理知，c2a2+b22abcosC，9a2+（2）22a（2），即a24a+30，解得a3，或a1，若a3，则AC，此时cosC，与题意不符，a1，即选项B正确，选项C错误；ABC的面积SABCabsinC12，即选项D错误故选：AB12如图，直三棱柱ABCA1B1C1，ABC为等腰直角三角形，ABBC，且ACAA12，
17、E，F分别是AC，A1C1的中点，D，M分别是AA1，BB1上的两个动点，则下列结论正确的是（）AFM与BD一定是异面直线B三棱锥DMEF的体积为定值C直线B1C1与BD所成角为D若D为AA1中点，则四棱锥DBB1FE的外接球体积解：对于A，当M与B重合时，FM与BD是相交直线，故A错误；对于B，由已知可得B1FA1C1，又平面ABC平面CAA1C1，B1F平面CAA1C1，在矩形AEFA1中，DEF的面积SEFA1F211，又B1FA1C11，VDMEFVMDEF11，故B正确；对于C，由AA1平面A1B1C1，得AA1B1C1，又B1C1A1B1，A1B1AA1A1，B1C1平面A1B1B
18、A，得直线B1C1与BD所成角为，故C正确；对于D，由题意可知，四边形BB1FE为矩形，连接BF，则矩形BB1FE的外接圆的圆心为BF的中点O1，且O1FO1B，过O1作O1NEF，垂足为N，连接DN，O1D，则O1N，DN1，O1NDN，故O1D，O1就是四棱锥DBB1FE的外接球的球心，外接球的半径为R，则外接球的体积为V，故D正确故选：ABCD三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13如图，正方形ABCD的边长为2，P是线段DC上的动点（含端点），则的取值范围是0，4解：建立平面直角坐标系Axy，正方形ABCD的边长为2，P是线段DC上的动点（含端点），则A（0，0），B（2，
19、0），C（2，2），P（x，2），（0x2）所以（x2，2），（2，2），所以2（x2）+42x，所以2x0，4故答案为：0，414若三个原件A，B，C按照如图的方式连接成一个系统，每个原件是否正常工作不受其他元件的影响，当原件A正常工作且B，C中至少有一个正常工作时，系统就正常工作，若原件A，B，C正常工作的概率依次为0.7，0.8，0.9，则这个系统正常工作的概率为 0.686解：系统正常工作的情况分成两个步骤，A正常工作且B，C至少有一个正常工作的情况，A正常工作的概率为：0.7；B，C至少有一个正常工作的情况的概率为1减去B，C都不正常工作的情况的概率，即：B，C至少有一个正常工作的概
20、率为：1（10.8）（10.9）0.98，所以：这个系统正常工作的概率为：0.70.980.686；故答案为：0.686；15若复数z满足|z3+2i|1，则|z62i|的最小值为 4解：因为复数z满足|z3+2i|1，则复数z对应的点Z的轨迹是以C（3，2）为圆心，半径为1的圆，又|z62i|表示复数z对应的点Z与点P（6，2）之间的距离，所以|z62i|的最小值为PC1故答案为：416已知三棱锥SABC中，SA平面ABC，ABBCCA2，异面直线SC与AB所成角的余弦值为，则三棱锥SABC的体积为 ，三棱锥SABC的外接球的表面积为 解：如图，分别取AC、SA、SB、AB的中点M、N、E、
21、F，连接MN、NE、EF、MF、ME，可得MNSC，NEAB，则MNE为异面直线SC与AB所成角，cosMNE，设SAt，可得MN，NEAB1，EF，MF1，则ME，在MNE中，由余弦定理，可得ME2MN2+NE22MNNEcosMNE，1，解得t2，三棱锥SABC的体积为V，设底面三角形ABC的中心为G，三棱锥SABC的外接球的球心为O，连接OG，则OG平面ABC，AG，OG，则三棱锥SABC的外接球的半径ROA三棱锥SABC的外接球的表面积为S4故答案为：；三、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB
22、，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1求证：（1）直线DE平面A1C1F；（2）平面B1DE平面A1C1F解：（1）D，E分别为AB，BC的中点，DE为ABC的中位线，DEAC，ABCA1B1C1为棱柱，ACA1C1，DEA1C1，A1C1平面A1C1F，且DE平面A1C1F，DEA1C1F；（2）在ABCA1B1C1的直棱柱中，AA1平面A1B1C1，AA1A1C1，又A1C1A1B1，且AA1A1B1A1，AA1、A1B1平面AA1B1B，A1C1平面AA1B1B，DEA1C1，DE平面AA1B1B，又A1F平面AA1B1B，DEA1F，又A1FB1D，DEB1
23、DD，且DE、B1D平面B1DE，A1F平面B1DE，又A1F平面A1C1F，平面B1DE平面A1C1F18今年受疫情影响，我市中小学生全体在家线上学习为了了解学生在家主动锻炼身体的情况，某校随机抽查了部分学生，对他们每天的运动时间进行调查，并将调查统计的结果分为四类：每天运动时间t20分钟的学生记为A类，20分钟t40分钟记为B类，40分钟t60分钟记为C类，t60分钟记为D类收集的数据绘制如图两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：（）这次共抽取了 50名学生进行调查统计，抽查的学生每天的运动时间的中位数落 类；（）将条形统计图补充完整，并求扇形统计图中D类所对应的扇形圆心
24、角的度数；（）学校要求学生在家主动锻炼身体的时间必须超过20分钟才能达标，若该校共有3000名学生，请你估计该校达标学生约有多少人？解：（）这次共抽取了1530%50名学生进行调查统计，抽查的学生每天的运动时间的中位数落B类，故答案为：50，B；（）D类有学生：50152285（人），补充完整的条形统计图如图所示，扇形统计图中D类所对应的扇形圆心角的度数是：36036；（）30002100（人），因此该校达标学生约为2100人19设ABC是锐角三角形，三个内角A，B，C所对的边分别记为a，b，c，并且（sinAsinB）（sinA+sinB）sin（B）sin（+B）（）求角A的值；（）若12
25、，a2，求b，c（其中bc）解：（）（sinAsinB）（sinA+sinB）sin（B）sin（+B）可得：， （） ，bc24，又a2b2+c22bccosA（b+c）23bc，b+c10，bc，b4，c620用分层随机抽样从某校高一年级学生的数学期末成绩（满分为100分，成绩都是整数）中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个，再将40个男生成绩样本数据分为6组：40，50），50，60），60，70），70，80），80，90），90，100，绘制得到如图所示的频率分布直方图（）估计男生成绩样本数据的第80百分位数；（）在区间40，50）和90，100内
26、的两组男生成绩样本数据中，随机抽取两个进行调查，求调查对象来自不同分组的概率；（）已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，求总样本的平均数和方差解：（）由频率分布直方图可知，在40，80）内的成绩占比为70%，在40，90）内的成绩占比为95%，因此第80百分位数一定位于80，90）内因为80+1084，所以估计男生成绩样本数据的第80百分位数约是84（）在区间40，50）和90，100内的男生成绩样本数据分别有4个和2个，则在这6个数据中随机抽取两个的样本空间包含的样本点个数为n（）5+4+3+2+115记事件A“调查
27、对象来自不同分组”，则事件A包含的样本点个数为n（A）428，所以P（A）（）设男生成绩样本数据为x1，x2，x40，其平均数为71，方差为187.75；女生成绩样本数据为y1，y2，y60，其平均数为73.5，方差为119；总样本的平均数为，方差为s2由按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，得+72.5因为s2（xi）+（yj）（xi+）+（yj+），又2（xi）（）2（）（xi）2（）（xi40）0，同理2（yj）（）0，所以s2（xi）+（）+（yj）+（）40+（）+60+（）40187.75+（7172.5）+60119+（73.572.5）148所以总样本的平均
28、数和方差分别为72.5和14821已知三棱柱ABCA1B1C1中，四边形BCC1B1是正方形，二面用ABCB1为直二面角，ABC90（1）求证：BC1A1C；（2）若BC2AB，M为线段AA1的中点，求直线A1C与平面B1CM所成角的正弦值【解答】（1）证明：二面角ABCB1为直二面角，平面ABC平面BCC1B1；而平面ABC平面BCC1B1BC，AB平面ABC，又ABC90，ABBC，AB平面BCC1B1，A1B1AB，A1B1平面BCC1B1，BC1平面BCC1B1，A1B1BC1，又BCC1B1是正方形，故BC1B1CB1CA1B1B1，BC1平面A1B1C；A1C平面A1B1C，故BC
29、1A1C（2）解：由AB，BC，BB1两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AB1；则A1（0，2，1），C（2，0，0），M（0，1，1），B1（0，2，0），设平面B1CM的法向量为，则有，即，令x1，得，设直线A1C与平面B1CM所成角为，则22如图，在四棱锥PABCD中，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD，E为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90（）在直线PA上找一点M，使得直线CM平面PBE，并求的值；（）若直线CD到平面PBE的距离为，求二面角EPBC的余弦值解：（）延长AP至M，使得AM2AP，因为E为AD的中点，则EPDM，又EP平面PBE，DM平面PB
30、E，则DM平面PBE，因为ADBC且BC，E为AD的中点，则BCDE且BCDE，故平行四边形中，BECD，又BE平面PBE，CD平面PBE，可得CD平面PBE，又DMCDD，DM，CD平面CDM，所以平面CDM平面PBE，又CM平面CDM，所以CM平面PBE，且AM2AP，可得；（）延长CB至点F，使得CF2BC，因为ADBC，BC，CFAD且CFAD，又ADC90，AFAD，又PAB90，则PAAD，因为异面直线PA与CD所成的角为90，即PACD，又ADCDC，AD，CD平面AFCD，所以PA平面AFCD，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设PAa，则，设平面PBE的法向量为，则，即，令z1，则xa，故，由（1）可知，CD平面PBE，所以直线CD到平面PBE的距离与点D到平面PBE的距离相等，所以，解得a2，又平面PBE的法向量为，设平面PBC的一个法向量为，则，可得，所以，右图可知，二面角EPBC为锐角，则二面角EPBC的余弦值为
